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1、乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算16 结构的稳定计算结构的稳定计算您褥册拱术楚震釜赤狈丧戚煮政米鞍长苏坑血弥世堰青嚷琴朔乘葵驯畏拴16结构的稳定计算16结构的稳定计算1乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算16.1 16.1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述 结构中的某些受压杆件，结构中的某些受压杆件，结构中的某些受压杆件，结构中的某些受压杆件，当荷载逐渐增大时，除当荷载逐渐增大时，除当荷载逐渐增大时，除当荷载逐渐增大时，除了可能发生强度破坏外，了可能发生强度破坏外
2、，了可能发生强度破坏外，了可能发生强度破坏外，还可能在材料抗力未得还可能在材料抗力未得还可能在材料抗力未得还可能在材料抗力未得到充分发挥之前就因变到充分发挥之前就因变到充分发挥之前就因变到充分发挥之前就因变形的迅速发展而丧失承形的迅速发展而丧失承形的迅速发展而丧失承形的迅速发展而丧失承载能力，这种现象称载能力，这种现象称载能力，这种现象称载能力，这种现象称失失失失稳破坏稳破坏稳破坏稳破坏，其相应的荷载，其相应的荷载，其相应的荷载，其相应的荷载称为结构的称为结构的称为结构的称为结构的临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载。压杆的实际承载能力应压杆的实际承载能力应压杆的实际承载能力应压杆的实际承载能力应
3、为上述两种平衡荷载中为上述两种平衡荷载中为上述两种平衡荷载中为上述两种平衡荷载中的最小者。的最小者。的最小者。的最小者。浆望枣碉丁领臻洲岸闯妨堆械识墒贺汗栓斩肪奈慑犀貉邑硫汰俐值夺橱蜂16结构的稳定计算16结构的稳定计算2乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。球在三个位置都能球在三个位置都能处于平衡，但受到处于平衡，但受到干扰后表现不同：干扰后表现不同：如小球受到干如小球受到干扰后仍能恢复扰后仍能恢复到原先的平衡到原先的平衡位置，则称该位置，
4、则称该状态为状态为稳定平衡稳定平衡如小球受到干如小球受到干扰后失去回到扰后失去回到原先的平衡位原先的平衡位置的可能性，置的可能性，则称该状态为则称该状态为不稳定平衡不稳定平衡如小球受到干如小球受到干扰后可停留在扰后可停留在任何偏移后的任何偏移后的新位置上，则新位置上，则称该状态为称该状态为随遇平衡随遇平衡裸骗殆锥池侧埃施殖纯挚剿初络掺诽筐蹦烂拔玫氯丸域绊语卓涵楷钡枚凡16结构的稳定计算16结构的稳定计算3乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不
5、稳定的平衡状态，称为稳定的平衡状态，称为失稳失稳。保证结构在正常使用的。保证结构在正常使用的情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。结构的失稳类型结构的失稳类型第一类失稳第一类失稳第一类失稳第一类失稳（分支点失稳）（分支点失稳）（分支点失稳）（分支点失稳）第二类失稳第二类失稳第二类失稳第二类失稳（极值点失稳）（极值点失稳）（极值点失稳）（极值点失稳）镭槐缀俗粉宴阴汤渍头卓陇泅谆届肮被隘落渝稻拭男晃棱隔鸣乏捶签荒鼓16结构的稳定计算16结构的稳定计算4乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计
6、算FPOFPl第一类失稳的基本特征第一类失稳的基本特征 FPcrI 稳定定II 不不稳定定FP FPcr时，杆件仅产生压时，杆件仅产生压缩变形。轻微侧扰，杆件微缩变形。轻微侧扰，杆件微弯；干扰撤消，状态复原弯；干扰撤消，状态复原（平衡路径唯一）。（平衡路径唯一）。FP FPcr时，杆件既可保持时，杆件既可保持原始的直线平衡状态，又可原始的直线平衡状态，又可进入弯曲平衡状态（平衡路进入弯曲平衡状态（平衡路径不唯一）。径不唯一）。完善体系完善体系结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，点
7、处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，称分支点失稳。称分支点失稳。 屏扰劫圾寓陷栈棺洽嫩竭核姆窗羔境戏韵誉霜敢椅协朴况轿囱酋嘲荧矛谭16结构的稳定计算16结构的稳定计算5乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算发生第一类失稳的还有：发生第一类失稳的还有：FPFP他们的共同特点是从加载到失稳过他们的共同特点是从加载到失稳过他们的共同特点是从加载到失稳过他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质发生突变，产程中结构变形的性质发生突变，产程中结构变形的性质发生突变，产程中结构变形的性质发生突变，产生了两种性质截然不同平衡路
8、径。生了两种性质截然不同平衡路径。生了两种性质截然不同平衡路径。生了两种性质截然不同平衡路径。茸套釉液獭瘁拴浓裳榆谦惟雏倍惦凌布网镶闰样段研浚绦麻泌闲熊明能跌16结构的稳定计算16结构的稳定计算6乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算l第二类失稳的基本特征第二类失稳的基本特征FPFPOFPcr初始缺陷使得开始加载杆件初始缺陷使得开始加载杆件便处于微弯状态，挠度引起便处于微弯状态，挠度引起附加弯矩。随荷载增加侧移附加弯矩。随荷载增加侧移和荷载呈非线性变化，且增和荷载呈非线性变化，且增长速度越来越快。荷载达到长速度越来越快。荷载达到一定
9、数值后，增量荷载作用一定数值后，增量荷载作用下的变形引起的截面弯矩的下的变形引起的截面弯矩的增量将无法再与外力矩增量增量将无法再与外力矩增量相平衡，杆件便丧失原承载相平衡，杆件便丧失原承载能力。能力。 非完善体系非完善体系是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。失稳前后变形性质没有变化，力失稳前后变形性质没有变化，力失稳前后变形性质没有变化，力失稳前后变形性质没有变化，力- - - -位移关系曲线存在极值点，位移关系曲线存在极值
10、点，位移关系曲线存在极值点，位移关系曲线存在极值点，该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。 宛漆臭屉膘算淌歪汁睛捌椰毅村残官祸佐谱咙榆绪骡灰猛望努塘稚涯吸逃16结构的稳定计算16结构的稳定计算7乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的
11、性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。发生第二类失稳的情况发生第二类失稳的情况发生第二类失稳的情况发生第二类失稳的情况：FPFPqFPFP僻漓蚂茨似纺弃石镭嘿魏舶杠汁艇个约脚煌侧韭函湛希相直太谓肮琼妖邵16结构的稳定计算16结构的稳定计算8乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象
12、本质上也属极值翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值点失稳（跳跃屈曲）。点失稳（跳跃屈曲）。 扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征FPllfFPOFPcr由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题崭蘸邑防蔽昏诫窟疆赏安氮渺稿夹化胜丢艘伸夹疗垄考霓听拐捂达惜咎坝16结构的稳定计算16结构的稳定计算9乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形
13、对平形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超过临界状态之后的后屈曲平衡状态。过临界状态之后的后屈曲平衡状态。 靠彬爬评箕遵研獭淋嗜寓黔到初笔赵幸哀宫佯尉倒攫插迹限罗蹦王谭哼火16结构的稳定计算16结构的稳定计算10乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧
14、襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算16.2 16.2 有限自由度体系的临界荷载有限自由度体系的临界荷载确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目称为称为体系失稳的自由度体系失稳的自由度。DOFDOF = = 1 1DOFDOF = = 2 2DOF DOF = = FPEI= EI= FPEI= EI= EI= EI= EI= EI= k kk kFP少雁捐素角理虚擅首霞襟郴剩夸粗醛汹讯获粉圭点搓晨叛流缴娱闹部军玛16结构的稳定计算16结构的稳定计算11乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰
15、面16结构的稳定计算16结构的稳定计算主要计算方法：主要计算方法：主要计算方法：主要计算方法：静力法静力法静力法静力法根据临界状态的静力特征（即平衡形式根据临界状态的静力特征（即平衡形式根据临界状态的静力特征（即平衡形式根据临界状态的静力特征（即平衡形式的二重性），寻找平衡路径交叉的分支的二重性），寻找平衡路径交叉的分支的二重性），寻找平衡路径交叉的分支的二重性），寻找平衡路径交叉的分支点，可精确得到理论上的临界荷载值。点，可精确得到理论上的临界荷载值。点，可精确得到理论上的临界荷载值。点，可精确得到理论上的临界荷载值。 能量法能量法能量法能量法依据能量特征来确定体系失稳时临界荷依据能量特征来
16、确定体系失稳时临界荷依据能量特征来确定体系失稳时临界荷依据能量特征来确定体系失稳时临界荷载。体系取得平衡的充要条件是任意可载。体系取得平衡的充要条件是任意可载。体系取得平衡的充要条件是任意可载。体系取得平衡的充要条件是任意可能位移和变形均使势能取得驻值。能位移和变形均使势能取得驻值。能位移和变形均使势能取得驻值。能位移和变形均使势能取得驻值。坊禄群愈闹骨遵阁淫晶矗缝磨劲痈涯洼诌蚁佬稀石勇极变瞩日谋侈握则补16结构的稳定计算16结构的稳定计算12一、静力法一、静力法在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程，在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程，并以新位移形态取得非零解的条
17、件确定失稳的临界荷载。并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。FPk lFPkEI1= 第一解：第一解：第二解：第二解：FR1 1、单单自由度完善体系的分支点失自由度完善体系的分支点失自由度完善体系的分支点失自由度完善体系的分支点失稳稳yxOABAB婉肆照懊鸟猾荆瞻凸桩基伪店频万萨掌溃墅锻特块号效拓演遇蛛承赴诅赊16结构的稳定计算16结构的稳定计算13临界荷界荷载：(1) 大大挠度理度理论 FPFPcrI 稳定定II 不不稳定定(2) 小小挠度理度理论大、小大、小挠度理度理论 临界荷界荷载相同相同郝符撒拈承零掐早滋卯柄并淋寨巍螟皱啮葛骂肠泼潞躬人废幌冉急劈卓皑16结构的稳定计算16结
18、构的稳定计算14FRFPk l FPkl 2 2、单单自由度非完善体系的极自由度非完善体系的极自由度非完善体系的极自由度非完善体系的极值值点失点失点失点失稳稳yxOABAB许纵肘项炮拌堆僻甲潞案衷燃漆委肩频狰会瑚干侮吴硕虱赶轨轮焉侧氮材16结构的稳定计算16结构的稳定计算1500.10.20.5360.421.370.6950.381.471.57FP/kl0.6950.5360.4150.10.20.3FP/klO0求极值点处的临界荷载求极值点处的临界荷载1.00(1) 大大挠度理度理论各佐军寇汲配后胜交余叁鸽慕拙褂辽崭吁屠比谰挚侥轨米晃靶范顺力抓筷16结构的稳定计算16结构的稳定计算16(
19、2) 小小挠度理度理论AFPk l 0.10.200.0FP/kl0.20.40.60.81.01.00.80.60.40.21.21.4 1.60B薪狰阶牲根块摹巴件厉遭挚附掣塘古跟挟它互唾振嘉捏悍峙傣乾桔蹋呐厚16结构的稳定计算16结构的稳定计算17 结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。 当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷当结构缺陷逐渐减小并
20、趋于消失时，极值点的临界荷载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。 非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说失稳都属于第二类失稳。失稳都属于第二类失稳。
21、失稳都属于第二类失稳。失稳都属于第二类失稳。 第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比较复杂，但却是精确解。较复杂，但却是精确解。较复杂，但却是精确解。较复杂，但却是精确解。分析结论分析结论脊跟禽羡加仓帽霄抢佰猪溺蚊瞅少溪九眯面嗓咀枫汪尺莎岔呈牢翁傅砌奏16结构的稳定计算
22、16结构的稳定计算18第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值，第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值，对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。
23、改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。分析结论分析结论第一类失稳仍有其重要地位第一类失稳仍有其重要地位芯俺掌稠刊藏湍厄乍焚滇湍抬体旭焊幻造象慨鳞挪窘碑坎考象色欺民寺坝16结构的稳定计算16结构的稳定计算19例题：例题：例题：例题：用静力法求图示结构的临界荷载用静力法求图示结构的临界荷载用静力法求图示结构的临界荷载用静力法求图示结构的临界荷载FPcr平衡方程平衡方程特征方程特征方程特征根特征根llhEI1= EIEIFPFP FP 解：解：解：解：从临界平衡状态的两重性出发从临界平衡状态的两重性出发从临界平衡状态的两重性出发从临界平衡状态的两重性出发ABCDABCDAD晰釜嘶莉它耗呻膀喝竿披蚌帧
24、停湃盟峭蛛漱置痛传伐邀吕窄搜冯战碘排焦16结构的稳定计算16结构的稳定计算20y y2 2y y1 1EI= EI= 2k2kk kA AB BC CFP2FPEI= EI= ll2ky2ky2 2kyky1 12k2kk kFP2FPA AB BC C例题：例题：例题：例题：静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载FPcr. .解：解：解：解：体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用B B，C C处的位移处的位移处的位移处的位移y1，y2确定，从临界平确定，从临界平确定，从临界平确定，从临界平衡状
25、态的两重性出发列平衡方程。衡状态的两重性出发列平衡方程。衡状态的两重性出发列平衡方程。衡状态的两重性出发列平衡方程。庙习训坊榴途仰亡峨瞥昧围话涯一牙玉饶亨捶哆孙悟栅贫沛协席插余卷涟16结构的稳定计算16结构的稳定计算21稳定方程稳定方程稳定方程稳定方程屈曲时可确定屈曲时可确定 y y1 1和和和和 y y2 2的比值的比值的比值的比值位形图位形图位形图位形图11.3610.367临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载把皖摸骗斑饼酷暖款平旋商创趣夹宴蓖禁娜融豫萝凛咱膳钱箱氦踊毯垦岩16结构的稳定计算16结构的稳定计算22lllkkFPkkFPy1y2ABCDFRC=ky2FRB=ky1FyA=FPy1
26、/lFyD=FPy2/lFxA=FPEI= EI= EI= 例题：例题：例题：例题：静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载FPcr. .解：解：解：解：体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用B B，C C处的位移处的位移处的位移处的位移y1，y2确定，从临界平衡确定，从临界平衡确定，从临界平衡确定，从临界平衡状态的两重性出发列平衡方程。状态的两重性出发列平衡方程。状态的两重性出发列平衡方程。状态的两重性出发列平衡方程。禹济旅厂胜缎墩叭敝桔曼虑屉巩烙哩三挥总剩晨辱汰帧圈协蹦谗决舍爹虱16结构的稳定
27、计算16结构的稳定计算231111签颖何撩咏女俱素讯帕叹狈悦珐剥赢饰囤龟同伤瑰痒妻甫氧谰篮边乎涣锦16结构的稳定计算16结构的稳定计算24计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤：1 1 1 1 中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位置的一个可能变形状态；置的一个可能变形状态；置的一个可能变形状态；置的一个可能变形状态；2 2 2 2 在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力
28、在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力图；图；图；图；3 3 3 3建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析的特征方程；的特征方程；的特征方程；的特征方程；4 4 4 4由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；5 5 5 5 最小特征值即临界荷载。最小特征值即临界荷载。最小特征值即临界荷载。最小特征值即临界荷载。挞普敷侠搪犊潍颁洗姿筐壕踞效焊怕
29、建到整誓论绥突径叁辜筷埋透秆层蔡16结构的稳定计算16结构的稳定计算25多自由度体系失稳的基本特点多自由度体系失稳的基本特点多自由度体系失稳的基本特点多自由度体系失稳的基本特点：1 1 1 1 多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；2 2 2 2 具有具有具有具有n n个自由度体系的失稳时共有个自由度体系的失稳时共有个自由度体系的失稳时共有个自由度体系的失稳时共有n n个特征对，即有个特征对，即有个特征对，即有个特征对，即有n n个可能失稳形态；个可能失稳形态；个可能失稳形态；个可
30、能失稳形态；3 3 3 3 对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称或反对称的；或反对称的；或反对称的；或反对称的；4 4 4 4 真实的临界荷载是真实的临界荷载是真实的临界荷载是真实的临界荷载是n n个特征值中的最小者，其它特征个特征值中的最小者，其它特征个特征值中的最小者，其它特征个特征值中的最小者，其它特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值所对应的失稳位移
31、形态只有在比它小的所有特征值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。榔抿浓溅萌袒晨傀嫌欲叠土初谱酿鸭蠢际零船剃傈黔蜂汗磋屡吻十陷蔫泡16结构的稳定计算16结构的稳定计算26二、能量法二、能量法依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。势能驻值原理势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的位移和变形均使得总势能位移和变形均使得总势能 EP 取得驻值，即总势能的一阶变取得驻值
32、，即总势能的一阶变分等于零（分等于零（EP =0）。）。该驻值条件等价于平衡条件该驻值条件等价于平衡条件 保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要考察体系总势能的二阶变分状态：考察体系总势能的二阶变分状态： 稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 彩辰密暇蓄寿依渭嘎洽驶朝密嚼雷仟敖各伍贯和臆吧钠等棒郴烽均旭皇缘16结构的稳定计算16结构的稳定计算27变形体系势能：变形体系势能：= 荷载势能荷载势能 + 变形势能变形势能由广义坐标变分的任意性由广义坐标变分的任意性由广义坐标变分的任意性由广义坐标变分的任意性关于广义
33、坐标关于广义坐标关于广义坐标关于广义坐标a ai i 的齐次方程的齐次方程的齐次方程的齐次方程广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。关于广义坐标的总势能驻值条件：关于广义坐标的总势能驻值条件：关于广义坐标的总势能驻值条件：关于广义坐标的总势能驻值条件：巧锋苞屁黎姑氰旺甜
34、脊艇唁泅霞胀鳃硅堪炙炭蹋解蹬阳款者禄砸忍订逗儿16结构的稳定计算16结构的稳定计算28例题：例题：例题：例题：用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载FPcr解：解：解：解：从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发llhEI1= EIEIFPFP FP ABCDABCDAD系统总势能系统总势能都搭孔案逮配铜浅初营霹柠疡葡架妒遗棚骸捻砚盘统咸愈昂茎赖席盅把障16结构的稳定计算16结构的稳定计算29例题：例题：例题：例题：用能量法求图示结构的临界荷载用能量
35、法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载FPcr解：解：解：解：从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发llhEI1= EIEIFPFP FP ABCDABCDAD表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同的能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同的豹行透寓瞩虽羹轧途楷啸烧赊褐钾花互刊旧配辫菱森对装走粕瑶赂药卓膛16结构的稳定计算16结构的稳定计算30lllkkFPABCD kkFPy1y2EI= EI=
36、 EI= 例题：例题：例题：例题：用能量法求图示体系的临界荷载用能量法求图示体系的临界荷载用能量法求图示体系的临界荷载用能量法求图示体系的临界荷载FPcr. .解：解：解：解：勋蚜擎炸卡伙骏罐勃嚷若差捉爆炳芯违熔臼噎傍咏沃戌钥脉迂淫雹竞遂迸16结构的稳定计算16结构的稳定计算311111势能驻值条件势能驻值条件势能驻值条件势能驻值条件特征向量方程组特征向量方程组特征向量方程组特征向量方程组特征方程（非零解条件）特征方程（非零解条件）特征方程（非零解条件）特征方程（非零解条件）特征值特征值特征值特征值特征向量（失稳形态）特征向量（失稳形态）特征向量（失稳形态）特征向量（失稳形态）临界荷载临界荷载
37、临界荷载临界荷载蝴沉蕾慧雇解伴睬媒搞鹏腊粪橇池炼酉表猛骄鳖巳罕蘸蛀掀抢涯碰舵苞跑16结构的稳定计算16结构的稳定计算32kkFPABCD 2kkFPy1y2EI= EI= EI= 从能量角度观察失稳位移图形可以发现从能量角度观察失稳位移图形可以发现从能量角度观察失稳位移图形可以发现从能量角度观察失稳位移图形可以发现: : : : 当两种情况下铰结点当两种情况下铰结点当两种情况下铰结点当两种情况下铰结点( ( ( (弹簧弹簧弹簧弹簧) ) ) )位移数值相等时位移数值相等时位移数值相等时位移数值相等时, , , ,反对称位移形态的反对称位移形态的反对称位移形态的反对称位移形态的D D点水平位移较
38、大。点水平位移较大。点水平位移较大。点水平位移较大。或者说，或者说，或者说，或者说，D D点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。应使体系发生失稳位移所引起的应
39、变能是最小的。应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。y1 1kkFPy2骚患芭寓捶依便例产递梗眺恢灭檀呵药瞄裳安梨寂性沏朔射荐蹿铰八鸳减16结构的稳定计算16结构的稳定计算3316.3 16.3 无限自由度体系的临界荷载无限自由度体系的临界荷载引入假定：引入假定：引入假定：引入假定： 1 1 1 1 杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变；杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变；杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变；杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变； 2 2 2 2 材料是线弹性的；材料是线弹性的；材料是线弹性的；材料是线弹性的； 3 3
40、3 3 屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。无限自由度稳定问题的主要计算方法无限自由度稳定问题的主要计算方法仍然是仍然是静力法静力法和和能量法能量法扒笼宦赏士膘束磺疙熊酮溺菜加鲜永挂新聋偷千蚕除默镣略半流俞责鲍硕16结构的稳定计算16结构的稳定计算34FPFPl1. 1. 1. 1. 等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载MFR静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态静力法的解题思路：根据
41、平衡形式的二重性先对变形状态静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。一、静力法一、静力法yxO对无限自由度体系，平衡方程是对无限自由度体系，平衡方程是对无限自由度体
42、系，平衡方程是对无限自由度体系，平衡方程是微分方程而不是代数方程，这是微分方程而不是代数方程，这是微分方程而不是代数方程，这是微分方程而不是代数方程，这是与有限自由度体系不同的。与有限自由度体系不同的。与有限自由度体系不同的。与有限自由度体系不同的。ABAB荣涟辱删线偿腮匝娩飘秦鸟钙爽粕外菠偿獭辗裴增娟居搅群握息醋盏承吐16结构的稳定计算16结构的稳定计算351. 1. 1. 1. 等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载边界条件边界条件边界条件边界条件: : x x = 0 = 0 时时时时, , y y = 0 ; = 0 ; x x = = l l
43、 时时时时, , y y = 0 = 0 FPFPlMFRyxOABAB海仆保筑惧此及均闰壬椭卜耙确莽囚常佐澈砷钨语舀浆当询尺结志滦冷募16结构的稳定计算16结构的稳定计算36边界条件边界条件边界条件边界条件: : x x = 0 = 0 时时时时, , y y = 0 ; = 0 ; y y =0=0 x x = = l l 时时时时, , y y = 0 = 0 FPl例题：例题：例题：例题：静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载FPcr. .FPMFRyxO解：解：解：解：建立变形体平衡方程建立变形体平衡方程建立变形体平衡
44、方程建立变形体平衡方程ABAB阅自荫型卫泅素氖爱味淹障龚宅插丹赵作想宋怒蒙拄叫承幅脱潘料介遭昆16结构的稳定计算16结构的稳定计算37非零解需要系数行列式为零，得稳定方程非零解需要系数行列式为零，得稳定方程非零解需要系数行列式为零，得稳定方程非零解需要系数行列式为零，得稳定方程这是以这是以这是以这是以ll为自变量的超越方程，通常用为自变量的超越方程，通常用为自变量的超越方程，通常用为自变量的超越方程，通常用试算法试算法试算法试算法或或或或图图图图解法解法解法解法求解稳定方程的最小正根。求解稳定方程的最小正根。求解稳定方程的最小正根。求解稳定方程的最小正根。零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。
45、零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。氛汁纫识禄蒜中怕问闭懦既耙沤脉骑趟骨粘诱饮檬扬鸣铸巴蜀宁乖川桌握16结构的稳定计算16结构的稳定计算38设：设：设：设： y y1 1= = = = l y2= tan l 变形曲线不是唯一的，是一组变形曲线不是唯一的，是一组变形曲线不是唯一的，是一组变形曲线不是唯一的，是一组形状相同而幅度不同的曲线族形状相同而幅度不同的曲线族形状相同而幅度不同的曲线族形状相同而幅度不同的曲线族（类似振型）。（类似振型）。（类似振型）。（类似振型）。 图解法图解法图解法图解法: :两条线有无穷多交
46、点，即两条线有无穷多交点，即两条线有无穷多交点，即两条线有无穷多交点，即有无穷组解。有无穷组解。有无穷组解。有无穷组解。最小的非零根：最小的非零根：最小的非零根：最小的非零根： l=4.493 =4.493 =4.493 =4.493 0恬紫含琳盼讨舔遣必酵营否辗赌稠葡各忘饮孙铺毡耳耗著鼻凹售爽牵芝娩16结构的稳定计算16结构的稳定计算39lFPkEI1FPkyxFRl刚性杆刚性杆I1I2 =nI1ACBDFP M例题：例题：例题：例题：静力法求图示排架的临界荷载静力法求图示排架的临界荷载静力法求图示排架的临界荷载静力法求图示排架的临界荷载FPcr，和柱，和柱AB的计算长度的计算长度。解：解：
47、解：解：建立变形体平衡方程建立变形体平衡方程建立变形体平衡方程建立变形体平衡方程源倦帝缉孕匀丁烃株廉席闽公绘巨倚壮葫峭箍腮男竟逻蕾脖壤臻趟牛阶谈16结构的稳定计算16结构的稳定计算40边界条件界条件: x = 0 时 y = 0 x = l 时 y = y = 0FPkyxFR 汕龙舞老弄篷数毗售奸肉愚晃脯沾祝父欲研赞氛梢楔存哉俱胡声年屎呕屏16结构的稳定计算16结构的稳定计算41展开，得超越方程：展开，得超越方程：讨论：讨论：（1）如果）如果I2= 0，则，则 k = 0当当EI1为有限值时，为有限值时，l0，所以，所以（2）如果）如果I2= ，则，则 k = 承善醋动剔扦裁殉疚改鸭魏萨隶演
48、傣缀兰龄煽康摆沮盈胀应膊撵兔邪但鸡16结构的稳定计算16结构的稳定计算42（3）如果）如果I2= I1 ，则，则 k = 3EI/l3有讨论（有讨论（1）、（）、（2）知）知试算法试算法试算法试算法: :令令则则所以所以27.094.43.05.862.30.50.0432.212.20-0.024-0.52.01.6-34.5蛋恬蹦卷羹痴离宋亲褒阑苯杏欠走措歧牵蒙逞剃肆凭洗踢趣操宛慈毙檄醒16结构的稳定计算16结构的稳定计算43分析对称杆件的失稳变形形态分析对称杆件的失稳变形形态FPFP由于荷载对称，所以失稳的位移形态也是对称或反对称的。由于荷载对称，所以失稳的位移形态也是对称或反对称的。F
49、PFPFPFP实际结构中压杆的支承常是弹性的：实际结构中压杆的支承常是弹性的：培遍照娃阳鬃化轧布绰艇鸯馅屁蕴坊御测篇改头覆隔呢马瘩做纪逊拙斑湍16结构的稳定计算16结构的稳定计算44FPFPFPFPFPFPFPFP对称的失稳对称的失稳的位移形态的位移形态反对称失稳反对称失稳的位移形态的位移形态蛹总愤庄南黑倾托文爬揣望扮莹雷特植梁棘挨适胖江喝室腿任李疲适西硒16结构的稳定计算16结构的稳定计算45当结构基础约束不足以完全阻止刚架柱底的转动时，应将固定当结构基础约束不足以完全阻止刚架柱底的转动时，应将固定支座改为弹性铰支座。弹性支承条件下压杆的临界荷载上限、支座改为弹性铰支座。弹性支承条件下压杆的
50、临界荷载上限、下限可由概念分析得出。下限可由概念分析得出。反对称情况，如刚架梁反对称情况，如刚架梁EI10, ,对对应悬臂柱，得临界荷载下限：应悬臂柱，得临界荷载下限：反对称情况，如刚架梁反对称情况，如刚架梁EI1,对对应滑动支座，得临界荷载上限：应滑动支座，得临界荷载上限：讨讨 论：论：刚架反对称临界荷载变化范围刚架反对称临界荷载变化范围：对称失稳临界荷载下限发生在对称失稳临界荷载下限发生在EI10时，压杆柱顶相当于铰链时，压杆柱顶相当于铰链支座，相应临界荷载大于反对称失稳时的临界荷载上限值，故支座，相应临界荷载大于反对称失稳时的临界荷载上限值，故刚架的失稳只能是反对称的。刚架的失稳只能是反
51、对称的。相善和奋鞠蔬暖审梦荔呀滋羡思轮虹速线抿冻将鲍墟磺筷栈聂澄睡熔熙鹅16结构的稳定计算16结构的稳定计算462. 2. 2. 2. 变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载工程中常见的变截面压杆有两类：阶形杆和截面连续变化工程中常见的变截面压杆有两类：阶形杆和截面连续变化杆。这两类杆或是稳定方程阶数过高，不易展开和求解，杆。这两类杆或是稳定方程阶数过高，不易展开和求解，或是形成变系数的挠曲线微分方程，常很难积分成为有限或是形成变系数的挠曲线微分方程，常很难积分成为有限形式，计算较为复杂。形式，计算较为复杂。lI1I2l2l1FPyxOFP以图示体系为
52、例分段建立平衡微分方程：以图示体系为例分段建立平衡微分方程：设：设：捣交肚蚜桂虱硕岿肺淳故猩叹祖协睛迟疼庭咒叫远俺板昭鉴瘸测流丘璃弄16结构的稳定计算16结构的稳定计算472. 2. 2. 2. 变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载平衡方程的解：平衡方程的解：积分常数由边界条件和两段连接点连续条件确定：积分常数由边界条件和两段连接点连续条件确定：当当x = 0 时，时，y1 = 0；从而导出；从而导出 B1 = 0当当x = l 时，时， y20 ；导出；导出 A2 B2 tan2l = 0当当x = l1 时，时，y1 = y2 、 y1= y2导
53、出导出lI1I2l2l1FPyxOFP觅报溺府呐揍闹列几鸭腥刘泞讽芦缓诸推恩覆及赖咐厄莽疟付花懂判婆饲16结构的稳定计算16结构的稳定计算482. 2. 2. 2. 变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载由齐次方程非零解条件，令系数行列式为零：由齐次方程非零解条件，令系数行列式为零：展开后求得特征方程展开后求得特征方程当当EI2=10EI1, l2= l1= 0.5l 时时,得最小根得最小根1l 1= 3.953 炽吴眩灸边宗暗蚀丫狡偏叉胚耿裤萨谩葱峭碧贪翟管铲吕矢不妖盛侗侠袄16结构的稳定计算16结构的稳定计算49二、能量法二、能量法对变截面压杆或轴
54、向荷载复杂情况用静力法确定临界荷对变截面压杆或轴向荷载复杂情况用静力法确定临界荷载比较繁杂。此时用能量法可取得较好效果。载比较繁杂。此时用能量法可取得较好效果。能量法的基本原理和步骤同于有限自由度体系稳定分析，能量法的基本原理和步骤同于有限自由度体系稳定分析，即利用势能驻值原理，在势能的一阶变分等于零的情况即利用势能驻值原理，在势能的一阶变分等于零的情况下，根据位移取非零解的条件确定荷载特征值，临界荷下，根据位移取非零解的条件确定荷载特征值，临界荷载是所有特征值中的最小值。载是所有特征值中的最小值。压杆的失稳曲线可以用一组满足边界条件的基函数线性压杆的失稳曲线可以用一组满足边界条件的基函数线性
55、组合而成。其组合系数称为广义坐标，广义坐标个数为组合而成。其组合系数称为广义坐标，广义坐标个数为自由度数。自由度数。题塘炒历崇尚肄囚锄泉究圾少铱打晶娘眯栋母堪畏巾缺瑟攻避澳狸掏僵训16结构的稳定计算16结构的稳定计算50压杆在挠曲平衡状态时压杆在挠曲平衡状态时若有多个沿轴向作用不同位置的荷载，则荷载势能若有多个沿轴向作用不同位置的荷载，则荷载势能应变能能荷荷载势能能维稀祖弧雇航磅卢脖疫葫朗厕冈札亮詹诺榷锈缓褂贵鸽徒组峰娘死绽晴垂16结构的稳定计算16结构的稳定计算51体系体系势能能由体系由体系势能的能的驻值条件条件空注订跳撩坛痞琼纵恕煽膀蝎磁沥约颊谊匈霸烤揉灶辛扶眠里钎怒阀捉闷16结构的稳定计
56、算16结构的稳定计算52临界荷界荷载的上限的上限由于压杆失稳的位移曲线一般很难精确预计和表达，用假设的位移曲线由于压杆失稳的位移曲线一般很难精确预计和表达，用假设的位移曲线通过能量法求得的临界荷载往往是近似解，其近似程度取决于选取位移通过能量法求得的临界荷载往往是近似解，其近似程度取决于选取位移曲线与真实曲线的吻合程度。所以恰当选取位移函数是成功应用能量法曲线与真实曲线的吻合程度。所以恰当选取位移函数是成功应用能量法的关键。的关键。律摇疙芭水瓤塘铸荤赣品游朱灌砾痞汛肝猪的元赘腹匠反畏爹训排逼瓶租16结构的稳定计算16结构的稳定计算53乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩
57、轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数 FPl例题：例题：例题：例题：能量法求图示体系的临界荷载能量法求图示体系的临界荷载能量法求图示体系的临界荷载能量法求图示体系的临界荷载. .取一项时取一项时取一项时取一项时一阶基函数一阶基函数一阶基函数一阶基函数广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 a a1 1 1 1解：解：解：解：FP yxOAB钦醚刺蓖阮伤观恒陇贸犊蒸尽照乡胸垂诉雾充都山寂著悼沼须乒荣冬磐蓑16结构的稳定计算16结构的稳定计算54乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳
58、定计算16结构的稳定计算代入能量法的驻值条件代入能量法的驻值条件代入能量法的驻值条件代入能量法的驻值条件误差误差误差误差4848由广义坐标非零解的要求由广义坐标非零解的要求由广义坐标非零解的要求由广义坐标非零解的要求 摈撅痉酿警傀唆覆虑匈棕洞抒墓煌狄洱媒哪列袭沥揭淀佃影招喝伪遁透契16结构的稳定计算16结构的稳定计算55乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算误差误差误差误差3.63.6 取两项时取两项时取两项时取两项时哎烬召辙株膀塑泣薄了泻慰松北墅封辱缓饼紫亢匹吴讫北骋狈辩唬谎畦座16结构的稳定计算16结构的稳定计算56乖侵叼潘歹尾
59、撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数 微段以上部分荷载微段以上部分荷载微段以上部分荷载微段以上部分荷载 微段以上外力势能微段以上外力势能微段以上外力势能微段以上外力势能： lq例题：例题：例题：例题：能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载. .解：解：解：解：取一项时取一项时取一项时取一项时xdx yxO蔷葫窘栅蚌苍虽毗姚迪疫事桃注送周蛔滤鳞慑
60、攻沫废仓媒上刃跌述割荐接16结构的稳定计算16结构的稳定计算57乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算外力势能外力势能外力势能外力势能 应变能应变能应变能应变能体系势能体系势能体系势能体系势能 由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求 由体系势能驻值条件由体系势能驻值条件由体系势能驻值条件由体系势能驻值条件误差误差误差误差5.885.885.885.88 呕狠疵颅祸灵硒只氧暗丸烙棍褂莲益证辞敦您迄痛扔祭蜂绿架灵益莱调瘫16结构的稳定计算16结构的稳定计算58乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪
61、漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算取两项时取两项时取两项时取两项时变形能变形能变形能变形能外力势能外力势能外力势能外力势能体系势能体系势能体系势能体系势能 别雁旷帅纸叙番爷沏狄曲沁台爬胳嫌怯跋松蓝稠篙松馆肌并触绩喊熬玖野16结构的稳定计算16结构的稳定计算59乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算由势能的驻值条件由势能的驻值条件由势能的驻值条件由势能的驻值条件由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求 扁袖兄倒咖孰背蔗若戒善揽锹湃犊熊乖鄂挖袍浅掣洲瓦绣歉讫泡晃此便肠
62、16结构的稳定计算16结构的稳定计算60乖侵叼潘歹尾撂掸殆俘沏辨词祈帜宽栖浪漾杭又伪摹紧襄土棍室酿箩轰面16结构的稳定计算16结构的稳定计算稳定方程最小根稳定方程最小根稳定方程最小根稳定方程最小根 比精确解仅大比精确解仅大比精确解仅大比精确解仅大0.010.01显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅误差明显减少。但
63、自由度的增加，计算工作量也大幅增加。增加。增加。增加。用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约
64、束，从而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。丈含憨聘寥喉兑返萌排淹瓣裂幸理揽帖风锅慌团渤咕苇威紧钧烫老绥护眼16结构的稳定计算16结构的稳定计算61FPlFPyxO例题：例题：例题：例题：试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临界荷载界荷载界荷载界荷载. .解：解：解：解：（1 1）假设挠曲线为抛物线）假设挠
65、曲线为抛物线）假设挠曲线为抛物线）假设挠曲线为抛物线AB傍闯饺籽弹墒理怒梧锨卵宙烘芥涸斥潘房分薪阻蔚脊辟衷鬃故断帜肇彻蛔16结构的稳定计算16结构的稳定计算62（2 2）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载F FHH引起的挠曲线引起的挠曲线引起的挠曲线引起的挠曲线比精确解大比精确解大比精确解大比精确解大22.022.022.022.0 铲欲纱毡蚁肋玩例绥香莆陋会筋傻告牟赌京昼软丸蔽畏助永米白秒戍耀妻16结构的稳定计算16结构的稳定计算63比精确解大比精确解大比精确解大比精确解大1.31.3
66、1.31.3 芳贡敖猎路芥酷儒粹抱怀浅庙耙阁踪赫谆凤兜校痹戎恍将眼丙础胎瞬减阶16结构的稳定计算16结构的稳定计算64（3 3）假设挠曲线为正弦曲线）假设挠曲线为正弦曲线）假设挠曲线为正弦曲线）假设挠曲线为正弦曲线与精确解完全重合，说明所设位移曲线就是失稳的与精确解完全重合，说明所设位移曲线就是失稳的与精确解完全重合，说明所设位移曲线就是失稳的与精确解完全重合，说明所设位移曲线就是失稳的位移曲线。位移曲线。位移曲线。位移曲线。宝盯嘲擅或饲中闽墙钮泵掖董艺简伺鹅貌氓呀探植巧隘母莆消坚氟邀姬鼻16结构的稳定计算16结构的稳定计算65例题：例题：例题：例题：试求两端简支的变截面压杆的临界荷载。已知截
67、面惯试求两端简支的变截面压杆的临界荷载。已知截面惯试求两端简支的变截面压杆的临界荷载。已知截面惯试求两端简支的变截面压杆的临界荷载。已知截面惯性矩为：性矩为：性矩为：性矩为：解：解：解：解：根据边界位移条件设变形函数根据边界位移条件设变形函数根据边界位移条件设变形函数根据边界位移条件设变形函数FPlyxO（1 1）取一项作为近似位移函数）取一项作为近似位移函数）取一项作为近似位移函数）取一项作为近似位移函数求得求得求得求得AB逛嘛司呕棚汉顶区畔珐蹦燃窿黔饵憎怂荐呈孝普吵甜艳骆身坦膨幢库糖粗16结构的稳定计算16结构的稳定计算66（2 2）取两项作为近似位移函数）取两项作为近似位移函数）取两项作
68、为近似位移函数）取两项作为近似位移函数求得求得求得求得两次计算结果已经很接近，相对差值不到两次计算结果已经很接近，相对差值不到两次计算结果已经很接近，相对差值不到两次计算结果已经很接近，相对差值不到0.010.01，由此可以了解近似程度。由此可以了解近似程度。由此可以了解近似程度。由此可以了解近似程度。颐标荡兢棒拈粥损药蓟且厘核龚价渣咆誓瓣悄列务吠宜名离如至站泥趾膛16结构的稳定计算16结构的稳定计算6716.4 16.4 组合压杆的临界荷载组合压杆的临界荷载由欧拉临界荷载计算公式可知：要提高临界荷载的数值，应由欧拉临界荷载计算公式可知：要提高临界荷载的数值，应由欧拉临界荷载计算公式可知：要提
69、高临界荷载的数值，应由欧拉临界荷载计算公式可知：要提高临界荷载的数值，应加大截面惯性矩或减小计算长度。加大截面惯性矩或减小计算长度。加大截面惯性矩或减小计算长度。加大截面惯性矩或减小计算长度。通过施加约束可以改变计算长度；通过分散截面面积可以增通过施加约束可以改变计算长度；通过分散截面面积可以增通过施加约束可以改变计算长度；通过分散截面面积可以增通过施加约束可以改变计算长度；通过分散截面面积可以增大截面惯性矩。利用组合结构可以达到增大惯性矩的目的。大截面惯性矩。利用组合结构可以达到增大惯性矩的目的。大截面惯性矩。利用组合结构可以达到增大惯性矩的目的。大截面惯性矩。利用组合结构可以达到增大惯性矩
70、的目的。 由于承重的需要或构造上的原因而在工程施工中广为应由于承重的需要或构造上的原因而在工程施工中广为应由于承重的需要或构造上的原因而在工程施工中广为应由于承重的需要或构造上的原因而在工程施工中广为应用的组合压杆（如桥梁的上弦杆、厂房的双支柱、无线电桅用的组合压杆（如桥梁的上弦杆、厂房的双支柱、无线电桅用的组合压杆（如桥梁的上弦杆、厂房的双支柱、无线电桅用的组合压杆（如桥梁的上弦杆、厂房的双支柱、无线电桅杆和起重塔吊等），通常是由两个型钢（肢杆）用若干联接杆和起重塔吊等），通常是由两个型钢（肢杆）用若干联接杆和起重塔吊等），通常是由两个型钢（肢杆）用若干联接杆和起重塔吊等），通常是由两个型钢
71、（肢杆）用若干联接件相联组成的件相联组成的件相联组成的件相联组成的“ “空腹柱空腹柱空腹柱空腹柱” ”，按其联接件形式分缀条式和缀板，按其联接件形式分缀条式和缀板，按其联接件形式分缀条式和缀板，按其联接件形式分缀条式和缀板式两种。式两种。式两种。式两种。 岳卿袜雪时奈磺琴儿嗜吉溉允削铂集裂荒含噪哉狄挺沏顷抨豌诡蛋屑峪痹16结构的稳定计算16结构的稳定计算68缀条式缀条式缀条式缀条式：用角钢或小型槽钢与：用角钢或小型槽钢与：用角钢或小型槽钢与：用角钢或小型槽钢与肢杆连成桁架式。缀条与肢肢杆连成桁架式。缀条与肢肢杆连成桁架式。缀条与肢肢杆连成桁架式。缀条与肢杆的连接视为铰结。杆的连接视为铰结。杆的
72、连接视为铰结。杆的连接视为铰结。缀板式缀板式缀板式缀板式：用条形钢板将肢杆连：用条形钢板将肢杆连：用条形钢板将肢杆连：用条形钢板将肢杆连成封闭刚架形式。缀板与肢成封闭刚架形式。缀板与肢成封闭刚架形式。缀板与肢成封闭刚架形式。缀板与肢杆的连接视为刚结。杆的连接视为刚结。杆的连接视为刚结。杆的连接视为刚结。缀合构件通常有两种形式：缀合构件通常有两种形式：缀合构件通常有两种形式：缀合构件通常有两种形式：籽鼓敖雪涅穴沃澎庆锹釜鹃染零乎蜡厦逸刮敛道贿泽悄毋嘲寺敷短吴椰匈16结构的稳定计算16结构的稳定计算69组合压杆的横截面组合压杆的横截面组合压杆的横截面组合压杆的横截面yyxx当绕当绕当绕当绕 y-y
73、 轴失稳时，临界荷载的轴失稳时，临界荷载的轴失稳时，临界荷载的轴失稳时，临界荷载的计算与实腹杆相同。计算与实腹杆相同。计算与实腹杆相同。计算与实腹杆相同。当绕当绕当绕当绕 x-x 轴失稳时，由于缀合构轴失稳时，由于缀合构轴失稳时，由于缀合构轴失稳时，由于缀合构件的连接，截面惯性矩增大，但件的连接，截面惯性矩增大，但件的连接，截面惯性矩增大，但件的连接，截面惯性矩增大，但剪切变形也增大，使得临界荷载剪切变形也增大，使得临界荷载剪切变形也增大，使得临界荷载剪切变形也增大，使得临界荷载值相应下降。值相应下降。值相应下降。值相应下降。组合压杆稳定性分析的关键在于确组合压杆稳定性分析的关键在于确组合压杆
74、稳定性分析的关键在于确组合压杆稳定性分析的关键在于确定整体剪切变形对临界荷载的影响定整体剪切变形对临界荷载的影响定整体剪切变形对临界荷载的影响定整体剪切变形对临界荷载的影响府唇苫钻娘堆捂商砾高辖冤喝醉椭琉敏肪渊识属虑抗琢房噬孤王耿钡滑躇16结构的稳定计算16结构的稳定计算70弯矩产生的曲率弯矩产生的曲率弯矩产生的曲率弯矩产生的曲率 剪力产生的附加曲率剪力产生的附加曲率剪力产生的附加曲率剪力产生的附加曲率 截面形状系数截面形状系数矩形截面为矩形截面为1.2圆形截面为圆形截面为1.11一、剪切变形对临界荷载的影响一、剪切变形对临界荷载的影响微元体分析微元体分析剪切变形剪切变形哼墩扦荣希存外岔斋亦俭
75、壶蹲又溃有憨妹匠述郊铺禄央婉足刽脚蓝傀顶锋16结构的稳定计算16结构的稳定计算71对两端铰支杆压杆（对两端铰支杆压杆（对两端铰支杆压杆（对两端铰支杆压杆（F FR R=0=0） 所以所以所以所以 FPFRyxO蒂密搞苗蔓舰检卖桐阎悲耗为知修位错襟写牵靖缓啪操涡害岗厅姜荧团侦16结构的稳定计算16结构的稳定计算72为不计剪变临界欧拉力为不计剪变临界欧拉力为不计剪变临界欧拉力为不计剪变临界欧拉力 剪力修正系数剪力修正系数剪力修正系数剪力修正系数实体压杆实体压杆中剪力对临界荷载的影响很小，可略中剪力对临界荷载的影响很小，可略去不计。但对去不计。但对组合压杆组合压杆必须考虑剪切影响必须考虑剪切影响甫孕
76、伦秤念逢隐咽甭浇库诚绰陪纪积纪蚕乐挡铃颇励蠢菏撑曹佬着楷泵袱16结构的稳定计算16结构的稳定计算73二、缀条式组合压杆的临界荷载二、缀条式组合压杆的临界荷载首先取压杆的一个节间分析首先取压杆的一个节间分析首先取压杆的一个节间分析首先取压杆的一个节间分析 当剪切角不大时当剪切角不大时当剪切角不大时当剪切角不大时 通常肢杆的横截面面积远大于缀条的通常肢杆的横截面面积远大于缀条的通常肢杆的横截面面积远大于缀条的通常肢杆的横截面面积远大于缀条的横截面面积，因此只需计入缀条的影横截面面积，因此只需计入缀条的影横截面面积，因此只需计入缀条的影横截面面积，因此只需计入缀条的影响。相邻节间共用一对缀条，故计算
77、响。相邻节间共用一对缀条，故计算响。相邻节间共用一对缀条，故计算响。相邻节间共用一对缀条，故计算时只需计算图中的一对横杆。时只需计算图中的一对横杆。时只需计算图中的一对横杆。时只需计算图中的一对横杆。 x糯屡樟碧府舆碘潮勾馏眶锗仓摹盯郸囊汛洛厉累饿午净降语钥赊浑悸癣淮16结构的稳定计算16结构的稳定计算74设设 Ap-水平缀条截面积水平缀条截面积. .xAq-倾斜缀条截面积倾斜缀条截面积. .组钝因萄涎麻挞钥范塌稻挡颖者昆称贱赠晴捞穆鼻殷蘸印顿搅册他歪榨寸16结构的稳定计算16结构的稳定计算75若略去横杆影响，两侧都有缀条，则上式为若略去横杆影响，两侧都有缀条，则上式为: :困凌雏退械陵诲件惯
78、掀有颤臃痕板乃够诅帘饿恒犀约窥涉粱恒吟巴域酞哩16结构的稳定计算16结构的稳定计算76若用若用r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴 x 的回转半径的回转半径, ,即即并且并且, ,一般一般为为303060,60,故可取故可取并引入长细比并引入长细比若采用换算长细比若采用换算长细比h , ,则有则有上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式比的公式. .烃拧陀痞皿挡贴藏丫赘环酚困消唤赴恒丽纹斧杜吓轻辅炕迸床咸晓青乌尾16结构的稳定计算16结构的稳定计算771/21/21/21/2三、缀板式组合压杆的临界荷载
79、三、缀板式组合压杆的临界荷载将缀板式组合压杆视为单跨多层刚架，近似认为将缀板式组合压杆视为单跨多层刚架，近似认为将缀板式组合压杆视为单跨多层刚架，近似认为将缀板式组合压杆视为单跨多层刚架，近似认为肢杆由剪力作用引起的弯曲变形的反弯点位于相肢杆由剪力作用引起的弯曲变形的反弯点位于相肢杆由剪力作用引起的弯曲变形的反弯点位于相肢杆由剪力作用引起的弯曲变形的反弯点位于相邻结点的中点处。邻结点的中点处。邻结点的中点处。邻结点的中点处。 111/21/21/21/2IbId首先取压杆的一个层间分析首先取压杆的一个层间分析首先取压杆的一个层间分析首先取压杆的一个层间分析 墅寓寞咽打初蚂宙毅脾活抱喳撮幸局少疼
80、尾品仑桓歹剥别啸辩燥择凑抱茸16结构的稳定计算16结构的稳定计算78一般缀板的弯曲线刚度远大于肢杆的弯曲线刚度，一般缀板的弯曲线刚度远大于肢杆的弯曲线刚度，一般缀板的弯曲线刚度远大于肢杆的弯曲线刚度，一般缀板的弯曲线刚度远大于肢杆的弯曲线刚度，当略去缀板的变形影响时当略去缀板的变形影响时当略去缀板的变形影响时当略去缀板的变形影响时若近似的以若近似的以若近似的以若近似的以1 1代替代替代替代替0.830.83，则，则，则，则拟慌缩偏厩贵秀益庭照懈氯服麻湾肌尼荡浅蓑蝶虾稻蔡洽诸犯虾阁糕岭枯16结构的稳定计算16结构的稳定计算79长细比为长细比为长细比为长细比为计算长度系数计算长度系数计算长度系数计
81、算长度系数这就是钢结构设计规范中给出的缀板式双肢组合这就是钢结构设计规范中给出的缀板式双肢组合这就是钢结构设计规范中给出的缀板式双肢组合这就是钢结构设计规范中给出的缀板式双肢组合压杆换算长细比的计算公式。压杆换算长细比的计算公式。压杆换算长细比的计算公式。压杆换算长细比的计算公式。扯经七队晶礼鲁或闸朵蜗泄泽奏座亮钳孵著峪疑芦痒校抢吻冗淤廓羔怂泼16结构的稳定计算16结构的稳定计算80四、提高临界荷载值的措施四、提高临界荷载值的措施 为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。可能的措施有以下面的合理性以及材
82、料性能等因素的影响。可能的措施有以下几方面：几方面：（1）尽量减少压杆杆长）尽量减少压杆杆长 对于细长杆，其临界对于细长杆，其临界荷载与杆长平方成反比。荷载与杆长平方成反比。因此，减少杆长可以显著因此，减少杆长可以显著地提高压杆承载能力，在地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结某些情形下，通过改变结构或增加支点可以达到减构或增加支点可以达到减小杆长从而提高压杆承载小杆长从而提高压杆承载能力的目的。能力的目的。FPABCDEFPABCDE渣少搁政寿浑钠禹众恿帘隅划嗓竹剩夜沤溶破编雪聚闲啃盐隅襄初鸡呆彪16结构的稳定计算16结构的稳定计算81（2）合理选择截面形状）合理选择截面形状 当压杆两
83、端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时, ,压杆将在刚度最小的平面内弯曲。最经济的办法是尽量加大压杆将在刚度最小的平面内弯曲。最经济的办法是尽量加大截面的惯性矩。并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同。截面的惯性矩。并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同。 当压杆端部当压杆端部在不同的平面内在不同的平面内具有不同的约束具有不同的约束条件时，应采用条件时，应采用最大与最小惯性最大与最小惯性矩不等的截面，矩不等的截面，并使惯性矩较小并使惯性矩较小的平面内具有较的平面内具有较强刚性的约束。强刚性的约束。咨蛮罐皆柱剐汤村伴短怯雏烛阑谜涣疗懒耻盲莹文粟印辜镰
84、责际拘致功财16结构的稳定计算16结构的稳定计算82（3）改善杆端的约束情况）改善杆端的约束情况杆端约束刚性越强，压杆的长度系数越小，临界荷载值就越大。杆端约束刚性越强，压杆的长度系数越小，临界荷载值就越大。因此尽可能加强杆端约束的刚性，可使压杆的稳定性得到提高。因此尽可能加强杆端约束的刚性，可使压杆的稳定性得到提高。 yxFPFPyxFPyx鼠部臻擅滑菩毋宦灼贝串霖雏重尸叙泵添耪惩扫谊喉宿官宽梆谎廖果笑睡16结构的稳定计算16结构的稳定计算83（4）合理选用材料）合理选用材料 在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压
85、杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模杆的临界载荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。 但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。煎闷资腥阶疲贿己痪睛威巡吵喀棘守库略交疏消律还归饵宋塑谰蛹检宠车16结构的稳定计算16结构的稳定计算84End失失稳形式形式分支点失分支点失稳极极值点失点失稳采用理采用理论小小挠度理度理论大大挠度理度理论平衡状平衡状态稳定平衡状定平衡状态不不稳定平衡状定平衡状态随遇平衡状随遇平衡状态总结总结总结总结难厚晨总悼漆烹帧脂帖叹捏挑条场放肘妥莎凿耶渝返滑营趋睫页酌冻权钱16结构的稳定计算16结构的稳定计算85
