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1、相似三角形的判定与性质本课内容本节内容3.43.4.1 相似三角形的判定相似三角形的判定 石阡县大沙坝九校 鲁胜华 在八年级上册，在八年级上册， 我们已经探讨了两个三角形全等的我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件. . 为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先来研究下述问题来研究下述问题. . 问题1:相似三角形的相关概念相似三角形的相关概念 (1). 三 个 角 对 应 _ 、 三 条 边 对 应_的两个三角形叫做相似三角形 (2).相似三角形的对应角 _，各对应边_ .
2、 (3).相似比等于_的两个三角形全等. 问题问题2:2:我们已经有哪些判别两三角形相似的方法？（1）相似三角形的定义（2）两角对应相等的两个三角形相似。相等相等成比例成比例相等相等成比例成比例1一、复习提问,类比猜想 问题问题3 :全等三角形有哪些判定方法?SSS ASA AAS SAS 问题问题4:类比三角形全等的判定,你认为可能还有哪些方法能判定两个三角形相似?(请同桌讨论,大胆猜想) 猜想一猜想一:三边对应相等的两个三角形相似三边对应相等的两个三角形相似 猜想二猜想二:两边对应成比例且夹角相等的两两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似个三角形相似动脑筋动脑筋如如图图，在在ABC中中，
3、D 为为AB上上任任意意一一点点. 过过点点D作作BC的平行线的平行线DE，交，交AC于点于点E. .（1） ADE与与 ABC的三个角分别相等吗的三个角分别相等吗？（2）分别度量）分别度量 ADE 与与 ABC 的边长，它们的边的边长，它们的边 长是否对应成比例？长是否对应成比例？（3） ADE 与与 ABC之间有什么关系？平行移动之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？的位置，你的结论还成立吗？设计方案设计方案我我发发现现只只要要DEBC，那那么么 ADE 与与 ABC是是相相似的似的 在在 ADE与与 ABC中，中， A = A. DEBC， ADE = B， AED =
4、C.下面我们来证明：下面我们来证明：如上图所示，过点如上图所示，过点D作作DFAC， 交交BC于点于点F. . DEBC， DFAC， F 四边形四边形DFCE为平行四边形为平行四边形， DE = FC. ADEABC. F结论结论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似截得的三角形与原三角形相似. .由此得到如下结论：由此得到如下结论：举举例例例例1 如图，在如图，在ABC 中，已知点中，已知点D，E分别是分别是AB，AC边的中点边的中点. .求证：求证：ADE ABC. . ADE ABC.证明证明 点点D，E分别是分别是AB，
5、AC边的中点边的中点， DEBC.举举例例例例2 如如图图，点点D为为ABC的的边边AB的的中中点点，过过点点D作作DEBC，交边，交边AC于点于点E. .延长延长DE至点至点F ，使，使DE= EF. .求证：求证：CFEABC. .证明证明 DEBC ， 点点D为为ABC的边的边AB的中点，的中点， AE = CE.又又 DE = FE，AED =CEF， ADE CFE CFEABC DEBC， ADEABC，练习练习如图，在如图，在Rt ABC中，中， C = 90正方形正方形EFCD的三个顶点的三个顶点E、F、D分别在边分别在边AB，BC，AC 上上. . 已知已知AC= 7.5，B
6、C= 5，求正方形的边长，求正方形的边长1.解解ADEACB.由已知条件易知由已知条件易知BCED,由相似三角形由相似三角形的判定定理可得的判定定理可得 设正方形设正方形EFCD的边长为的边长为x,则有则有答：正方形答：正方形EFCD的边长为的边长为3.解得解得 如如图图，已已知知点点O在在四四边边形形ABCD 的的对对角角线线AC上上，OEBC，OFCD. . 试试判判断断四四边边形形AEOF与与四四边边形形ABCD是否相似，并说明理由是否相似，并说明理由. .2.解解 AEOABC ，AFOADC. 又又 四边形四边形AEOF四边形四边形ABCD.解解OEBC，OFCD ，解解 解解动脑筋
7、动脑筋任意画任意画 ABC 和和 ，使，使 A= ， B= .（1） C = 吗吗？（2） 分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应 成比例成比例？（3） 把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现由此你有什么发现？ 我发现这两个三角形是相似的我发现这两个三角形是相似的. .在在 的边的边 上截取点上截取点D，使，使 = AB. . 过点过点D作作DE ，交，交 于点于点E. .下面我们来证明：下面我们来证明：DE如图，在如图，在ABC 与与 中，中，已知已知 ， B = . . A =在在ABC 与与
8、 DE 中，中， ， = AB， = =B，A =又又 DEBC， ABCABC结论结论由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似. .举举例例例例3 3 如如图图，在在ABC 中中，C=90从从点点D分分别别作作边边AB，BC的的垂垂线线，垂垂足足分分别别为为点点E，F，DF与与AB交交于点于点H求证：求证：DEHBCA举举例例证明证明 C=90， DFBC， BHF =A， DHE =A.又又 DEH= 90=C，DFAC. DEH BCA（两角分别相等的两个两角分别相等的两个三角形相似三角形相似.) )举举例例例例
9、4 4 如如图图，在在RtABC 与与RtDEF中中，C=90， F = 90若若A =D，AB = 5，BC = 4， DE = 3，求，求EF的长的长例例4 4 EF = 2.4. ABC DEF. 又又 AB = 5，BC = 4，DE = 3， C = 90，F= 90， A=D ，解解练习练习 如如图图，点点E为为平平行行四四边边形形ABCD的的边边BC延延长长线线上上一一点点，连连接接AE，交交CD于于点点F. .请请指指出出图图中有几对相似三角形，并说明理由中有几对相似三角形，并说明理由. .1.答：有三对相似三角形答：有三对相似三角形. .即即CEFBEA.ADFEBA,ADF
10、ECF,理由是每组三角形中有两个角分别相等理由是每组三角形中有两个角分别相等. .RtABC Rt ACD. 解解 ACB+A =90，ACB+ECD =90，2. 如图，如图，ABBD，EDBD，点，点C是线段是线段BD 的中点，且的中点，且ACCE. . 已知已知ED= 1，BD= 4， 求求AB的长的长 A = ECD.任意画任意画ABC 和和 ，使，使A=A， （1）分别度量）分别度量B和和 ，C和和 的大小，它的大小，它 们分别相等吗们分别相等吗？（2）分别量出）分别量出BC和和 的长，它们的比等于的长，它们的比等于k吗吗？（3）改变）改变A或或k的大小，你的结论相同吗的大小，你的结
11、论相同吗？由此你由此你 有什么发现有什么发现？动脑筋动脑筋我发现这两个三角形是相似的我发现这两个三角形是相似的. .在在 的边的边 上截取点上截取点D，使，使 = AB. . 过点过点D作作DE ，交，交 于点于点E. .下面我们来证明：下面我们来证明：DE如图，在如图，在ABC 与与 中，中，已知已知 A=A， DE ，又又 = AC. ABC ABC. ADE ABC. 结论结论两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. .结论结论由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理2：例例5 5举举例例 如如 图图 ， 在在 ABC与与 DEF中中 ，
12、 已已 知知C=F=70，AC=3.5cm ，BC=2.5cm，DF =2.1cm， EF=1.5cm.求证：求证：ABC DEF.例例5 5举举例例证明证明 AC=3.5 cm，BC= 2.5 cm，DF =2.1 cm， EF=1.5 cm， 又又 C=F=70，ABC DEF （两边成比例且夹角相等（两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似）的两个三角形相似）.例例6举举例例 如图，在如图，在ABC中，中，CD是边是边AB 上的高，上的高，且且 求证：求证：ACB = 90.证明证明 CD是边是边AB 上的高上的高， ADC =CDB = 90.又又 ACDCBD. ACD =B. ACB
13、 =ACD +BCD =B +BCD = 90.练习练习如如图图，在在四四边边形形ABCD中中，B =ACD，AB = 6， BC = 4，AC = 5，CD= 7.5，求，求AD的长的长1.解解 ABC ACD. B =ACD,又又如图，点如图，点B，C分别在分别在ADE 的边的边AD，AE上，上， 且且AC = 6，AB = 5，EC = 4，DB=7.求证：求证：ABCAED2.证明证明 CAB =DAE,又又 ABCAED动脑筋动脑筋 任任意意画画两两个个三三角角形形 ABC 和和 ，使使 ABC的的边边长是长是 的边长的的边长的k倍倍. 分分别别度度量量 A和和 ， B和和 ， C和
14、和 的的大大小小，它它们分别相等吗们分别相等吗？由此你有什么发现由此你有什么发现？ 我我发发现现这这两两个个三三角角形形是相似的是相似的在在 的边的边 上截取点上截取点D，使，使 = AB. . 过点过点D作作DE ，交，交 于点于点E. .如图，在如图，在ABC 与与 中，中，已知已知下面我们来证明：下面我们来证明：DE ABC DE 又又 = AB，DEABC 结论结论三边成比例的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似. .由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理3：举举例例例例7 7 如图，在如图，在RtABC 和和Rt 中，中，C =90， =90，求证：求证： Rt
15、ABCRt分析分析 已知两边成比例，只要得到三边成比例，已知两边成比例，只要得到三边成比例， 即可完成证明即可完成证明. .则则证明证明设设由勾股定理，得由勾股定理，得 RtABCRt（三边成比例的两个（三边成比例的两个三角形相似）三角形相似）判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由.举举例例例例8 8解解在在ABC中，中，ABBCCA，在在DEF中，中，DEEFFD， DEFABC. 练习练习如如图图，已已知知点点D，E，F分分别别是是ABC 三三边边的的中中点点，求证：求证：EDFACB. .1.即即DF、DE、EF是是ABC的三条的三条中位线，
16、中位线，证明证明 点点D，E，F分别是分别是ABC 三边的中点，三边的中点， EDFACB. . 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由. .2.解解在在 中，由勾股定理得中，由勾股定理得在在ABC中，中，在在ABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得 三角形相似）三角形相似）（三边成比例的两个（三边成比例的两个 三角形相似）三角形相似）ABC 三角形相似）三角形相似）中考中考 试题试题例例1 如图所示，已知如图所示，已知 ACP ABC，AC=4，AP=2，则则AB的长为的长为 . . 8解因为因为 ACP ABC，所以所以 ，所以所以 BACP中考中考 试题试题例例2 已已知知ABC的的三三边边长长分分别别为为6cm，7.5cm，9cm， DEF的一边长为的一边长为4cm，当，当 DEF的另两边长是下的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（列哪一组时，这两个三角形相似（ ）. . A. 2cm，3cm； B. 4cm，5cm；C. 5cm，6cm； D. 6cm，7cm . C解因因 ABC的三边长分别为的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm, ,若若 DEF的三边长分别为的三边长分别为4cm，5cm，6cm, ,则有则有故应选择故应选择C.结结 束束
