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1、第二章第二章 行列式行列式 (determinant )2.1 行列式的定义行列式的定义2.2 行列式的性质行列式的性质2.3 行列式的应用行列式的应用 一一 、克拉默克拉默(Cramer) 二、矩阵求逆公式二、矩阵求逆公式 三、矩阵的秩三、矩阵的秩2.3 行列式的应用行列式的应用一一 、克拉默克拉默(Cramer)法法则设设n n个方程个方程n n个个未知数的非齐次线性方程组为未知数的非齐次线性方程组为如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式定理定理2.2 克拉默法克拉默法则 且解可以表示为且解可以表示为那么线性方程组那么线性方程组(1)有唯一解，有唯一解，其中其中
2、是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即定理定理2.32.3 如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. .对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 定理定理2.42.4如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 , ,则齐次线性方程组则齐次线性方程组 (2)(2)只有零解只有零解. .方方程程组组(2)(2)是是方方程程组组（1 1）的的特特例例，将将定定理理2.22.2
3、应应用用到到方方程程组组(2)(2)得到得到定理定理2.5 2.5 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2) (2) 有非零解有非零解, ,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .例例1 用克拉默法则解线性方程组用克拉默法则解线性方程组解解例例2 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.二、矩阵求逆公式二、矩阵求逆公式定义定义2.2 伴随矩阵伴随矩阵称为矩阵称为矩阵A 的的伴随矩阵伴随矩阵,定理定理2.6证明证明则则定理定理2.72.7 矩阵矩阵 可逆
4、的充要条件是可逆的充要条件是 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义且且例例3 3 (1) (1) 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. .解解例例4解解二阶矩阵的逆可以直接二阶矩阵的逆可以直接“看出来看出来”证明：证明：逆矩阵的运算性质小结逆矩阵的运算性质小结例例6解：解：解：等号两边同时左乘解：等号两边同时左乘A，右乘，右乘 整理后得整理后得三、矩阵的秩三、矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩定义定义2.32.3列列行行中任取中任取矩阵矩阵在在kkA位于这些行、列交叉处的位于这些行、列交叉处的个元素，个元素，.阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵k k阶行列式，阶行列式，中所处的位置次序而得的中所处的位置次序而得的kA不改变它们在不改变它们在A则称则称A为满秩矩阵为满秩矩阵例例8 8解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，如果如果显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，R(B)=2此此方法简单！方法简单！例例9 9解解分析：分析：下面讨论矩阵秩的一些性质和公式下面讨论矩阵秩的一些性质和公式性性质1 性性质2 例例10解：解：得得B+E可逆可逆A的标准形为的标准形为关于矩阵秩的几个常见公式关于矩阵秩的几个常见公式:特别地当特别地当AB=O时时(3) 设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则 例例11 A为为n阶方阵，阶方阵， , 证明证明
