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1、逆函数和复合函数逆函数和复合函数本章要点本章要点函数的基本概念函数的基本概念 第四章第四章 函数函数基数的概念基数的概念可数集与不可数集可数集与不可数集基数的比较基数的比较(一一) 函数的定义函数的定义一、函数的基本概念一、函数的基本概念 设设X和和Y是任何两个集合，是任何两个集合，f是是X到到Y的一个二元的一个二元关系，如果对于关系，如果对于每一个每一个每一个每一个xX，有，有唯一唯一的的yY，使得，使得 f，称关系，称关系f为为函数函数，记作：，记作： f: XY或或 f是一种特殊的二元关系是一种特殊的二元关系； 前域前域domf =X,称为称为定义域定义域；值域值域ranf Y，也记为也
2、记为Rf；Y称为称为f的的共域共域； f 也记为也记为 y=f(x), x称为称为自变量自变量，y称为称为f在在x的的函数值函数值.例例4.1.14.1.1 设设X、Y为实数集，下列关系为实数集，下列关系f是否为从是否为从X到到Y的函数的函数.(1) y=x1/2dom f 是是 0,+) X(2) y=x3(3) y=x3亦称映射亦称映射例例例例4.1.24.1.2设设 X=1,5,p,张明，张明，Y=2,q,7,9,G, f = , , , ,求求f的定义域的定义域domf和值域和值域ranf.解：解：domf =X, ranf = 2, q, 7, G.F若函数的定义域是有限的，则可通过
3、列表或画若函数的定义域是有限的，则可通过列表或画有向图来表示函数。如上例也可表示为：有向图来表示函数。如上例也可表示为：xf (x)125qp7张明张明G15p张明张明2q7G一、函数的基本概念一、函数的基本概念函数的像函数的像 设函数设函数 f：X Y, X1 X, X1 在在 f 下的像：下的像：f(X1) = f(x) | xX1 ,函数的像：函数的像： f(X)=f(x) | xX ,x 在在 f 下的像：下的像： f(x).即函数值即函数值即值域即值域ranf一、函数的基本概念一、函数的基本概念(1) f(0)=(2) f(-1,0,1)=(3) f(R)=e0=1;e-1,e0,e
4、1=1/e,1,e;R+.函数的像函数的像例例例例4.1.34.1.3设设 f ：RR, f(x)=ex,则则一、函数的基本概念一、函数的基本概念 设函数设函数f: AB, g: CD,如果如果(1) A=C;(2) xA=C, f(x)=g(x), 则称函数则称函数f 和和g相等相等，记作，记作f=g.(二二) 函数的相等函数的相等例例 函数函数 f(x)=(x2 1)/(x+1), g(x)=x 1不相等不相等, 因为因为 domf domg.定义域相同定义域相同对应关系相同对应关系相同一、函数的基本概念一、函数的基本概念(三三) Y上上X 所有从所有从 X到到 Y 的函数的集合记作的函数
5、的集合记作 YX, 读作读作“Y上上X”，符号化表示为，符号化表示为YX = f | f：XY .l |X|=m, |Y|=n, 且且m, n0, |YX|=l X= , 则则 YX=Y =l X 且且Y= , 则则YX= X= 计数计数nm. .一、函数的基本概念一、函数的基本概念Y上上X例例例例4.1.44.1.4 设设 X = 1, 2, 3, Y = a, b, 求求YX. 解：解：YX = f0, f1, , f7, 其中其中f0= , f1=, f2= , f3=,f4= , f5=, f6= , f7=,.一、函数的基本概念一、函数的基本概念(四四) 函数的性质函数的性质 设设
6、f：XY,(1)若若ranf = Y, 则称则称 f：XY是是满射满射(或或到上映射到上映射);(2)若若 yranf 都存在都存在唯一唯一的的 xX使得使得f(x)=y, 则称则称 f：X Y是是入射入射(或或一对一映射一对一映射);(3)若若 f：XY既是满射又是入射既是满射又是入射, 则称则称 f：X Y是是双射双射.Ff 满射意味着：满射意味着：Ff 入射意味着：入射意味着：或或 x1 x2 f(x1) f(x2). y Y, 都存在都存在 x X 使得使得 f(x) = y.f(x1) = f(x2) x1= x2一、函数的基本概念一、函数的基本概念例例例例4.1.54.1.5证明以
7、下函数是双射证明以下函数是双射 f：R R R R，R为实数为实数 f () = x+y, x y 证：证：任取任取, R R,若若 = ,解关于解关于x, y的方程组知：的方程组知：故故 = .先证先证f 是是入入射射： 则则 x+y = u+v 且且 x y = u v。 函数的性质函数的性质x = u 且且 y = v,一、函数的基本概念一、函数的基本概念再证再证f 是是满满射射：这只要这只要证证对任意对任意(u,v) R R, 可以找到可以找到 R R, 使得使得f () = 就可以了就可以了.由由f 的定义有的定义有 x+y = u 和和 x y = v综上所述，综上所述，f 是双射
8、的是双射的.从而从而x=(u+v)/2, y=(u-v)/2.就是说就是说f()=.函数的性质函数的性质一、函数的基本概念一、函数的基本概念例例例例4.1.64.1.6 判断以下函数是否为入射、满射、双射，为什么判断以下函数是否为入射、满射、双射，为什么? (1) f：RR, f(x) = x2+2x 1 (2) f：Z+R, f(x) = lnx, Z+为正整数集为正整数集 (3) f：RZ, f(x) = x (4) f：RR, f(x) = 2x+1 (5) f：R+R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中其中R+为正实数集为正实数集 (6) f：N NN，N为自然数集为自然数集(0
9、N) f () = | x2 y2 |函数的性质函数的性质一、函数的基本概念一、函数的基本概念解解 :(1) f：RR, f(x)= x2+2x 1 满射；满射； (3) f：RZ, f(x)= x 单调上升单调上升, 是入射；是入射；(2) f：Z+R, f(x)=lnx因为在因为在x=1取得极大值取得极大值0，所以既非入射也非满射所以既非入射也非满射.但非满射但非满射, ranf=ln1, ln2, .但非入射但非入射, 例如例如 f(1.5)=f(1.2)=1.函数的性质函数的性质一、函数的基本概念一、函数的基本概念小于等于小于等于x的最大整的最大整数数因为有极小值因为有极小值f(1)=
10、2，所以该函数既非入射也非满射，所以该函数既非入射也非满射.(5) f：R+R+, f(x)=(x2+1)/x双射双射, 因为它是单调的并且因为它是单调的并且ranf=R. (4) f：RR, f(x)=2x+1(6) f：N NN，N为自然数集为自然数集(0 N) f () = | x2 y2 |因为因为f ()= f () = 0； f 不是入射；不是入射；因为找不到自然数因为找不到自然数x和和y满足满足| x2 y2 | = 2，从而，从而2 ranf ，所以所以f 不是满射不是满射.函数的性质函数的性质一、函数的基本概念一、函数的基本概念函数的性质函数的性质定理定理 令令 X和和 Y
11、为为有限集有限集, 若若X和和Y的元素个数相同的元素个数相同, 即即|X| = |Y| ，则，则f :XY 是是入射入射，当且仅当，当且仅当f是是满满射射.证证 :设设 f 是入射，是入射，则则|X| = |f (x)| ，又因为又因为|X| = |Y| ，故故|f (x)| = |Y| ，因为因为 |Y| 是有限的，是有限的，从从 f 定义知定义知f (X) Y ，故故 f (X) = Y,所以所以 f 是满射是满射.一、函数的基本概念一、函数的基本概念函数的性质函数的性质定理定理 令令 X和和 Y 为为有限集有限集, 若若X和和Y的元素个数相同的元素个数相同, 即即|X| = |Y| ，则
12、，则f :XY 是是入射入射，当且仅当，当且仅当f是是满满射射.F此定理仅在有限集的情况下才能成立，在无限集此定理仅在有限集的情况下才能成立，在无限集上不一定成立上不一定成立.如如 f:II , f (x) = 2x,显然显然 f 是一个入射，而不是满射是一个入射，而不是满射.证证 : 设设 f是满射，是满射，由满射定义知由满射定义知f (X) = Y ，于是有于是有|X| = |Y| = |f (x)| ，又因为又因为 |X| 是有限的，是有限的，所以所以 f 是入射是入射.一、函数的基本概念一、函数的基本概念(五五) 几种常见的函数几种常见的函数1. 设设f：XY, 若存在若存在 y0Y,
13、 使得使得 xX 都有都有 f(x)=y0, 则称则称 f：XY是是常函数常函数.2. 若若IX= | xX ,则称则称IX：XX为为恒等函数恒等函数. 3. 设设 f：RR，若对任意的，若对任意的 x1, x2R，x1x2, 就就 有有 f(x1) f(x2), 则称则称 f 为为单调递增单调递增的；若对任意的；若对任意 的的 x1, x2R, x1 x2, 就有就有 f(x1) f(x2), 则称则称 f 为为 严格单调递增严格单调递增 的的. 类似可以定义类似可以定义单调递减单调递减 和和严格单调递减严格单调递减 的函数的函数.一、函数的基本概念一、函数的基本概念几种常见的函数几种常见的
14、函数4.设设 E 为集合为集合, A E, A的的 特征函数特征函数 A：E 0,1 定义为定义为实例实例 集合：集合：X = A, B, C, D, E, F, G, H , 子集：子集：T = A, C, F, G, H T 的特征函数的特征函数 T ： x A B C D E F G H T 1 0 1 0 0 1 1 1 一、函数的基本概念一、函数的基本概念几种常见的函数几种常见的函数FA的每一个子集的每一个子集A都对应于一个特征函数都对应于一个特征函数, 不不同的子集对应于不同的特征函数同的子集对应于不同的特征函数. 例如例如 A=a, b, c, 则有则有 = , , ， a,b
15、= , , 一、函数的基本概念一、函数的基本概念几种常见的函数几种常见的函数5. 设设 R 是是 A 上的等价关系上的等价关系, 令令g：AA/Rg(a) = a, aA称称 g 是从是从 A 到商集到商集 A/R 的的自然映射自然映射.一、函数的基本概念一、函数的基本概念F 给定集合给定集合 A, A 上不同的等价关系确定不同的自上不同的等价关系确定不同的自然映射然映射, 其中恒等关系确定的自然映射是双射其中恒等关系确定的自然映射是双射, 其它其它的自然映射一般来说是满射的自然映射一般来说是满射. 例如例如 A=1, 2, 3, R=,IA几种常见的函数几种常见的函数HW: 4-1习题习题 (2)(4)(7)(8)一、函数的基本概念一、函数的基本概念g(1) =g(3) =g(2) = 1,2,3.
