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1、矩阵的概念与基本运算欧阳顺湘北京师范大学珠海分校2005.3.27称为方程组的称为方程组的增广矩阵增广矩阵称为方程组的称为方程组的系数矩阵系数矩阵设有线性方程组设有线性方程组线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系 定义定义 1 由由 mn 个数个数 aij (i = 1,2,m; j = 1,2,n )称为称为mn 矩阵矩阵.排成的排成的 m 行行n 列数表列数表, 记成记成 某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一、二月份的生产与销售情况如下表：的第一个下标的第一个下标 称为称为行标行标，第二个下标第二个下标 称为称为列标列标。称作矩阵的称作矩
2、阵的元素元素。 矩阵，矩阵， 矩阵的概念矩阵的概念 行矩阵（行向量）行矩阵（行向量）只有一行的矩阵。只有一行的矩阵。 等等 列矩阵（列向量）列矩阵（列向量）只有一列的矩阵。只有一列的矩阵。 等等 几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵 等等零矩阵零矩阵 所有元素都为零的矩阵所有元素都为零的矩阵，简记作，简记作 。 方阵方阵行数和列数相等的矩阵。如：行数和列数相等的矩阵。如：等等二阶方阵二阶方阵三阶方阵三阶方阵n阶方阵阶方阵如如等等对角形矩阵对角形矩阵主对角线上的元素不全为零，其它的主对角线上的元素不全为零，其它的 元素都为元素都为0的的方阵方阵，简记作，简记作 。 单位矩阵单位矩阵主主对角线上的
3、元素都是对角线上的元素都是1的对角形矩阵，的对角形矩阵， 简记作简记作 。如：。如：等等上三角形矩阵上三角形矩阵主对角线下方元素全为零、上方的主对角线下方元素全为零、上方的 元素不全为元素不全为0的的方阵方阵。如：。如：等等下三角形矩阵下三角形矩阵主对角线上方的元素全为零，下方主对角线上方的元素全为零，下方 的元素不全为的元素不全为0的的方阵方阵。同型矩阵：同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的有相同的行数与相同的列数的 两个矩阵，称为两个矩阵，称为同型矩阵同型矩阵。如：如：只有矩阵只有矩阵 与矩阵与矩阵 同型同型注意：同型是相等的必要条件。注意：同型是相等的必要条件。相等矩阵：相等矩阵：若若
4、两矩阵两矩阵同型同型且对应位置上且对应位置上 的的元素相等元素相等，则称，则称 相等，记相等，记 作作 。如：如：且且，例题：例题：已知已知 求求的值。的值。，关关系系式式矩阵的基本运算及性质矩阵的基本运算及性质，（有两种），/一一 矩阵的加法矩阵的加法 定义定义2 设设A =(aij ) , B =(bij ) 都是都是 mn 矩阵矩阵, 矩阵矩阵 A 与与B 的的和和例例 1记成记成 A + B, 规定为规定为两个印刷厂： 矩阵的加法运算满足规律矩阵的加法运算满足规律 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 结合律结合律) 3. A + 0 = A 4. 设设
5、A = ( aij ) ,记记 A = ( aij ) , 规定规定 A B = A + ( B )二二 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法 定义定义 3 规定为规定为 称称 A 为为 A 的负矩的负矩阵阵, 1. A + B = B + A (交换律交换律) 易知易知 A + ( A ) = 0例例 2 若若那么那么3A = A3数乘矩阵的运算满足规律：数乘矩阵的运算满足规律：A, B为矩阵为矩阵.三三 矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 定义定义4 设设 A = ( aij ) 是一个是一个 ms 矩阵矩阵, B = ( bij ) 是一个是一个 snA 与与 B 的乘积记成的乘积记成 AB， 即
6、即 C = AB .规定规定 A 与与 B 的积为一个的积为一个 mn 矩阵矩阵 C = ( cij ) ， 其中其中 A B = ABms sn mn 矩阵矩阵,例例 3 例例 4例例 5 例例 6一般来说，一般来说，AB BA , 若矩阵若矩阵 A、B 满足满足 AB = 0, n 阶矩阵阶矩阵 称为称为单位矩阵单位矩阵. 如果如果 A 为为 mn 矩阵，那么矩阵，那么 即矩阵的乘法不满足交换律即矩阵的乘法不满足交换律.未必有未必有 A = 0 或或 B = 0 的结论的结论. n 阶矩阵阶矩阵称为对角矩阵称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的
7、积也是对角矩阵两个对角矩阵的积也是对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律矩阵的乘法满足下述运算规律 矩阵的基本运算及性质矩阵的基本运算及性质 （1）交换律）交换律 A+B = B+A （2）结合律）结合律 （A+B）+C = A+（B+C） 矩阵的加法矩阵的加法矩阵加法的运算规律：矩阵加法的运算规律： 注意：只有同型矩阵才能相加。注意：只有同型矩阵才能相加。 例例显显然然成成立立矩阵的减法矩阵的减法 设设，则称矩阵，则称矩阵 为为A 的的负矩阵负矩阵，记作，记作。若若A、B为为同型同型矩阵，则规定矩阵，则规定即即，数乘矩阵数乘矩阵如：如：若若，则，则注意：数乘矩阵时，注意：数乘矩阵时， 矩阵矩阵
8、的每一元素都要乘以常数的每一元素都要乘以常数K。 等等数量矩数量矩阵阵数乘矩阵的运算规律：数乘矩阵的运算规律：矩阵的乘法矩阵的乘法设设则则其中其中行行列列 左矩阵左矩阵 右矩阵右矩阵A的列数的列数 B的行数的行数例如：例如：无意义！无意义！ 左边矩阵左边矩阵 右边矩阵右边矩阵 的的 列列 数数 的的 行行 数数注意：注意：AB存在，存在，BA无意义，无意义，例题：计算下列各题例题：计算下列各题（1）（2）AB与与BA不同型不同型 同型同型但不相等。但不相等。（3）（4）（5）（6）特殊特殊AB=BA（1）一般地，一般地，即乘法不满足交换律。，即乘法不满足交换律。（2）当）当AB=BA时，称时，称A、B为为可交换矩阵可交换矩阵，或，或称称A、B可交换。此时，可交换。此时，A、B必为同阶方阵。必为同阶方阵。小小结结与与特别地，有：特别地，有：，即，即可交换。可交换。（8）（7）或或矩矩阵阵的的乘乘法法运运算算不不 满满 足足 消消 去去 律律矩阵相乘的运算规律：矩阵相乘的运算规律：一般地：一般地：或或若若 A 是方阵，则乘积是方阵，则乘积 有意义，记作有意义，记作称为称为 A 的的 k 次幂。次幂。或或（1）（2）（3）（4）（5）性质性质线性方程组的矩阵表示法（线性方程组的矩阵表示法（2）（1）若记：若记：则方程组（则方程组（1）可记为：）可记为：
