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1、第第3 3章章 扭扭 转转1一、一、定义定义 变形形式，变形形式，扭转变形扭转变形 作用下，杆的各横截面产生作用下，杆的各横截面产生相对转动相对转动的的在一对大小相等、转向相反的外力偶矩在一对大小相等、转向相反的外力偶矩简称简称扭转扭转。3. .1 概概 述述2二、工程实例二、工程实例31 1、螺丝刀杆工作时受扭、螺丝刀杆工作时受扭。 Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶42 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。53 3、机器中的传动轴工作时受扭。、机器中的传动轴工作时受扭。67扭转的概念扭转的概念受力特点：受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力杆两
2、端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。杆任意两截面绕轴线发生相对转动。主要发生扭转变形的杆主要发生扭转变形的杆轴轴。 Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶8三、两个名词三、两个名词外扭矩外扭矩（Me） 使得杆产生扭转变形的使得杆产生扭转变形的外力偶矩外力偶矩扭转角扭转角（ ） 任意两个横截面的相对转角任意两个横截面的相对转角93-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图10一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算右右 图图11设某轮传递的功率设某轮传递的功率P P（kWkW），轴的
3、转速是），轴的转速是n (r/minn (r/min）12二、二、扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图扭矩扭矩(5-1)13 例例5-15-1图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A A输入功率输入功率N NA A=50 =50 马力，从马力，从动轮动轮B B、C C、D D输出功率分别为输出功率分别为 N NB B=N=NC C=15=15马力马力 ，N ND D=20=20马马力，轴的转速为力，轴的转速为n=300n=300转转/ /分。作轴的扭矩图。分。作轴的扭矩图。nn扭矩T的符号规定：14解：解：1516173-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转181 1、实验：、实验：一、一、薄壁圆筒横截面上的应
4、力薄壁圆筒横截面上的应力 薄壁圆筒轴的扭转薄壁圆筒轴的扭转, r0：为平均半径）(壁厚壁厚192 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：结论：横截面上横截面上可认为切应力沿壁厚均匀分布可认为切应力沿壁厚均匀分布, , 且方向垂直于其半径方向。且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；203 3、切应力的计算公式：、切应力的计算公式：d
5、a薄壁圆筒横截面上的切应力计算式薄壁圆筒横截面上的切应力计算式21二、关于切应力的若干重要性质二、关于切应力的若干重要性质1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律做薄壁圆筒的扭转试验可得T22 薄壁圆筒的实验薄壁圆筒的实验, , 证明剪应力与剪应变之证明剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系：当剪间存在着象拉压胡克定律类似的关系：当剪应力不超过材料剪切应力不超过材料剪切比例极限比例极限p p, , 剪应力与剪应变成正比。剪应力与剪应变成正比。该式称为该式称为剪切胡克定律剪切胡克定律。即当即当p p时时剪切弹性模量剪切弹性模量G G材料常数：拉压弹性模量材料常数：拉压弹性模量E E 泊松比泊
6、松比23从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体Me Me xyzabOcddxdydz自动满足自动满足存在存在得得2 2、切应力互等定理切应力互等定理24切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。剪切应力状态。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的两个面上，切在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小应力总是成对出现，并且大小相相等，等，方向同时指向或同时背离两方向同时指向或同时背离两个面的交
7、线。个面的交线。253-4圆轴扭转时截面上的应力圆轴扭转时截面上的应力扭转强度计算扭转强度计算26一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何关系一）、几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律应变的变化规律1 1、实验：、实验：27观察变形规律：观察变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状
8、变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小、大小 以及间距不变，半径仍为直线。以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。垂直于其半径方向。28剪应变的变化规律剪应变的变化规律：取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为为研究对象研究对象微段扭转微段扭转变形变形 d D29二）物理关系二）物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律 方向垂直于半径。方向垂直于半径。d / / dx扭转角
9、变化率扭转角变化率弹性范围内弹性范围内30三）静力关系：三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式应力的计算公式代入物理关系式代入物理关系式 得：得：圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。扭转变形计算式扭转变形计算式31横截面上横截面上 抗扭截面模量，抗扭截面模量，整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：公式的使用条件：公式的使用条件：1 1、等直的圆轴，、等直的圆轴， 2 2、弹性范围内工作。、弹性范围内工作。I Ip p截面的极惯性矩，单位：截面的极惯性矩，单位：圆轴中圆轴中max的确定的确定单位单位：32圆截
10、面的极惯性矩圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数Wp实心圆截面：实心圆截面：Odrrd33空心圆截面：空心圆截面：DdrrOd34 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面斜截面 ef (如图如图)上的应力。上的应力。二、二、斜截面上的应力斜截面上的应力35分离体上作用力的平衡方程为分离体上作用力的平衡方程为利用利用t t =t t ，经整理得，经整理得36由此可知：由此可知： (1) 单元体的四个侧面单元体的四个侧面( = 0和和 = 90)上切应上切应力的绝对值最大；力的绝对值最大； (2) =-45和和 =+45截面上切应力为零，
11、而正截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；应力的绝对值最大；37低碳钢扭转试验演示低碳钢扭转试验演示38低碳钢扭转破坏断口低碳钢扭转破坏断口 39铸铁扭转破坏试验演示铸铁扭转破坏试验演示40铸铁扭转破坏断口铸铁扭转破坏断口41圆轴扭转破坏分析圆轴扭转破坏分析低碳钢试件：沿横截面断开。低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的螺的螺旋线断开。旋线断开。 材料抗拉能力差，材料抗拉能力差，构件沿构件沿4545斜截面因拉应斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。力而破坏（脆性材料）。 材料抗剪切能力差，构材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破件沿横截面因切应力而
12、发生破坏坏(塑性材料）；塑性材料）；42 若材料抗拉能力差，构件沿若材料抗拉能力差，构件沿-45-45斜截面发生破坏（脆性材料）。斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：结论： 若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏( (塑性材料）；塑性材料）；分析：分析： 45横截面上！横截面上！431 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度: :2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外荷载）确定外荷载: :三、三、 扭转强度计算扭转强度计算等截面圆轴等截面圆轴: :变截面圆轴变截面圆轴: :44例例 已知 T
13、=1.5 kN . m，t = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。解：解：1. 确定确定实心圆轴直径实心圆轴直径452. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径3. 重量比较重量比较空心轴远比空心轴远比实心轴轻实心轴轻46例例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。解解： 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBMC ACB47BC段段AB段
14、段2 2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214T图（kNm）48直径为直径为d1 1的实心圆轴的实心圆轴(图图a) )和内、外直径分和内、外直径分别为别为d2和和D2， d2/ D2=0.8的的空心圆轴空心圆轴(图图b),),两两轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，横截面上最大切应力相等的情况下，D2与与d1之比以之比以及两轴的重量比。及两轴的重量比。例题例题491. 分别求两轴的最大切应力分别求两轴的最大切应力502. 求求
15、D2/d1和二轴重量之比。和二轴重量之比。由由t t1,max=t t2,max，并将并将 0.8代入得代入得因为两轴的长度因为两轴的长度l 和材料密度和材料密度r r 分别相同，所分别相同，所以两轴的重量比即为其横截面面积之比以两轴的重量比即为其横截面面积之比51 切应力的分布规律如图切应力的分布规律如图c、d所示，当所示，当t tmaxt t时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料分材料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。的利用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。 但应注意过薄的
16、圆筒受扭时容易发生皱折，但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，还要注意加上成本和构造上的要求等因素。还要注意加上成本和构造上的要求等因素。zmaxd1(c)t tmaxD2d2(d)523-5 扭转变形扭转变形 扭转刚度计算扭转刚度计算53. 扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭相对扭转角转角(相对角位移相对角位移) 来度量。来度量。MeADB CMe g g54 当等直圆杆相距当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩的两横截面之间，扭矩T及及材料的切变模量材料的切变模量G为常量时有为常量时有 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率由前
17、已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称亦称单单位长度扭转角位长度扭转角)为为 可知，杆的相距可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角的两横截面之间的相对扭转角 为为55. 刚度条件刚度条件式中的许可单位长度扭转角式中的许可单位长度扭转角 的常用单位是的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：为：对于精密机器的轴对于精密机器的轴 0.150.30 ()/m； 对于一般的传动轴对于一般的传动轴 2 ()/m。()()56 由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比之比 = 0.5 。已知材料的许用
18、切应力。已知材料的许用切应力t t = 40 MPa，切变模量，切变模量G= 80 GPa。轴的最大扭矩。轴的最大扭矩Tmax = 9.56 kNm，许可单位长度扭转角，许可单位长度扭转角 =0.3 ()/m。试选择轴的直径。试选择轴的直径。例题例题571. 按强度条件求所需外直径按强度条件求所需外直径D解：解：582. 按刚度条件求所需外直径按刚度条件求所需外直径D593. 空心圆截面轴所需外直径为空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚由刚度条件控制度条件控制)，内直径则根据，内直径则根据 = d/D = 0.5知知60 例例 水平面上的直角拐，水平面上的直角拐，ABAB段为圆轴，
19、直径为段为圆轴，直径为 d d，在，在端点端点C C受铅垂力受铅垂力P P作用，材料的剪切弹性模量为作用，材料的剪切弹性模量为G G，不计，不计BCBC段变形。求段变形。求C C点的铅垂位移。点的铅垂位移。解：解：ABAB杆的转角杆的转角C C点位移点位移61dxxmlmT0解：计算扭矩、绘扭矩图解：计算扭矩、绘扭矩图：T 例例 圆截面杆圆截面杆ABAB左端固定，左端固定，承受均布力偶承受均布力偶作用，其力偶矩作用，其力偶矩 集度（单集度（单位长度上的力偶矩位长度上的力偶矩）为为m=20N.m/m，已知直径已知直径d=20mm，l=2m，材料材料G=80MPa G=80MPa =300MPa=
20、300MPa。单。单位长度的许用扭角位长度的许用扭角 =2=20 0/m/m，试进行强度和，试进行强度和刚度校核，并计算刚度校核，并计算A A、B B两截两截面的相对扭角。面的相对扭角。mml622）校核强度：）校核强度：3）校核刚度：）校核刚度： 633 3）计算）计算 B-AB-A：取微段取微段dxdx研究研究dxxmlmT“+”号表示面向号表示面向B截面观察时，该截面相对于截面观察时，该截面相对于A截面截面逆时针转动。逆时针转动。643-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能一一.应变能应变能O65二二. .应变能密度（比能）应变能密度（比能）按剪切虎克定律按剪切虎克定律66
21、图示图示AB、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块，为刚性块， D截面处作用有外力偶矩截面处作用有外力偶矩 Me 。试试求：求：(1)杆系内的应变能；杆系内的应变能；(2)利用外力偶矩所利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求作功在数值上等于杆系内的应变能求D 截面的扭转截面的扭转角角 D。ABCDMel/2l(a)例题例题 671. 用截面法分别求用截面法分别求AB和和CD杆的扭矩杆的扭矩T1和和T2T2=MeD MeT1=- -MeBCD Me(b)ABCDMel/2l(a)解解:682. 杆系应变能为杆系应变能为T2=MeD MeT1=-
22、 -MeBCD Me(b)69其转向与其转向与Me 相同。相同。3. 求求D 截面的扭转角截面的扭转角 DABCDMel/2l(a)70 密圈螺旋弹簧密圈螺旋弹簧 螺旋角螺旋角d 簧丝横截面的直径簧丝横截面的直径密圈螺旋弹簧密圈螺旋弹簧 螺旋角螺旋角 5时的圆柱形弹簧时的圆柱形弹簧D 弹簧圈的平均直径弹簧圈的平均直径dDOO 71 弹簧的内力弹簧的内力 用过弹簧轴线用过弹簧轴线O- -O的截面的截面，将弹簧截开将弹簧截开可近似地认为：可近似地认为： 该截面为弹簧的横截面该截面为弹簧的横截面AFOOTFS72 试推导密圈圆柱螺旋弹簧试推导密圈圆柱螺旋弹簧受轴向压力受轴向压力F 作用时，簧杆横作用
23、时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短变形的截面上应力和弹簧缩短变形的近似计算公式。已知：簧圈平近似计算公式。已知：簧圈平均半径均半径R，簧杆直径，簧杆直径d，弹簧的，弹簧的有效圈数有效圈数n，簧杆材料的切变模，簧杆材料的切变模量量G。设。设d(2R)。例题例题 731. 用截面法求簧杆横截面上的内力用截面法求簧杆横截面上的内力 对于密圈螺旋弹簧可近对于密圈螺旋弹簧可近似认为似认为 0o，簧杆的横截面，簧杆的横截面就在外力就在外力F作用的弹簧轴线作用的弹簧轴线所在纵向平面内，由图所在纵向平面内，由图b所示所示的分离体的平衡方程得的分离体的平衡方程得剪力剪力 FS =F扭矩扭矩 T =FR(b)解：解：
24、742. 求簧杆横截面上的应力求簧杆横截面上的应力 簧杆横截面上与剪力簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于相应的切应力通常远小于与扭矩与扭矩T 相应的切应力，故在求近似解时将前者略相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。因为去。因为d(2R)，故在求簧杆横截面上扭转切应力故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响，按直杆公式计算。于是时，略去簧圈的曲率影响，按直杆公式计算。于是有有753. 求弹簧的缩短求弹簧的缩短(伸长伸长)变形变形D D 当弹簧所受外力当弹簧所受外力F不超过不超过一定限度时变形一定限度时变形D D与外力与外力F成成线性关系线性关系(如图如图c)。于是外力。于
25、是外力所作的功为所作的功为(c)76 簧杆内的应变能簧杆内的应变能Ve e为为 W= Ve ，即即如令如令 ，则有，则有 式中式中k 为弹簧的为弹簧的刚度系数刚度系数(N/m)。77 以上分析中，不计产生的切应力和应变能，并以上分析中，不计产生的切应力和应变能，并用直杆公式计算扭转切应力和应变能，由此得到用直杆公式计算扭转切应力和应变能，由此得到的的 和和 均比实际值偏小。均比实际值偏小。783-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形. 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点等直非圆形截面杆扭转时的变形特点 横截面不再保持为平面而发生翘横截面不再保持为平面而发生翘曲。平
26、面假设不再成立。曲。平面假设不再成立。圆截面杆扭转时的应力和变形公式圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均均建立在建立在平面假设平面假设 的基础上。对于非圆的基础上。对于非圆截面杆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。因此。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。均不适用。791.1.自由扭转自由扭转( (纯扭转纯扭转) )在扭转过程中在扭转过程中, ,杆的各横截面的翘曲不受任何约束杆的各横截面的翘曲不受任何
27、约束, ,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力面只有剪应力, ,而没有正应力。而没有正应力。非圆截面杆扭转的分类非圆截面杆扭转的分类80812.2.约束扭转约束扭转 扭转时扭转时, ,由于杆的端部支座的约束由于杆的端部支座的约束, ,使杆件截面使杆件截面翘曲受到一定限制翘曲受到一定限制, ,而引起任意两相邻横截面的翘而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同曲程度不同, ,将在横截面上产生将在横截面上产生附加的正应力附加的正应力。 对于对于实体截面杆实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，
28、但对于力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆薄壁截面杆来说，这来说，这种附加的正应力是不能忽略的种附加的正应力是不能忽略的。82. 矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解一般矩形截面等直杆一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆83(1) 一般矩形截面等直杆一般矩形截面等直杆 在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行, ,且且截面的四个角点上剪应力均为零。剪应力形成与周边截面的四个角点上剪应力均为零。剪应力形成与周边相切的顺流。相切的顺流。84横截面上的最大切应力在长边中点横截面上的最大切应力在长边中点处：处：Wt
29、扭转截面系数扭转截面系数，Wt=b bb3，b b 为与为与m=h/b相关的因数相关的因数(表表3-1)。横截面上短边中点处的切应力：横截面上短边中点处的切应力： t t =ntntmaxn n 为与为与m=h/b相关的因数相关的因数(表表3-1)。单位长度扭转角：单位长度扭转角： It相当极惯性矩相当极惯性矩， , 为与为与m = h/b 相关的因数相关的因数(表表3-1)。85表表3-1 矩形截面杆在自由扭转时的因数矩形截面杆在自由扭转时的因数 、b b 和和 n nm=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 b bn n0.1400.2081.0000.19
30、90.263_0.2940.3460.8580.4570.4930.7960.6220.645_0.7900.8010.7531.1231.1500.7451.7891.7890.7432.4562.4560.7433.1233.1230.74386(2) 狭长矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆873)3)、两者的比值、两者的比值：例：例： 均相同的两根轴，分别为圆截面和正方形截面。均相同的两根轴，分别为圆截面和正方形截面。 试求：两者的最大扭转切应力与扭转变形，并进行比较。试求：两者的最大扭转切应力与扭转变形，并进行比较。解：解：1)1)圆截面圆截面 circular circular2)2)
31、矩形截面矩形截面 square square结论结论：无论是扭转强度，还是扭转刚度，圆形截面比正方：无论是扭转强度，还是扭转刚度，圆形截面比正方形截面要好。形截面要好。88解：解：1. 闭口薄壁圆管闭口薄壁圆管例例 比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能，比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能， 设设 R02089902. 开口薄壁圆管开口薄壁圆管3. 抗扭性能比较抗扭性能比较 在抗扭性能方面，闭口薄壁杆远比开口薄壁杆好在抗扭性能方面，闭口薄壁杆远比开口薄壁杆好913-8 3-8 简单的扭转超静定问题简单的扭转超静定问题一. 扭转超静定问题的解法扭转超静定问题的解法 和拉压超静定问题一样，要考虑平衡方程、
32、变形和拉压超静定问题一样，要考虑平衡方程、变形相容方程和物理方程。关键在于寻找变形协调关系相容方程和物理方程。关键在于寻找变形协调关系作为补充方程。作为补充方程。二二. . 算例算例平衡方程平衡方程物理方程物理方程几何方程几何方程联立求解联立求解92 例例 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C受外力偶受外力偶矩矩M作用，试求杆两端的支座反力偶矩。作用，试求杆两端的支座反力偶矩。静力平衡方程为静力平衡方程为变形协调条件为变形协调条件为解：解：93（3 3）式代入）式代入(2)(2)式即式即物理方程物理方程（3）（4）（1 1）式和（）式和（4 4）式联立求解得：）式
33、联立求解得：（5）94 图示组合杆，内半径为图示组合杆，内半径为ra的实心铜杆与外半的实心铜杆与外半径为径为rb的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。试求实心铜杆作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和和Tb，并绘出它们，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。横截面上切应力沿半径的变化情况。例题例题951.实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和和Tb(图图b)，但只有一个独立平衡方程但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (
34、1) 故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。解：解：TbTaMe962. 位移相容条件为实心杆和空心杆的位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对截面相对于于A截面的扭转角相等。在图截面的扭转角相等。在图b中都用中都用 表示（设表示（设A端固定）。端固定）。TbTaMe973. 利用物理关系由利用物理关系由(2)式得补充方程为式得补充方程为TbTaMe984. 联立求解联立求解(1)式和式和(3)式得：式得：TbTaMe995. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为实心铜杆横截面上任意点的切应力为空心钢杆横截面上任意空心钢杆横截面上任意点的切应力为点的切应力为切应力沿半径的变化切应力沿半径的变化情
35、况如图情况如图c所示。所示。rarb(c)100 由图由图c可见，在可见，在r r = ra处，处，t tat tb，这是因为，这是因为 Ga Gb 。在。在r r = ra处，两杆的切应变是相等的，即处，两杆的切应变是相等的，即说明说明r r = ra处变形是连续的。处变形是连续的。rarb(c)101例例一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为l，钢管与，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩m，使轴，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。外管与内轴的最大剪应力。解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T102
