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1、1第六节第六节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 一、齐次一、齐次线性方程组解的结构线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构22009,HenanPolytechnicUniversity26 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组所谓所谓解的结构解的结构 就是解与解之间的关系。就是解与解之间的关系。就是解与解之间的关系。就是解与解之间的关系。下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解但是全部的解都可以用有限多个解表
2、示出来但是全部的解都可以用有限多个解表示出来.这就这就是本节要讨论的问题和要得到的主要结果是本节要讨论的问题和要得到的主要结果.32009,HenanPolytechnicUniversity36 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组它的解是一个它的解是一个 n 维向量，称之为维向量，称之为解向量解向量，所有解构成的集合，称之为所有解构成的集合，称之为解集解集.由它的由它的42009,Henan
3、PolytechnicUniversity46 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组1. 解的性质解的性质方程组方程组 (1) 有下面两个重要性质：有下面两个重要性质：性质性质 1 两个解的和还是方程组的解两个解的和还是方程组的解两个解的和还是方程组的解两个解的和还是方程组的解. .证明证明设设 ( k1 , k2 , , kn ) 与与 ( l1 , l2 , , ln ) 是方程组是方程组 (1) 的两个解，则有的两个解，则有52009,HenanPolytechnicUniv
4、ersity56 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组把两个解的和把两个解的和( k1 + l1 , k2 + l2 , , kn + ln ) (2)代入方程组，得代入方程组，得这说明这说明 (2) 确实是方程组的解确实是方程组的解.证毕证毕62009,HenanPolytechnicUniversity66 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组性质性质 2 一一个解
5、的倍数还是方程组的解个解的倍数还是方程组的解个解的倍数还是方程组的解个解的倍数还是方程组的解. .证明证明设设 ( k1 , k2 , , kn ) 是方程组是方程组 (1) 的的一一个解，个解，c 为一常数，因为为一常数，因为所以所以 ( ck1 , ck2 , , ckn ) 是方程组是方程组 (1) 的的解解.证毕证毕72009,HenanPolytechnicUniversity76 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组2. 基础解系的定义基础解系的定义定义定义 19 齐次
6、线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组 (1) (1) 的一组解的一组解的一组解的一组解 1 1 , , 2 2 , , , , t t 称为称为称为称为 (1) (1) 的一个基础解系，如果的一个基础解系，如果的一个基础解系，如果的一个基础解系，如果1)1) (1) (1) 的任一解都能表成的任一解都能表成的任一解都能表成的任一解都能表成 1 1 , , 2 2 , , , , t t 的线的线的线的线性性性性组合；组合；组合；组合；2)2) 1 1 , , 2 2 , , , , t t 线性无关线性无关线性无关线性无关. .82009,HenanPolytechnicUni
7、versity86 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组3. 基础解系的存在性与求法基础解系的存在性与求法齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的定理给出定理给出.定理定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情形下在齐次线性方程组有非零解的情形下在齐次线性方程组有非零解的情形下在齐次线性方程组有非零解的情形下, ,它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于它有基础
8、解系，并且基础解系所含解的个数等于 n n - - r r ，这里，这里，这里，这里 r r 表示系数矩阵的秩表示系数矩阵的秩表示系数矩阵的秩表示系数矩阵的秩 ( 以下将看到以下将看到 n - r也就是自由未知量的个数也就是自由未知量的个数) .定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法方法.92009,HenanPolytechnicUniversity96 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组证明证明设方程组设方程组 (1) 的系数矩阵
9、的秩为的系数矩阵的秩为 r ，不不妨设左上角的妨设左上角的 r 级子式不等于零级子式不等于零.于是按上一节最于是按上一节最后的分析，方程组后的分析，方程组 (1) 可以改写成可以改写成如果如果 r = n，那么方程组没有自由未知量，方程，那么方程组没有自由未知量，方程组组 (3) 的右端全为零的右端全为零. 这时方程组只有零解，当然这时方程组只有零解，当然102009,HenanPolytechnicUniversity106 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组也就不存在基础解系
10、也就不存在基础解系.以下设以下设 r n .我们知道，把自由未知量的任意一组值我们知道，把自由未知量的任意一组值 ( cr+1 ,cr+2 , , cn ) 代入代入 (3) ，就唯一地决定了方程，就唯一地决定了方程 (3)也就是方程组也就是方程组 (1) 的一个解的一个解. 换句话说，方程组换句话说，方程组 (1)的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样解就完全一样.特别地，如果在一个解中，自由未特别地，如果在一个解中，自由未知量的值全为零，那么这个解一定是零解知量的值全为零，那么这个解一定是零解.因此，为了求方程组因此，为了求方程
11、组 (1) 的的 n - r 个不同的解，个不同的解，在在 (3) 中，令自由未知量中，令自由未知量 xr+1 , xr+2 , , xn 取下列取下列n - r 组数：组数：112009,HenanPolytechnicUniversity116 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组于是就得出方程组于是就得出方程组 (3) , 也就是方程组也就是方程组 (1) 的的 n - r 个个解：解：122009,HenanPolytechnicUniversity126 6 6 6 线性
12、方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组下面来证明，下面来证明，(5) 就是一个基础解系就是一个基础解系. 首先证明首先证明 1 , 2 , , n - r 线性无关线性无关.事实上，如果事实上，如果k1 1 + k2 2 + + k n - r n - r =0 ,即即k1 1 + k2 2 + + k n - r n - r= ( *, , *, k1 , k2 , , kn - r )= ( 0, , 0, 0, 0, , 0 ) .比较最后比较最后 n - r 个分量，得个分量，得k1 = k
13、2 = = kn - r = 0 .因此，因此， 1 , 2 , , n - r 线性无关线性无关.132009,HenanPolytechnicUniversity136 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组再证明方程组再证明方程组 (1) 的任意一个解都可以由的任意一个解都可以由 1 , 2, , n - r 线性表出线性表出.设设 = ( c1 , , cr , cr+1 , cr+2 , , cn ) (6)是方程组是方程组 (1) 的一个解的一个解.由于由于 1 , 2
14、, , n - r 是是 (1)的解，所以线性组合的解，所以线性组合cr+1 1 + cr+2 2 + + cn n - r (7)也是也是 (1) 的一个解的一个解. 比较比较 (7) 和和 (6) 的最后的最后 n - r 个个分分量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全一样，即一样，即142009,HenanPolytechnicUniversity146 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组这就是说，任意一个解这就是说，任意一
15、个解 都能表成都能表成 1 , 2 , , n - r 的线性组合的线性组合. 综合以上两点，我们就证明了综合以上两点，我们就证明了 1 , 2 , , n - r 确为方程组确为方程组 (2) 的一个基础解系，因而齐的一个基础解系，因而齐次线性方程组的确有基础解系次线性方程组的确有基础解系. 证明中具体给出的证明中具体给出的这个基础解系是由这个基础解系是由 n - r 个解组成个解组成. 至于其他的基础至于其他的基础解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量.证毕证毕
16、 = cr+1 1 + cr+2 2 + + cn n - r (8)152009,HenanPolytechnicUniversity156 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组由基础解系的定义，可得出下面重要结论：由基础解系的定义，可得出下面重要结论：任何一个线性无关的与某一个基础解系等价任何一个线性无关的与某一个基础解系等价任何一个线性无关的与某一个基础解系等价任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系的向量组都是基础解系的向量组都是基础解系的向量组都是基础解
17、系. . = k1 1 + k2 2 + + kn - r n - r 设设 1 , 2 , , n - r 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 (1) 的的基础解系，则称基础解系，则称是齐次线性方程组是齐次线性方程组 (1) 的的一般解一般解.齐次线性方程组的一般解齐次线性方程组的一般解162009,HenanPolytechnicUniversity166 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构1. 非齐次线性方程组与其导出组
18、非齐次线性方程组与其导出组设有非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组若令若令 b1 = b2 = = bs =0，就得到齐次方程组，就得到齐次方程组 (1).方程组方程组 (1) 称为方程组称为方程组 (9) 的的导出组导出组.172009,HenanPolytechnicUniversity176 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组2. 非齐次线性方程组的解非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的关系与其导出组的解之间的关系方程组方程组 (9) 的解与它的导出组的解与它的导出组
19、(1) 的解之间有的解之间有密密切的关系：切的关系：1)1) 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 (9) (9) 的两个解的差是它的导出组的两个解的差是它的导出组的两个解的差是它的导出组的两个解的差是它的导出组(1) (1) 的解的解的解的解. .证明证明设设 ( k1 , k2 , , kn ) 与与 ( l1 , l2 , , ln ) 是方程组是方程组 (9) 的两个解，则有的两个解，则有182009,HenanPolytechnicUniversity186 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线
20、性方程组线性方程组线性方程组它们的差是它们的差是 ( k1 - l1 , k2 - l2 , , kn - ln ) .显然有显然有192009,HenanPolytechnicUniversity196 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组这就是说，这就是说，( k1 - l1 , k2 - l2 , , kn - ln ) 是导出组是导出组 (1)的一个解的一个解.2)2) 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 (9) (9) 的一个解与它的导出组的一个解与它的导出组的一个
21、解与它的导出组的一个解与它的导出组 (1) (1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解的一个解之和还是这个线性方程组的一个解的一个解之和还是这个线性方程组的一个解的一个解之和还是这个线性方程组的一个解. .证明证明设设 ( k1 , k2 , , kn ) 是方程组是方程组 (9) 的的一一个解，即个解，即202009,HenanPolytechnicUniversity206 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组又设又设 ( l1 , l2 , , ln ) 是导出组是导出组
22、(1) 的一个解，即的一个解，即显然显然证毕证毕212009,HenanPolytechnicUniversity216 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组3. 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构定理定理 9 如果如果如果如果 0 0 是方程组是方程组是方程组是方程组 (9) (9) 的一个特解，那的一个特解，那的一个特解，那的一个特解，那么方程组么方程组么方程组么方程组 (9) (9) 的任一个解的任一个解的任一个解的任一个解 都可以表成都可以表成都可以表成都可以
23、表成 = = 0 0 + + ， (10)其中其中其中其中 是导出组是导出组是导出组是导出组 (1) (1) 的一个解的一个解的一个解的一个解. . 因此，对于方程组因此，对于方程组因此，对于方程组因此，对于方程组(9) (9) 的任一个特解的任一个特解的任一个特解的任一个特解 0 0 ，当，当，当，当 取遍它的导出组的全部取遍它的导出组的全部取遍它的导出组的全部取遍它的导出组的全部 解时，解时，解时，解时，(10) (10) 就给出就给出就给出就给出 (9) (9) 的全部解的全部解的全部解的全部解. .222009,HenanPolytechnicUniversity226 6 6 6 线
24、性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组证明证明显然显然 = 0 + ( - 0 )， 由上面的由上面的 1)， - 0 是导出组是导出组 (1) 的一个解，令的一个解，令 - 0 = ，就得到定理的结论就得到定理的结论.既然既然 (9) 的任一个解都能表成的任一个解都能表成(10) 的形式，由的形式，由 2) 在在 取遍取遍 (1) 的全部解的时候，的全部解的时候， = 0 + 就取遍就取遍 (9) 的全部解的全部解.证毕证毕232009,HenanPolytechnicUniversity236
25、 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组非齐次线性方程组的一般解非齐次线性方程组的一般解非齐次线性方程组的一般解非齐次线性方程组的一般解 = 0 + k1 1 + k2 2 + + kn - r n - r 设设 0 是非齐次线性方程组的一个特解，是非齐次线性方程组的一个特解， 1 , 2 , , n - r 是它的导出组的一个基础解系，则它是它的导出组的一个基础解系，则它的任一个解的任一个解 可表示为可表示为称之为非齐次线性方程组的称之为非齐次线性方程组的一般解一般解 .由定理由定
26、理 9 容易得出以下推论：容易得出以下推论：242009,HenanPolytechnicUniversity246 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组推论推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解在非齐次线性方程组有解的条件下，解在非齐次线性方程组有解的条件下，解在非齐次线性方程组有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解. .证明证明充分性充分性
27、充分性充分性如果方程组如果方程组 (9) 有两个不同的有两个不同的解，那么它的差就是导出组的一个非零解解，那么它的差就是导出组的一个非零解. 因此，因此，如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解.必要性必要性必要性必要性如果导出组有非零解，那么这个解如果导出组有非零解，那么这个解与方程组与方程组 (9) 的一个解的一个解 (因为它有解因为它有解) 的和就是的和就是 (9)的另一个解，也就是说，的另一个解，也就是说，(9) 不止一个解不止一个解.因之，因之，如果方程如果方程 (9) 有唯一解，那么它的导出组只有零解有唯一解，那么它的导出组只有零解.证毕证毕25
28、2009,HenanPolytechnicUniversity256 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组例例 1 求非齐次线性方程组求非齐次线性方程组262009,HenanPolytechnicUniversity266 6 6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组例例 2 设线性方程组设线性方程组讨论方程组的解的情况与参数讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时的关系，有解时求其解求其解.
