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1、 理解股票价格对数正态分布的特性，掌握Black-Scholes微分方程的基本概念和推导Black-Scholes公式的过程； 掌握公式的性质，并且能够运用该公式进行定价； 掌握风险中性定价的原理和方法； 能够运用期权定价公式对支付红利的股票期权进行定价。第九章第九章 B-S期权定价模型期权定价模型 一、布莱克斯科尔斯微分方程 n（一）思路（一）思路：n由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性(dz)影响，若匹配适当，这种不确定性就可以相互抵消。n布莱克和斯科尔斯建立一个包括一单位衍生证券若干单位标的证券多头的投资组合。n若数量适当，标的证券多头盈利(或亏损)总是会与衍生证券空头的亏损
2、(或盈利)相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。n在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。(三)布莱克斯科尔斯微分方程的推导 n1、基础证券的运动模型：n由于假设证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：ndSSdt十Sdzn其在一个小的时间间隔t中，S的变化值S为：n S=St+Sz（1）2、衍生工具的运动模型：假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，由伊藤引理可得：n4、无套利定价n由于式(5)中不含有z，该组合的价值在一个小时间间隔t后必定没有风险。n因此该组合在t中的瞬时收益率一定等于t中的无风险收益率。n否则的话，套利者就可以通过套利获得
3、无风险收益率。n因此，在没有套利机会的条件下：nrt（6）n把式(3)和(5)代入（6）得: n6、注意n(1)组合的风险性n当S和t变化时， 的值也会变化，因此上述投资组合的价值并不是永远无风险的，它只是在一个很短的时间间隔t中才是无风险的。n在一个较长时间中，要保持该投资组合无风险，必须根据t的变化而相应调整标的证券的数量。n当然，推导布莱克斯科尔斯微分方程并不要求调整标的证券的数量，因为它只关心t中的变化。n(2)风险中性定价原理n从式(7)可以看出，衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价(S)、时间(t)、证券价格的波动率()和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观
4、变量风险收益偏好。n而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。 n这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。n在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。n在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外负担外的收益来吸引他们承担风险。n在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。n应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了求解布莱克斯科尔斯微分方程而作出的人为假定。n但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资考风险中性情况，也适
5、用于投资者厌恶风险的所有情况。二、布莱克斯科尔斯期权定价公式 n1973年，布莱克和斯科尔斯成功地求解了他们的微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期权的精确公式。n 在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时(T时刻)的期望值为：n其中， 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即： 在风险中性条件下，我们可以用r取代下式中的 nN(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)。n根据标准正态分布函数特性，有：nN(x)1N(x)。 n对对B-SB-S公式理解：公式理解：n （1 1）上上式式右右边边
6、的的第第二二项项- - e e-r(T-t)-r(T-t)XN(dXN(d2 2) )，是是构构建建无无套套利利组组合合时时加加入入的的一一个个单单位位衍衍生生证证券券空空头头的的现现值值，风风险险中中性性条件下的贴现值。条件下的贴现值。n 由由于于该该头头寸寸是是空空头头，所所以以符符号号为为负负，可可以以理理解解为为组组合合中的负债价值。中的负债价值。n N(dN(d2 2) )是是在在风风险险中中性性世世界界中中S ST T大大于于X X的的概概率率，即即是是欧欧式式看涨期权被执行的概率；看涨期权被执行的概率；n XN(dXN(d2 2 ) )是是执执行行价价格格乘乘以以行行权权的的概概
7、率率，是是概概率率折折扣扣后后到到期行权获得的价值，是期行权获得的价值，是T T时刻的终值；时刻的终值；n e e-r(T-t)-r(T-t)XN(dXN(d2 2) )是是上上面面终终值值X X风风险险中中性性期期望望值值的的现现值值，它它构成当前期权价格的一部分；构成当前期权价格的一部分；n （2 2）上上式式右右边边的的第第一一项项SN(dSN(d1 1) )，是是构构建建无无套套利利组组合合时时加加入入的的若若干干个个单单位位的的标标的的证证券券的的多多头头的的现现值值。由由于于该该头头寸寸是是多多头头，所所以以符符号号为为正正，可可以以理理解解为为组组合合中中的的资资产产价价值值。无
8、无套套利利资资产产组组合合中中必必然然同同时时存存在在多多头头和和空空头头，否否则则风风险险无无法法对冲。对冲。n N(dN(d1 1) )可可以以看看作作是是组组合合中中股股票票的的数数量量（不不超超过过1 1），SNSN(d(d1 1) )就是股票的市值。就是股票的市值。 n SN(d1)e-r(T-t) STN(d1)是ST的的风风险险中中性性期期望望值值的的现现值值。 考考虑虑到到在在风风险险中中性性条条件件下下，S ST T实实际际上上是是S S按按无无风风险险利利率率增长在增长在T T时刻的终值：时刻的终值： S ST T=Se=Ser(T-t)r(T-t) 或或 S Se e-r
9、(T-t)-r(T-t) S ST T n因此因此SN(dSN(d1 1) ) 可以变换为：可以变换为： n SN(d SN(d1 1) )e e-r(T-t)-r(T-t) S ST TN(dN(d1 1) )n期权定价公式可以相应表示为：期权定价公式可以相应表示为：n（3 3）d1d1和和d2d2的性质的性质n 当股票价格当股票价格S S变得很大时，变得很大时， d1 d1和和d2 d2 变得很大，变得很大，nN N（d1d1）和）和 N N（ d2 d2 ）趋近于）趋近于1 1，则：，则：n 看涨期权价格看涨期权价格f f为：为：S-X eS-X e-r(T-t)-r(T-t) n 看跌
10、期权价格看跌期权价格p p为为0 0，因为，因为N N（-d1-d1）和）和 N N（-d2-d2）n趋近于趋近于0 0。n n 当股价波动率当股价波动率趋近于趋近于0 0时，有两种情况：时，有两种情况：n 当当SX SX e e-r(T-t) -r(T-t) 时时， d1d1和和d2d2趋趋向向于于正正无无穷穷大大， N N（d1d1）和和 N N（ d2 d2 ）趋近于）趋近于1 1，n 看涨期权价格看涨期权价格f f为：为：S-X eS-X e-r(T-t)-r(T-t) ；n 看跌期权价格看跌期权价格p p为：为：0 0n n n 当当SX SX e e-r(T-t) -r(T-t)
11、时时，d1d1和和d2d2趋趋向向于于负负无无穷穷大大， N N（d1d1）和和 N N（ d2 d2 ）趋近于）趋近于0 0，n 看涨期权价格看涨期权价格f f为为0 0；n 看跌期权价格看跌期权价格p p为：为：X eX e-r(T-t) -r(T-t) SSn 总之，只要总之，只要趋近于趋近于0 0，一定有：，一定有：n 看涨期权价值总为：看涨期权价值总为： MAX MAX（S-X eS-X e-r(T-t)-r(T-t)， 0 0 ）；）；n 看跌期权价值总为：看跌期权价值总为： MAX MAX（X eX e-r(T-t) -r(T-t) SS，0 0）；）；欧式看跌期权定价n在标的资
12、产无收益情况下，由于Cc，因此式(10)也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。n根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：npXe-r(T-t) N(d2)SN(d1) (11)n由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式。n美式看跌期权可以用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。三、有收益资产的期权定价公式三、有收益资产的期权定价公式 n到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。n那么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？n实际上，如果收益可以准确地
13、预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的期权定价并不复杂。 (一)有收益资产欧式期权的定价公式n在收益己知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。n当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失，因此，我们只用S表示有风险部分的证券价格。n表示风险部分遵循随机过程的波动率。n直接套用公式（10）和（11）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。n当标的证券己知收益的现值为I时，我们只要用(sI)代替式(10)和(11)中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。n当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q
14、(单位为年)时，将Se-q(T-t) 代替式(10)和(11)中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。从而使布莱克斯科尔斯的欧式期权定价公式适用欧式货币期权和股价指数期权的定价。 对于欧式期货期权，布莱克教授也给出了定价公式： n例1n假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7，英国的无风险连续复利年利率为10，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。n由于英镑会产生无风险收益,现在的1英镑等于6个月后的e0.10.5英镑,而现在的 e-0.10.5英镑等于6个月后的1英镑，因此可令
15、S1.5000e-0.10.5 ,并代入式（10）可求出期权价格：n 通过查累积正态分布函数N(x)的数据表，我们可以得出：n c=1.42680.42981.44840.40230.03053.05美分n 因此，6个月期英镑欧式看涨期权价格为3.05美分。 (二)有收益资产美式期权的定价 n1美式看涨期权n当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂。n布莱克提出了一种近似处理方法。n方法：n先确定提前执行美式看涨期权是否合理。n若不合理，则按欧式期权处理；n若在tn提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然
16、后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。n在大多数情况下，这种近似效果都不错。 例2n假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30，无风险连续复利年利率为10，求该期权的价值。 n首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据前面的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是： n在本例中，D1=D21.0元。n第一次除权日前不等式右边为nX1-e-r(t1-t2)50(1e0.10.5)2.4385n由于2.43851.0元，因此在第一个除权日前期权不应当执行.n
17、第二次除权日前不等右边为：nX1-e-r(T-t2)50(1e0.10.0833)0.4148n由于0.41481.0元，因此在第二个除权日前有可能提前执行n然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权价格。 n对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：n1.0e-0.10.4167十1.060.10. 91671.8716元n因此S-I=48.1284，代入式(10)得：nc1248.1284N(d1)一50e0.11N(d2)n 48.1284 N(d1)一45.2419 N(d2) n其中nd1 =1n(48.1284 50)十 (0.1十 0.09 2)1 /0.31= 0.3562
18、nd2=0.3526-0.310.0562n由于N(0.3562)0.6392nN(0.0562)0.5224nc1248.12840.639245.24190.5224n 7.1293元n对于11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：n1.0e-0.10.4167=0.9592元n因此S-I=9.0408元，代入式(10)得nc1149.0408N(d1)一50e0.10.9167N(d2)n49.0408N(d1)一45.6203N(d2) n其中：nd1 =1n(49.0408 50)十 (0.1十 0.09 2)0.9167 /0.30.9167= 0.3952nd2=0.395
19、2-0.30.91677.2824nc1149.04040.653645.62030.5437.2824n由于C11C12，n因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元 n2、美式看跌期权n由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。n实际上，如果对于所有的in，在以下关系成立时，看跌期权不应提前执行。四、公司股票认股权证定价n1、条件n考虑一个公司拥有N股发行在外的流通股股票和M份流通的认股权证。n假设每份认股权证可使持有者在T时刻以每股X的执行价格向该公司购买股股票。n若T时刻公司的股权值为VT（包括股票认股权证的价值）。n2、认股权证的价值分析n认股权证的持有者执行认股权证，由于执行价格为M X，该公司获得一笔现金流入，公司股权价值增长到VT + M X。这个值在N+M 股中分配，所以认股权证执行后的瞬时股票价格为：3、认股权证的定价
