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1、 异面直线及其夹角 复习提问：复习提问：1. 空间的两条直线的位置关系有那几种空间的两条直线的位置关系有那几种?思考：1、两条直线不相交则平行。( ) 2、无公共点的两条直线一定平行。 ( )xx平行相交异面共面共面1.异面直线异面直线不同在不同在任何任何一个平面内的两条直线叫做异面直线一个平面内的两条直线叫做异面直线.直线直线AA与与BC是异面直线是异面直线.ab1)定义定义:2) 异面直线的画法异面直线的画法:Abababa证明证明:则直线则直线AB和和l 是异面直线是异面直线.(反证法反证法) 假设直线假设直线AB和和l 不是异面直线不是异面直线, 则直线则直线AB和和l 共面共面,设这
2、个平面为设这个平面为 ,这与已知点这与已知点A在平面在平面 外矛盾外矛盾. 所以直线所以直线AB和和l 是异面直线是异面直线.连结平面内一点与平面外一点的直线连结平面内一点与平面外一点的直线连结平面内一点与平面外一点的直线连结平面内一点与平面外一点的直线, , 和这个平面内不经和这个平面内不经和这个平面内不经和这个平面内不经过此点的直线是异面直线过此点的直线是异面直线过此点的直线是异面直线过此点的直线是异面直线. .3）异面直线判别定理：2.异面直线所成的角异面直线所成的角 已知两条异面直线已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点经过空间任一点O, 分别作分别作直线直线a a，b b，把，把a
3、与与b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异叫做异面直线面直线a、b所成的角所成的角(或夹角或夹角).baO 特别地，特别地，如果两条异面直线所成的角是直角如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两那么就说两条异面直线互相垂直条异面直线互相垂直.bca强调：强调： 1)范围范围 2)与与0的位置无关的位置无关 3)为了方便点为了方便点O取在取在a 或或 b 上上异面直线不具有传递性异面直线不具有传递性.3.概念判别练习概念判别练习:1)若若a、b是异面直线是异面直线, b、c也是异面直线也是异面直线, 则则a、c位置关位置关系是系是( )A. 相交、平行或异面相交、平行或异面 B. 平行平
4、行 C. 异面异面 D. 平行或异面平行或异面 A2)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( )3)空间两条不相交的直线一定是异面直线。 ( )4)垂直于同一条直线的两条直线必平行。 ( )5)过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直。( )6)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。 ( )xxxx例例 1.如图如图,在正方体在正方体A C中中 (1)哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线AA垂垂直直?解解:(1)与直线与直线AA 垂直的直线有垂直的直线有:AB、BC、CD、DA、 A B 、B C 、C D 、D A BA与与DC 的夹角为的夹角为90. A
5、D C为正三角形为正三角形,BA 与与AD 的夹角为的夹角为60.求角的一般步骤求角的一般步骤:1)找找(作作)角角; (2)求直线求直线BA 分别和分别和CC 、 DC 、AD 的夹角的度数的夹角的度数. (2)由由BB|CC, 可知可知 BBA等于异面等于异面直线直线BA与与CC的夹角的夹角, 所以所以BA 与与CC 的夹角为的夹角为45.2)求角求角(解三角形解三角形).如图，在三棱锥如图，在三棱锥A ABCDBCD中，中，E E、F F分别是分别是ABAB、CDCD的中点，的中点，解答：取解答：取BCBC中点中点G G，连结，连结EGEG、GFGF，则，则GEGEACAC且且GEGEA
6、CAC，GFGF BDBD且且GFGF BD BD，所以，所以EGFEGF是异面直线是异面直线ACAC与与BDBD的夹角，且的夹角，且GEGE3 3，GFGF4 4，所以，所以EDED2 2GFGF2 2EFEF2 2，所以，所以EGFEGF9090o o，所以异面直线，所以异面直线ACAC与与BDBD的夹角是的夹角是9090o o。ABCDEFG且且且且EFEF5 5，ACAC6 6，BDBD8 8，则异面直线，则异面直线，则异面直线，则异面直线ACAC与与与与BDBD的夹角为多少？的夹角为多少？的夹角为多少？的夹角为多少？4.小结小结(1)异面直线异面直线(2)异面直线所成角异面直线所成角异面直线的概念异面直线的概念:异面直线的判定方法异面直线的判定方法.求异面直线所成角的方法求异面直线所成角的方法: 1)找找(作作)角角; 2)求角求角.
