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1、第七章 平面立体7-1 平面立体的投影及表面取点平面立体的投影及表面取点7-4 平面立体与平面立体的相贯平面立体与平面立体的相贯7-3 平面立体的贯穿点平面立体的贯穿点7-2 平面立体的截交线平面立体的截交线7-5 同坡屋面的交线同坡屋面的交线7-1 平面立体的投影及表面取点平面立体的投影及表面取点 任何立立体体均均占有一定的空间，并由围成该立体的各个表面确定其范围及形状。 根据立体表面的平、曲性质不同分为平面立体和曲面立体。平平面面立立体体表面由平面多边形围成的立体叫平面立体，平面与平面的交线为立体的棱线，侧表面称为棱面，上下表面分别叫顶面或底面。通常平面立体又分为棱柱体、棱锥体、棱台体等。
2、平平面面立立体体的的投投影影特特点点：由各个棱面、棱线的投影形成投影图，通常由一些封闭的多边形组合而成，可见的棱线画成粗实线，不可见的棱线画成细虚线。一、棱柱的形体特征及投影特性一、棱柱的形体特征及投影特性因正棱柱的侧棱垂直于投影面，故它在该投影面上的投影积聚为多边形，另外两个另外两个投影轮廓投影轮廓线为矩形。线为矩形。注意注意:图中去掉了轴线和45辅助线,这是由于通过体上的点线面等的相对位置来决定立体三个投影的相对位置,但是要特别注意：在俯、侧视图上的相对坐标关系. yy六棱柱的投影六棱柱的投影图yy虚线和实线重合的时候，只画可见的实线。二、棱二、棱锥的形体特征及投影特性的形体特征及投影特性
3、 当棱锥的底面平行于投影面时，它在该投影面上的投影为实形（不可见），另外两个投影其轮廓线为三角形。sacbascbb（c）sa三棱锥的投影图三棱锥的投影图注意：注意：S点的侧面投影位置,正三棱锥的侧面投影并不是等腰三角形。yy三、三、 平面立体表面上取点平面立体表面上取点 平平面面立立体体表表面面取取线线定定点点的的原原理理及及方方法法与与单单一一平平面内取线定点的方法基本相同。面内取线定点的方法基本相同。 平平面面立立体体可可看看作作是是由由若若干干个个多多边边形形平平面面所所围围成成，所所以以在在平平面面立立体体表表面面上上取取点点或或取取线线时时，应应由由已已知知点点的的投投影影位位置置
4、及及可可见见性性，分分析析判判断断该该点点所所属属表表面面，若若该该表表面面有有积积聚聚性性，则则利利用用积积聚聚性性的的投投影影直直接接作作出出，若若该该表表面面没没有有积积聚聚性性，则则过过已已知知点点在在该该表表面面内内引引辅辅助线求出。助线求出。 但但要要注注意意判判别别所所求求点点的的所所属属性性和和可可见见性性，处处于于不不可可见见棱棱面面上上的的点点是是不不可可见见的的点点，用用括括号号括括起起来来表表示。示。bcaabbaABcCc(d)dd( ) 立体表面取点的立体表面取点的步骤步骤 AA先由已知点的投影位先由已知点的投影位置及可见性置及可见性, ,分析判断该分析判断该点所属
5、的点所属的表面表面; ;若该面有若该面有积聚投影积聚投影, ,利用它可直接利用它可直接补出点的另一投影补出点的另一投影; ;若该若该面无积聚投影面无积聚投影, ,则过点在则过点在该面内作一条辅助线该面内作一条辅助线, ,再再于此线上定点于此线上定点, ,并判别可并判别可见性见性。棱柱表面表面上取点点点A在铅垂在铅垂面内面内,可利用可利用积聚性投影积聚性投影求求a点点B在铅垂在铅垂线上线上,可利用可利用属于直线的属于直线的点的投影特点的投影特性求性求b和和b点点C在水平在水平面内面内,可利用可利用积聚性投影积聚性投影求求c判别点的可见判别点的可见性的原则是性的原则是某投影中某投影中,点的可点的可
6、见性与点所在表见性与点所在表面的可见性相同面的可见性相同k三棱锥表面上取点abccbassa(c)sSABCbkkKeeEe棱线上取点(较特殊的点）SABC三棱锥表面上取点abccbassa(c)bsFEefef1Ddd11 平面立体可看作是由若干个平面图形所围成的，所以在平面立体表面上取点或取线时，应把属于平面立体的棱面作为单独的平面来考虑。 SAB为一般位置平面,它的每个投影都没有积聚。在该面上取点必须作辅助线。作辅助线常用的方法有两种1)过已知点作该面底边的平行线；2)作已知点与顶点的连线;再于辅助线上定点。棱面上取点SABC(4)abccbassa(c)sb22222( )(3)334
7、47-2 平面立体的截交平面立体的截交线 平面与立体相交亦称平面截割立体平面与立体相交亦称平面截割立体,其平面与立体的交其平面与立体的交线称为截交线，这种交线在实际工程及物体中十分常见。线称为截交线，这种交线在实际工程及物体中十分常见。P 截平面与立体表面的交线叫做截交线。截割立体的平面叫做截平面 由截交线围成的平面图形称为截断面(或断面)。 多边形各顶点是立体棱线与截平面的交点。平面立体截交平面立体截交线的性的性质 （1 1）平平面面立立体体的的截截交交线线是是截截平平面面与与平平面面立立体体表表面面的的共共有有线线，截截交交线线上上的的点点是是截截平平面面与与立立体体表表面面上上的的共有点
8、。共有点。（2 2）由由于于平平面面立立体体的的表表面面都都具具有有一一定定的的范范围围，所所以以截交线通常是封闭的平面多边形。截交线通常是封闭的平面多边形。（3 3）多多边边形形的的各各顶顶点点是是平平面面立立体体的的各各棱棱线线或或边边与与截截平平面面的的交交点点，多多边边形形的的各各边边是是平平面面立立体体的的棱棱面面与与截截平面的交线，或是截平面与截平面的交线。平面的交线，或是截平面与截平面的交线。求平面立体截交线的方法交点法交点法：求出截平面与立体各棱线的交点，再按：求出截平面与立体各棱线的交点，再按一定的连线原则将交点相连，即得截交线。一定的连线原则将交点相连，即得截交线。交线法交
9、线法：求出截平面与立体各棱面的交线，即得：求出截平面与立体各棱面的交线，即得截交线。截交线。交点连成截交线的原则是交点连成截交线的原则是：位于立体的同一表面：位于立体的同一表面的两点才能相连，通常为闭合的平面折线。位于的两点才能相连，通常为闭合的平面折线。位于可见平面的截交线为可见线，画成粗实线，位于可见平面的截交线为可见线，画成粗实线，位于不可见平面的截交线为不可见线，画成细虚线。不可见平面的截交线为不可见线，画成细虚线。例题求作正垂面P截割六棱柱的截交线。PV625431615432(5)34(6)211、棱柱上截交线的求法 分析 作图 作出截平面与棱柱的交点、交线 依次连接各点 判断可见
10、性 整理轮廓线 检查 加深图线 分析截平面P与六棱柱的六个棱面都相交,截交线为一个六边形;截平面P是正垂面,其正面投影PV有积聚性,截交线的正面投影积聚在PV上,又因为六棱柱的六个侧棱面都垂直于水平面,故截交线的水平投影积聚在六棱柱各棱面的水平投影上。所以只需求截交线的侧面投影。11 2133645例例题 求五棱柱的截交求五棱柱的截交线54236456分析图形求截交线上的转折点依次连接转折点完成图形245例例题 求立体截切后的投影求立体截切后的投影89(6)(7)(9)(8)(10)412（3）(5)11013223yy54yy8（9）(7)6 7610例例题 求立体截切后的投影求立体截切后的
11、投影1（2）74（3）5 （10）6 11（9）（8）12345109681176978111（4）2 （3）510例例题 求四棱求四棱锥的截交的截交线。并求断面。并求断面实形。形。分析图形,补出完整图形根据已知条件求出棱线上的点依次连接按线型补出图形y3y42211y4y343214(3)43235411166543264（5）2 （3）例题4 求四棱锥截切后的投影431265114565234（6）（2）（3）例题 求立体截切后的投影例例题 已知已知带缺口正三棱缺口正三棱锥的正面投影的正面投影,补全水平投影和全水平投影和侧面投影面投影截平面Q为水平面，完全截断与三棱锥的截交线为与锥底相似的
12、三角形。PVQV截平面P为正垂面，根据棱线上的点可以求出截交点分析图形判断截平面的空间位置。判别可见性，加深图线，完成作图。44y33332211求带缺口的四棱台的H、W投影1342766y22445555656677习题：作出带截面和缺口的四棱柱的水平投影。857624318765432178341265V作业评讲：作出六棱锥被P、Q平面截割后的投影。yyPWQW作业评讲：完成带缺口三棱柱的H、W投影yy作业评讲：求带缺口的四棱台的H投影7-3 平面立体的贯穿点平面立体的贯穿点 直线与立体表面的交点称为贯穿点。即贯穿点既是属于直线的点，又是属于立体表面的点，因此，求贯穿点的问题，就是求线与面
13、交点的问题。 求贯穿点的方法：包含已知直线作一个辅助截平面，求此截平面与立体的截交线，截交线与已知直线的交点即为贯穿点。例题例题 求直线求直线KLKL与三棱锥的贯穿点与三棱锥的贯穿点lkkl求贯穿点的方法PKLMN 包含直线作辅助平面,求得该辅助平面与立体的截交线，而贯穿点是直线与截交线的交点。KLMN作作图过程：程：PVkl注意：注意： 贯穿点之间没有线。m112233mnlk(n) 包含直线作辅助平面 求辅助平面与立体的截交线 求上述截交线与被包含直线的交点即贯穿点。7-4 平面立体与平面立体的相平面立体与平面立体的相贯 相交的两立体常称为相贯体相贯体,相贯体表面的交线称为相贯线相贯线相贯
14、线的性质相贯线的性质: :相贯线为两立体表面的共有线共有线,相贯线上的每个点都是两立体的共有点共有点由于立体表面有一定的范围,所以相贯线一般都是闭合线.只有当两立体具有重叠表面时,相贯线才不闭合. 对于两个立体都是平面立体来说,其相贯线一般都是闭闭合的空间折线合的空间折线.其每一段线段都是两平面立体有关棱面的交线,每一个折点都是一平面体的棱线对另一平面体的贯穿点求两平面立体相贯线的步骤分析形体：分析形体：认识两相贯体的形体特征，考察两立体的相对位置。判断是“全贯”（两组相贯线）还是“互贯”（一组相贯线）。求相贯点求相贯点：由于平面立体相贯线的性质特殊，实际上就是求每一条棱线与另一立体的相贯点。
15、连接相贯点连接相贯点：属于同一立体的同一棱面而同时属于另一立体也是同一棱面的两点才能相连。判别可见性判别可见性：位于两立体均为可见表面上的相贯线才是可见的。完成图形完成图形。例例题：求三：求三棱棱锥与三棱与三棱柱的相柱的相贯线defdfeacbsacbsdefdfeacbsacbs分析形体分析形体，可以看出，BS棱线与三棱柱没有相交，而D、F棱线与三棱锥没有相交，因此，可以分析出总共有6个相贯点。利用三棱柱的积聚性，可直接定出、点的水平投影按照求贯穿点的方法求出六个点在V面的投影。24314355(6)6依次连接相贯点，判别可见性21整理图形，完成图形。作图过程：作图过程：例例题 求三棱求三棱
16、锥 和四棱柱的相和四棱柱的相贯线。scbaedgfasbcefdgdgefescabgedfdfg求三棱求三棱锥 和四棱柱的相和四棱柱的相贯线。scbaedgfasbcefdgdgefescabgedfdfgPVQV1 1、分析、分析( (形体分析、棱线的投形体分析、棱线的投影分析、贯穿点的数量分析影分析、贯穿点的数量分析) )2 2、求相贯点、求相贯点3 3、判别可见性画出相贯线、判别可见性画出相贯线4 4、整理各棱线、整理各棱线scbaasbcscab分析:如将四棱柱抽出，成为三棱锥被贯一四棱柱孔，很显然，相贯点位置没变，即相贯线没变，只是在完成图形时注意保留的线及线的虚实。例题 两平面立
17、体相贯，完成相贯线的投影 132456123456解题步骤1 分析 相贯线的正面投影已知，水平投影未知；相贯线的投影前后、左右对称2 求出相贯线上的折点、 、 、 、 ；3 顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4 整理轮廓线。例题 两平面立体相贯，完成相贯线的投影 解题步骤1 分析 相贯线的水平投影已知，正面投影未知；相贯线的投影前后、左右对称2 求出相贯线上的折点、 等；3 顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4 整理轮廓线。321123作业评讲：求平面ABC与四棱柱的截交线abcdgbfabcde(g)f作业评讲1234,512345作业评讲75 同坡屋面的交线同坡屋面的交
18、线一、屋面的形式一、屋面的形式二、坡屋面的种类二、坡屋面的种类三、同坡屋面的定义三、同坡屋面的定义四、同坡屋面投影作图的原理四、同坡屋面投影作图的原理五、例题五、例题一、屋面的形式一、屋面的形式平屋顶坡屋顶折板壳体悬索二、坡屋面的种类二、坡屋面的种类歇山十字脊四坡屋面庑殿两坡屋面三、什么是同坡屋面三、什么是同坡屋面平脊斜脊屋檐 所谓的同坡屋面，是指各屋面与水平面的倾角相等（角相等），檐线又属于同一水平面的情况加以研究。从立体角度看，是截头三棱柱相贯。斜沟四、同坡屋面投影作图原理四、同坡屋面投影作图原理同坡屋面交同坡屋面交线的水平投影作的水平投影作图原理原理水平水平倾角相等的两斜屋面角相等的两斜
19、屋面，其交线的水平投影为它们的等高檐线水平投影的角平分线。因此，如屋面两檐线成直角相交，则它们的交线在平面图上与檐线成45。如两檐线平行，则含此两檐线的两屋面交线在平面图上为两檐线的中线。三面共点，三面共点，由于三平面的三条交线必交于一点，因此在屋面上如有两条交线交于一点，则通过该点必有第三条交线。当相邻檐线都成直角相交时，则在平面图上汇交于一点的三条交线中，两条为45 线，另一条为两平行檐线的中线。作屋面交作屋面交线的水平投影的水平投影图时，利用先碰先交，依次封，利用先碰先交，依次封闭斜屋面的作斜屋面的作图方方法是很重要的。否法是很重要的。否则难以避免水平天沟的出以避免水平天沟的出现。同坡屋
20、面同坡屋面V和和W面投影作面投影作图原理原理凡屋檐线垂直于V面或W面，则含此檐线的屋面是正垂面或侧垂面。它们的积聚投影与水平线的夹角反映屋面的水平倾角 。还要注意每一坡屋面的各投影成类似形。ABC45求证：同坡屋面的两斜屋面的交线的求证：同坡屋面的两斜屋面的交线的H面投影为两檐线投面投影为两檐线投影的角平分线影的角平分线证明：证明：过点作屋檐线AB的垂线 过点作屋檐线BC的垂线 过点作 ABC平面的垂线 交于 在三角形 和三角形 中 （同坡屋面 ） ， 则 , B B 故 B 为 B 的角平分线 五、例题五、例题天沟（斜沟）123456例题例题2例题例题1264313 46523 4 15 6
21、 abcdefgh5126435平沟(错误的画法）2例例 已知同坡屋面的倾角已知同坡屋面的倾角及其同高檐线的平面图（及其同高檐线的平面图（H H投影），投影），完成其完成其H H、V V、W W三面投影图。三面投影图。121确定：檐线相交、两端作屋面交线、辅助线等。例题例题习题: 已知同坡屋面的倾角及其同高檐线的平面图,完成屋面的三面投影图fea作业评讲12345678910fecbdabcdefdabc本章要点本章要点本章是画法几何学中较难的部分，需要学生认真练习。熟练掌握基本平面体的三面投影。熟练掌握平面立体表面取点的方法，这是本章的一个基础方法。理解截交、相贯的几何意义及截交线、相贯线的性质，熟练掌握求截交线和相贯线的方法。熟练掌握同坡屋面交线的作图步骤和方法。
