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1、多粒子体系的统计理论初步多粒子体系的统计理论初步n n平衡态下的宏观量与微观量的关系。平衡态下的宏观量与微观量的关系。n n平衡态下的物理量的分布（能量、速平衡态下的物理量的分布（能量、速率等）率等）n n非平衡态下的热现象（热传导、扩散非平衡态下的热现象（热传导、扩散等）等）1.1.经典统计的概念经典统计的概念一一.理想气体微观模型理想气体微观模型：2.除碰撞外，分子间相互作用力及重力可忽略，除碰撞外，分子间相互作用力及重力可忽略，分子视为自由运动。分子视为自由运动。3.分子间、分子与器壁间为完全弹性碰撞。分子间、分子与器壁间为完全弹性碰撞。 实际气体在温度较高，压强较低时可视为实际气体在温
2、度较高，压强较低时可视为理想气体。理想气体。1.分子间平均距离分子间平均距离 分子线度，视为质点。分子线度，视为质点。 理想气体是大量自由的、无规则运动的弹理想气体是大量自由的、无规则运动的弹性粒子组成的多粒子体系。性粒子组成的多粒子体系。二、平衡态二、平衡态 在不受外界影响的条件下，物体的宏观性在不受外界影响的条件下，物体的宏观性质质不随时间变化的状态不随时间变化的状态平衡态平衡态不受外界影响，是指外界不受外界影响，是指外界对系统不作功、不传热。对系统不作功、不传热。宏观性质不随时间变化，宏观性质不随时间变化，是指物体的宏观可观测性质是指物体的宏观可观测性质确定不变。确定不变。热动平衡热动平
3、衡三三.宏观量与微观量宏观量与微观量1.宏观量：描述体系宏观性质的物理量，与宏观宏观量：描述体系宏观性质的物理量，与宏观态相对应，可由实验测量。态相对应，可由实验测量。2.微观量：描述个别粒子特性的物理量。微观量：描述个别粒子特性的物理量。四四.统计的规律性和涨落现象统计的规律性和涨落现象1.统计规律统计规律伽耳顿板实验伽耳顿板实验大量小球落下的分布大量小球落下的分布宏观态宏观态每个小球落下的位置每个小球落下的位置微观态微观态2.涨落现象涨落现象 一个宏观态下的微观态是不确定的、变化一个宏观态下的微观态是不确定的、变化的，各种微观态以一定的概率出现，宏观态的，各种微观态以一定的概率出现，宏观态
4、即是对应的微观态的统计平均值。即是对应的微观态的统计平均值。 各次实验结果与理论统计平均值之间存各次实验结果与理论统计平均值之间存在偏差，为统计规律的特点之一。在偏差，为统计规律的特点之一。 一个宏观态包含有大量的微观态，宏一个宏观态包含有大量的微观态，宏观态不是微观态简单的叠加，而是服从一观态不是微观态简单的叠加，而是服从一种新的规律种新的规律统计规律。统计规律。四四.统计规律的定量分析统计规律的定量分析以伽耳顿板实验为例：xihi则落在第个则落在第个i槽中的小球数槽中的小球数 N=Cxihixi 第第i个槽的位置个槽的位置坐标为坐标为xi，槽的宽，槽的宽度为度为xi 在此槽中在此槽中小球的
5、高度为小球的高度为hi，C 为单位面积内的小为单位面积内的小球数。球数。小球总数小球总数小球落入第小球落入第 i个槽的概率个槽的概率令令x 0，则有则有设：设：则：则：或或 小球沿小球沿x的分布函数，小球落入的分布函数，小球落入x附近单位附近单位区间的概率（概率密度）。区间的概率（概率密度）。归一化条件：归一化条件：五五.等概率假设等概率假设 在经典统计理论中，波尔兹曼提出：对于在经典统计理论中，波尔兹曼提出：对于处在平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态处在平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态出现的概率相等。设微观态的总数为出现的概率相等。设微观态的总数为P，则任则任一微观态出现的概率为一微观
6、态出现的概率为1/P。等概率假设是经等概率假设是经典统计理论的重要出发点，已为大量实验所证典统计理论的重要出发点，已为大量实验所证实。实。2 分子平均平动动能统计分布规律分子平均平动动能统计分布规律一一.气体分子运动等概率假设气体分子运动等概率假设 1.气体分子在容器中各处出现的概率是均等的。气体分子在容器中各处出现的概率是均等的。即气体分子数密度处处相等。即气体分子数密度处处相等。2.气体分子沿各方向运动的概率相等，即分子气体分子沿各方向运动的概率相等，即分子速度在各方向上分量的各种平均值相等。速度在各方向上分量的各种平均值相等。二二.压强公式压强公式1.1.气体产生压强的原因气体产生压强的
7、原因气体压强不可能由气体分子的重力产生。气体压强不可能由气体分子的重力产生。压强是大量分子对容器壁不断碰撞而产生的。压强是大量分子对容器壁不断碰撞而产生的。2.公式推导公式推导推导思路推导思路求求i分子与器壁分子与器壁A碰撞一碰撞一 次时施于次时施于A的冲量的冲量求求i分子在分子在t时间内对时间内对A的的碰撞次数碰撞次数求求i分子在分子在t时间内施于时间内施于A的的冲量冲量N个分子个分子t时间内时间内施于施于A的的总冲量总冲量压强压强分子数密度分子数密度分子数密度分子数密度X X方向速率平方的平均值方向速率平方的平均值方向速率平方的平均值方向速率平方的平均值分子平均平动动能分子平均平动动能分子
8、平均平动动能分子平均平动动能4.4.压强公式讨论压强公式讨论假设假设分子大小、分子力及分子所受重力均可忽略。分子大小、分子力及分子所受重力均可忽略。宏观量与微观量联系起来，反映宏观量的微观本质宏观量与微观量联系起来，反映宏观量的微观本质分子在运动中遵守力学定律，在碰撞时可视为分子在运动中遵守力学定律，在碰撞时可视为完全完全弹性小球。弹性小球。压强取决于分子数密度和平均平动动能值值压强取决于分子数密度和平均平动动能值值分子沿各方向运动的分子数目相等分子沿各方向运动的分子数目相等, ,分子速度分子速度在各方向分量在各方向分量的各种平均值相同。的各种平均值相同。压强是大量分子对器壁冲量的统计平均效果
9、，压强是大量分子对器壁冲量的统计平均效果，单个单个分子的压强没有意义。分子的压强没有意义。三三.温度的统计意义温度的统计意义1.1.宏观意义：冷热程度，是决定某一系统与另宏观意义：冷热程度，是决定某一系统与另一系统处于热平衡的宏观标志。一系统处于热平衡的宏观标志。温标温标温度的数值表示法，量化冷热程度。温度的数值表示法，量化冷热程度。摄氏温标摄氏温标(0C):规定规定1atm下，纯水的冰点为下，纯水的冰点为0度，汽点为度，汽点为100度。度。华氏温标华氏温标(0F):规定规定1atm下，水、冰和氯化铵下，水、冰和氯化铵混合物为混合物为00F，水的汽点为水的汽点为2120F。热力学温标热力学温标
10、(K):与测温物质无关。与测温物质无关。T = 273.15 + t绝对0度能否达到？2.微观统计意义微观统计意义分子数密度分子数密度分子数密度分子数密度玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数分子平均平动分子平均平动动能公式。动能公式。 温度是分子平均平动动能的量度，表示大量温度是分子平均平动动能的量度，表示大量分子热运动的剧烈程度，对个别分子温度没有意分子热运动的剧烈程度，对个别分子温度没有意义。义。3 分子能量的统计分布分子能量的统计分布质点：质点：3个平动自由度个平动自由度(t)火车（看成质点）在铁道上运行，自由度为火车（看成质点）在铁道上运行，自由度为1；轮船（看成质点）在大
11、海中航行，自由度为轮船（看成质点）在大海中航行，自由度为2；飞机（看成质点）在天空中飞行，自由度为飞机（看成质点）在天空中飞行，自由度为3 ；确定物体位置的独立坐标数确定物体位置的独立坐标数.刚体：刚体：平动：平动： 质心位置轴线方位轴线方位：转动：转动：X、Y、Z、（、（）3个平动自由度个平动自由度(t)3个转动自由度个转动自由度(r)双原子分子双原子分子单单原子分子原子分子平动自由度平动自由度t=3平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=2三原子分子三原子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=3二、能量均分定理二、能量均分定理 气体分子沿气体分子沿 x、y、z 三
12、个方向运动的平均动能三个方向运动的平均动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能 均均匀分配在每个平动自由度上。匀分配在每个平动自由度上。 在温度为在温度为T的平衡态下，分子的每个自由度的平衡态下，分子的每个自由度具有相同的平均动能，其大小都等于具有相同的平均动能，其大小都等于1.1.能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理：单原子分子单原子分子单原子分子单原子分子 双原子分子双原子分子双原子分子双原子分子自由度自由度自由度自由度 平均平动动能平均平动动能平均平动动能平均平动动能平均总动能平均总动能平均总动能平均总动能平均势能平均势能平均势能平均势能平均总能
13、量平均总能量平均总能量平均总能量2.平均总能量理论实验对比平均总能量理论实验对比 单原子分子：吻合单原子分子：吻合 双原子分子：不吻合双原子分子：不吻合双原子双原子理论值理论值理论值理论值实验值实验值实验值实验值低温低温低温低温1010100K100K常温常温常温常温2502501000K1000K高温高温高温高温2500K2500K 我们的研究以常温下为主。只考虑双原我们的研究以常温下为主。只考虑双原子分子的平动和转动自由度，不考虑振动子分子的平动和转动自由度，不考虑振动自由度。自由度。双原子分子双原子分子双原子分子双原子分子常常常常 温温温温高高高高 温温温温自由度自由度自由度自由度 平均
14、平动动能平均平动动能平均平动动能平均平动动能平均总动能平均总动能平均总动能平均总动能平均势能平均势能平均势能平均势能平均总能量平均总能量平均总能量平均总能量1.气体的内能：所有分子的（气体的内能：所有分子的（N个分子）各种个分子）各种形式的动能和势能的总和。形式的动能和势能的总和。动能：平动动能转动动能振动动能势能：分子间的势能分子内原子间的势能2.理想气体的内能：所有分子的（理想气体的内能：所有分子的（N个分子）个分子）平动动能和转动动能的总和。平动动能和转动动能的总和。3.注意注意自由度数的确定自由度数的确定 单原子分子单原子分子i3，双原子分子，双原子分子i5区别平均平动动能、平均总动能
15、、平均总能区别平均平动动能、平均总动能、平均总能量以及内能。量以及内能。一定质量理想气体的内能为一定质量理想气体的内能为1 1mol理想气体的内能为理想气体的内能为itr例题：某容器内装有氧气，例题：某容器内装有氧气，m=1mol，P=1atm，t=27，求：，求：、n、四四.气体分子的能量分布气体分子的能量分布讨论分子数与力场的关系。讨论分子数与力场的关系。 当气体分子处在重力场或带电离子处在电场中，当气体分子处在重力场或带电离子处在电场中，此时分子数的分布与力场有关，单位体积的分子数此时分子数的分布与力场有关，单位体积的分子数（n）不再均匀。）不再均匀。波尔兹曼提出：波尔兹曼提出：势能为零
16、分子数密度势能为零分子数密度势能为零分子数密度势能为零分子数密度势能为势能为势能为势能为E Ep p分子数密度分子数密度分子数密度分子数密度海平面上压强海平面上压强海平面上压强海平面上压强L兰媚耳实验兰媚耳实验:4.气体分子速率的统计分布气体分子速率的统计分布讨论气体分子数随速率的分布情况讨论气体分子数随速率的分布情况SP 平衡态下，一定量气体分子总数为平衡态下，一定量气体分子总数为N, ,分子速率分子速率处于处于 区间的分子数为区间的分子数为dN。一一.麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数表示速率分布在表示速率分布在 区间内的区间内的分子数占总分子数的比率。分子数占总分子数的比率。与速率
17、与速率v有关有关与速率区间与速率区间dv有关有关速率分布函数速率分布函数速率分布函数速率分布函数 速率在速率在v附近单位速率间隔内附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。的分子数占总分子数的比率。归一化条件归一化条件f(v)vv v+dvv1v2dNN面积面积= 出现在出现在vv+dv区间内的概率区间内的概率分子出现在分子出现在v1v2区间内区间内的概率的概率曲线下的总面积曲线下的总面积恒等于恒等于1二二.速率分布曲线速率分布曲线 （ f(v) v 曲线）曲线）f(v)vf(vp)vp 分布在分布在vp所在所在区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的几占总分子数的几率最大。率最大。1.1.
18、最概然速率最概然速率 最概然速率：与分布最概然速率：与分布函数函数f(v)的极大值相对的极大值相对应的速率。应的速率。极值条件极值条件2.2.麦克斯韦分布曲线随温度变化麦克斯韦分布曲线随温度变化温度越高，分布曲线中的最概然温度越高，分布曲线中的最概然速率速率vp增大，但归一化条件要求曲增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。宽度增大，高度降低。f(v)f(v)f(vf(vp3p3) )v vv vp pf(vf(vp1p1) )f(vf(vp2p2) )T T1 1T T3 3T T2 23.3.麦克斯韦分布曲线随质量变化麦克斯韦分布
19、曲线随质量变化分子质量越大，分布曲线中的最分子质量越大，分布曲线中的最概然速率概然速率vp越小，但归一化条件要越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。曲线宽度减小，高度升高。f(v)f(v)f(vf(vp3p3) )v vv vp pf(vf(vp1p1) )f(vf(vp2p2) )1 12 23 3三三.两种速率两种速率1.1.平均速率平均速率大量分子速率的统计平均值大量分子速率的统计平均值对于连续分布对于连续分布2.2.方均根速率方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根都与都与 成正比，成正比，
20、与与 成反比成反比f(v)v例题：温度例题：温度300K时，氧气分子的最概然速率，平时，氧气分子的最概然速率，平均速率与方均根速率。均速率与方均根速率。解：解：5.分子碰撞的统计分布分子碰撞的统计分布一一.平均碰撞频率平均碰撞频率 单位时间内分子的平均碰撞次数。单位时间内分子的平均碰撞次数。 碰撞机构的简单模型碰撞机构的简单模型 假设某分子假设某分子a以平均相对速率以平均相对速率u运动运动 假设气体分子都是直径为假设气体分子都是直径为d的刚球（有的刚球（有效直径）效直径）, ,分子之间的碰撞分子之间的碰撞是完全弹性的是完全弹性的 柱体中的分子数柱体中的分子数 凡是能够与凡是能够与a发生碰撞的分
21、发生碰撞的分子，子，其球心必须其球心必须在半径为在半径为d的圆的圆柱体内柱体内 平均碰撞频率平均碰撞频率 修正后的平均碰撞频率修正后的平均碰撞频率2.Z2.Z的计算的计算2.2.计算计算3.3. 与与P,T的关系的关系1.1.定义定义 分子在连续两次分子在连续两次碰撞碰撞所通过的自由所通过的自由路程的路程的平均值平均值平均自由程平均自由程二二. .平均自由程平均自由程 的计算的计算 6.气体的输运过程气体的输运过程从非平衡态过渡到平衡态的过程从非平衡态过渡到平衡态的过程二二.热传导现象热传导现象一一.扩散现象扩散现象三三.粘滞现象粘滞现象四四.渗透现象渗透现象一一.扩散现象扩散现象1.微观解释
22、：接触层密度的区别，微观解释：接触层密度的区别，使进入双方的分子数不同，出现使进入双方的分子数不同，出现质量迁移。质量迁移。2.基本规律基本规律菲克定律菲克定律接触时间接触时间接触时间接触时间接触面积接触面积接触面积接触面积扩散系数扩散系数扩散系数扩散系数密度梯度密度梯度密度梯度密度梯度质量输运方向质量输运方向质量输运方向质量输运方向3.实质：实质：密度不一致引起分子质量的输运密度不一致引起分子质量的输运 1.微观解释：接触层通过交换分微观解释：接触层通过交换分子，使分子热运动动能发生迁子，使分子热运动动能发生迁移。移。 二二.热传导现象热传导现象3.实质：实质：温度不一致引起分子热运动能量的
23、输运温度不一致引起分子热运动能量的输运 2.基本规律基本规律傅立叶定律傅立叶定律热导率热导率热导率热导率接触面积接触面积接触面积接触面积接触时间接触时间接触时间接触时间温度梯度温度梯度温度梯度温度梯度热量传递方向热量传递方向热量传递方向热量传递方向1.实验规律实验规律接触面积接触面积接触面积接触面积粘滞系数粘滞系数粘滞系数粘滞系数流速梯度流速梯度流速梯度流速梯度2.实质：实质：气体内定向动量的输运气体内定向动量的输运 三三.粘滞现象粘滞现象四四.渗透现象渗透现象h2.微观解释微观解释1.宏观现象宏观现象选择性扩散选择性扩散现象现象半透膜：对溶液的通透具半透膜：对溶液的通透具有选择性有选择性3.
24、基本规律基本规律范托夫定律范托夫定律渗透压渗透压渗透压渗透压molmol浓度浓度浓度浓度1升水溶解20克的糖，可产生14米水柱高的渗透压。腹泻与脱水：土壤的呼吸：1.强相互作用：短程力，它使原子核牢固的保持为一个整体，尽管质子间存在很大的排斥作用。2.电磁力：长程力，它使原子核与电子能聚集在一起形成原子。3.弱相互作用：短程力，能引起粒子间的某些过程，例如中子和原子的放射性衰变，以及其它粒子的衰变。4.引力：长程力，在宇宙的构造和演化过程中起主要作用。小常识：自然界中的四种基本相互作用宏观物体之间所能观测到的，只有电磁力与引力。我们已经认识到物质世界千变万化的现象，归根结底只通过这四种基本相互作用起作用。 类型 相对强度作用距离（m）强相互作用弱相互作用电磁相互作用引力相互作用 1 10-1310-210-3810-1510-18长长
