电磁场的矢势和标势

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1、第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射Electromagnetic Wave Radiation 本本章章所所研研究究的的问问题题是是电电磁磁波波的的辐辐射射。方方法法和和稳稳恒恒场场情情况况一一样样，当当考考虑虑由由电电荷荷、电电流流分分布布激激发发电电磁磁场场的的问问题题时时，引引入入势势的的概概念念来来描述电磁场比较方便。描述电磁场比较方便。本本章章首首先先把把势势的的概概念念推推广广到到一一般般变变化化电电磁场情况，然后通过势来解辐射问题。磁场情况，然后通过势来解辐射问题。本章主要内容本章主要内容电磁场的矢势和标势电磁场的矢势和标势电磁场的矢势和标势电磁场的矢势和标势推迟势推迟势推迟

2、势推迟势电偶极辐射电偶极辐射电偶极辐射电偶极辐射电磁波的干涉和衍射电磁波的干涉和衍射电磁波的干涉和衍射电磁波的干涉和衍射电磁场的动量电磁场的动量电磁场的动量电磁场的动量5. 1 电磁场的矢势和标势电磁场的矢势和标势Vector and Scalar Potential of Electromagnetic 1 1、用势、用势 描述电磁场描述电磁场 为简单起见，讨论真空中的电磁场：为简单起见，讨论真空中的电磁场：针对磁场针对磁场引入引入 的物理意义可由下式看出：的物理意义可由下式看出：即在任一时刻，矢量即在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路沿任一闭合回路L的线积的线积分等于该时刻通过以分等于该时刻通

3、过以L为边线的曲面为边线的曲面S的磁通量。的磁通量。 对于电场对于电场 不能像静电场那样直接引入电势。由不能像静电场那样直接引入电势。由Faraday电磁感应定律可得：电磁感应定律可得： 是标势不是标势不是标势不是标势不是静电势是静电势是静电势是静电势即即 电磁场和势之间的关系如下电磁场和势之间的关系如下电磁场和势之间的关系如下电磁场和势之间的关系如下注意：注意： a)a) 当当 与时间无关，即与时间无关，即 时时,且且这时这时 就直接归结为电势；就直接归结为电势； b)b) 绝对不要把绝对不要把 中的标势中的标势与与电电势势 混混为为一一谈谈。因因为为在在非非稳稳恒恒情情况况下下， 不不再再

4、是是保保守守力力场场，不不存存在在势势能能的的概概念念，这这就就是是说说现现在在的的 ，在在数数值值上上不不等等于于把把单单位位正正电电荷荷从从空空间间一一点点移移到到无无穷穷远远处处电电场场力力所所做做的的功功。为为了了区区别别于于静静电电场场的的电电势势，把把这这里里的的 称称为为标标势势（Scalar potential)。 c)c) 在在时时变变场场中中，磁磁场场和和电电场场是是相相互互作作用用着着的的整整体体，必必须须把把矢矢势势 和和标标势势 作作为为一一个个整整体体来来描描述电磁场。述电磁场。2、规范变换和规范不变性、规范变换和规范不变性 虽虽然然 和和 ，以以及及 和和 是是描

5、描述述电电磁磁场场的的两两种种等等价价的的方方式式，但但由由于于 、 和和 、 之之间间是是微微分分方方程程的的关关系系，所所以以它它们们之之间间的的关关系系不不是是一一一一对对应应的的，这这是是因因为为矢矢势势 可可以以加加上上一一个个任任意意标标量量函函数数的梯度，结果不影响的梯度，结果不影响 ，而这个任意标量函数，而这个任意标量函数的梯度在的梯度在 中对中对 要发生影响，但要发生影响，但将将 中的中的 与此融合也作相应的与此融合也作相应的变换，则仍可使变换，则仍可使 保持不变。保持不变。 设设 为为任任意意的的标标量量函函数数，即即 ，作作下下述变换式：述变换式：于是我们得到了一组新的于

6、是我们得到了一组新的 ，很容易证明：，很容易证明：由此可见，由此可见， 和和 描述同一电磁场。描述同一电磁场。 a) a) 库仑规范库仑规范库仑规范库仑规范(Coulomb gauge)(Coulomb gauge) 库仑规范条件为库仑规范条件为 ，即规定，即规定 是一个是一个有旋无源场（横场）。这个规范的特点是有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 的纵的纵场部分完全由场部分完全由 描述（即描述（即 具有无旋性具有无旋性)，横，横场部分由场部分由 描述（即描述（即 具有无源性）。由具有无源性）。由可见，可见， 项对应库仑场项对应库仑场 ， 对应着感应对应着感应场场 。 b) b) 洛仑兹规范洛

7、仑兹规范洛仑兹规范洛仑兹规范(Lorentz gauge)(Lorentz gauge) 洛仑兹规范条件为洛仑兹规范条件为 ，即规，即规定定 是是一一个个有有旋旋有有源源场场（即即 包包含含横横场场和和纵纵场场两两部部分分），这这个个规规范范的的特特点点是是把把势势的的基基本本方方程程化化为为特别简单的对称形式。特别简单的对称形式。3、达朗贝尔、达朗贝尔(d Alembert)方程方程 从从Maxwells equations及及出发推导矢势出发推导矢势 和标势和标势 所满足的方程，得到：所满足的方程，得到： a) a) 采用库仑规范采用库仑规范采用库仑规范采用库仑规范 上述方程化为上述方程化

8、为此时，标势所满足的方程与静电场相同。此时，标势所满足的方程与静电场相同。 b) b) 采用洛仑兹规范采用洛仑兹规范采用洛仑兹规范采用洛仑兹规范( )( ) 上述方程化为上述方程化为这就是所谓这就是所谓达朗贝尔（达朗贝尔（达朗贝尔（达朗贝尔（ d Alembertd Alembert ）方程）方程）方程）方程。4、举例讨论举例讨论 试求单色平面电磁波的势试求单色平面电磁波的势Solution:Solution: 单单色色平平面面电电磁磁波波在在没没有有电电荷荷，电电流流分分布布的的自自由由空空间间中中传传播播，因因而而势势方方程程（达达朗朗贝贝尔尔方方程程在在Lorentz规范条件下）变为波动

9、方程：规范条件下）变为波动方程：其解的形式为：其解的形式为：由由Lorentz规范条件规范条件 ，即得，即得这这表表明明，只只要要给给定定了了 ，就就可可以以确确定定单单色色平平面面电电磁波，这是因为：磁波，这是因为：0 0（对于单色平面波而言）（对于单色平面波而言）如如果果取取 ，即即只只取取 具具有有横横向向分分量量，那那么么有有从而得到：从而得到：因此有：因此有：其中：其中：如如果果采采用用库库仑仑规规范范条条件件，势势方方程程在在自自由由空空间间中中变变为为当当全全空空间间没没有有电电荷荷分分布布时时，库库仑仑场场的的标标势势 ，则只有，则只有其解的形式为其解的形式为由库仑规范条件得到

10、由库仑规范条件得到即保证了即保证了 只有横向分量，即只有横向分量，即 ，从而得到，从而得到通过例子可看到：通过例子可看到： 库库仑仑规规范范的的优优点点是是：它它的的标标势势 描描述述库库仑仑作作用用，可可直直接接由由电电荷荷分分布布 求求出出，它它的的矢矢势势 只只有有横横向向分分量量，恰恰好好足足够够描描述述辐辐射射电电磁磁波波的的两两种种独独立立偏振。偏振。 洛洛仑仑兹兹规规范范的的优优点点是是：它它的的标标势势 和和矢矢势势 构成的势方程具有对称性。它的矢势构成的势方程具有对称性。它的矢势 的纵向部的纵向部分分和和标标势势 的的选选择择还还可可以以有有任任意意性性，即即存存在在多多余余的的自自由由度度。尽尽管管如如此此，它它在在相相对对论论中中显显示示出出协协变变性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。