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1、 一元二次方程的解法一元二次方程的解法( (一一) )平方根1、如果、如果 ，那么，那么x叫做叫做a的的 ；若；若a0，x= . 2、尝试解下列方程、尝试解下列方程:(1)(2)(3) 利用平方根的定义直接开利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方平方求一元二次方程的解的方法叫法叫直接开平方法直接开平方法。 运用直接开平方法解形如运用直接开平方法解形如 （a0）的一元二次方程的解法：）的一元二次方程的解法：当当ac0时时 ，此方程此方程无实数解无实数解当当c=0时时 ， 解下列方程解下列方程:(1) (2)(3) (4)(5) 解下列方程解下列方程:(1) (2)(3) (4)(5)(
2、6)形如形如af2(x)=c书书P29方程方程 该如何求解呢该如何求解呢？(1)观察观察 (x-2)2=5与这个方程有什么关系与这个方程有什么关系？(2)你能将方程转化成你能将方程转化成(x+h)2=k(k 0)的的形式吗形式吗?完全平方式完全平方式填一填填一填它们之间有什么关系它们之间有什么关系? 对于对于x2+ +px, ,再添上再添上一次项系数一一次项系数一半的平方半的平方, ,就能配出一个含未知数的就能配出一个含未知数的一次式的完全平方式一次式的完全平方式. .体现了从特殊到一般的数学思想方法体现了从特殊到一般的数学思想方法移项移项两边加上两边加上22,使左边配使左边配成成完全平方式完
3、全平方式左边写成完全平方的形式左边写成完全平方的形式开平方开平方变成了变成了(x+h)2=k 的的形式形式体体现现了了转转化化的的数数学学思思想想 把一元二次方程的左边配成一个把一元二次方程的左边配成一个完全平方式完全平方式, ,然后用然后用直接开平方法求直接开平方法求解解, ,这种解一元二次方程的方法叫做这种解一元二次方程的方法叫做配方法配方法. .(3) (4)(5) 用配方法解下列方程用配方法解下列方程:(1) (2)归纳：归纳：二次项系数为二次项系数为1的一元二次方程的一元二次方程的基本求解步骤。的基本求解步骤。移项，配方，开方，求解，定根移项，配方，开方，求解，定根归纳：归纳：一元二
4、次方程的基本求解步骤。一元二次方程的基本求解步骤。系数化为系数化为1 1， (6)书书P34直接开平方法直接开平方法 凡形如凡形如 ax2+c=0 (a0, ac0) 或或 a(x+p)2+q=0 (a0, aq0)的一元二次方程都可用直接开平方法解的一元二次方程都可用直接开平方法解.1、将二次项系数化为、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数；：两边同时除以二次项系数；2、移项：将常数项移到等号一边；、移项：将常数项移到等号一边；3、配方：配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方；左右两边同时加上一次项系数一半的平方；4、等号左边写成（、等号左边写成（ ）2 的形式；的形式；5、开平方
5、：、开平方：化成化成一元一次方程；一元一次方程；6、解一元一次方程；、解一元一次方程；配方法的基本步骤配方法的基本步骤：7、写出方程的解、写出方程的解.小结小结1、两种解法：、两种解法：（1）直接开平方法；）直接开平方法；（2）配方法）配方法.2、转化的数学思想、转化的数学思想.二次方程二次方程一次方程一次方程 一元二次方程的解法一元二次方程的解法( (二二) )1、直接开平方法的理论根据是、直接开平方法的理论根据是平方根的定义平方根的定义 2、用直接开平方法可解形如、用直接开平方法可解形如 的一元二次方程。的一元二次方程。3、用配方法解形如、用配方法解形如ax2+bx+c=0的的一元二次一元
6、二次方程的过程，体现了什么数学思想？一般方程的过程，体现了什么数学思想？一般步骤是什么？步骤是什么？转化的思想转化的思想系数化为系数化为1 1，移项，配方，开方，求解，定根，移项，配方，开方，求解，定根1 1、解下列关于、解下列关于x x的方程：的方程：(1) (2) (3) (4)(5) 1 1、解下列关于、解下列关于x x的方程：的方程： (5) (6)(7)(8)(9)2 2、解下列关于、解下列关于x的方程：的方程：(1) (2) (3) (4) 3 3、填空：、填空：（1）（2）（3）（4）（5）1644、用配方法解下列方程，配方错误的是（、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ） A、
7、x2+2x-99=0化化为(x+1)2=100 B、t2-7t-4=0化化为C、x2+8x+9=0化化为(x+4)2=25D、3y2-4y-2=0化化为C5 5、把方程把方程x2-3x+p=0配方得到配方得到(1)求常数求常数p、m的值；的值；(2)求方程的解。求方程的解。 1、用配方法解下列关于、用配方法解下列关于x的方程的方程:(1) (1) (2)(2)(3) (3) (4)(4)(5)(5)看作整体看作整体看作整体看作整体2、填空：、填空：（1）（2）（3）（4）（5）113 3、用配方法说明：不论、用配方法说明：不论k取何实取何实数，多项式数，多项式k2 23 3k5 5的值必定的值
8、必定大于零大于零. .4 4、用配方法求、用配方法求2x2-7x+2的最小值的最小值5 5、用配方法证明、用配方法证明-10x2+7x-4的值的值恒小于恒小于0配方的过程可以用拼图直观地表示。配方的过程可以用拼图直观地表示。1xx1xX+2直观感受配方直观感受配方xX241125小结小结1、两种解法：、两种解法：（1）直接开平方法；）直接开平方法；（2）配方法）配方法.2、整体的数学思想、整体的数学思想.基础练习补充：1、用直接开平方法解下列方程：、用直接开平方法解下列方程：基础练习补充：2、用配方法解下列方程：、用配方法解下列方程： 一元二次方程的解法一元二次方程的解法( (三三) )我们已
9、经学过了几种我们已经学过了几种解一元二次方程解一元二次方程的方法的方法?(1)直接开平方法直接开平方法:(2)配方法配方法:x2=a (a0)(x+h)2=k (k0) 通过因式分解，把一元二次方程化通过因式分解，把一元二次方程化成两个成两个一次一次因式的乘积因式的乘积等于零的形式，等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，像这种解一元二一元一次方程的问题，像这种解一元二次方程的方法称为次方程的方法称为分解因式法分解因式法. . 把一个多项式分解成几个把一个多项式分解成几个整式乘积整式乘积的形式叫做的形式叫做分解因式分解因式.依据是依
10、据是“如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零, ,那么至那么至少有一个因式等于零少有一个因式等于零”。分解因式分解因式的方法有那些的方法有那些?（1）提取公因式法）提取公因式法:（2）公式法）公式法:（3）十字相乘法）十字相乘法:我思我思 我进步我进步am+bm+cm=m(a+b+c).a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 一个数的平方与一个数的平方与其本身其本身有可能相等有可能相等吗？如果相等，这个数是几？吗？如果相等，这个数是几？如何证明你的结论？如何证明你的结论？设这个数为设这个数为x，根据题意得：
11、，根据题意得： x2 -x=00 0或或1 1将方程左边配方就可求得将方程左边配方就可求得x的值。的值。将方程左边分解因式，得将方程左边分解因式，得x( (x-1)=0-1)=0还可以如何求还可以如何求x的值？的值？则有则有 x=0或或x-1=0-1=0 x1=0或或x2=1 1x29=0解：原方程可变形为解：原方程可变形为(x+3)(x3)=0X+3=0 或或 x3=0 x1=-3 ,x2=3X29= (x+3)(x3)AB=0A=0或或解法一解法一(直接开平方法直接开平方法):9x225=0解：原方程可变形为解：原方程可变形为(3x+5)(3x5)=03X+5=0 或或 3x5=09X22
12、5= (3x+5)(3x5) 例例1、解下列方程、解下列方程 解解 分解因式，得分解因式，得于是得于是得1=2 2=3例例2因式分解，得因式分解，得解：解：转化化转化 例例1、解下列方程、解下列方程 解：原方程可化为解：原方程可化为 5x2-4x=0 即即 x(5x-4)=0 可得可得 x=0或或5x-4=0 解得解得 x=0或或x=4/5原方程的根是原方程的根是x1=0， x2=4/5右边化为右边化为0，左边因式分解；左边因式分解；至少一个为零，至少一个为零，两个一次方程；两个一次方程；这样解是否正确呢？这样解是否正确呢？交流讨论：交流讨论：右化零左分解右化零左分解两因式各求解两因式各求解简
13、记歌诀简记歌诀： 例例1、解下列方程、解下列方程 例例1、解下列方程、解下列方程 用因式分解法解一元二次方程的步骤用因式分解法解一元二次方程的步骤1、方程、方程右边右边化为化为 。2 、方程左边分解成两个、方程左边分解成两个 的乘积。的乘积。3 、 至少至少 一次因式为零，得到两个一次因式为零，得到两个一元一次方程。一元一次方程。4 、 两个两个 就是原方程的解。就是原方程的解。 零零一次因式一次因式有一个有一个一元一次方程的解一元一次方程的解1、书、书P32/ 练习练习2、小张和小林一起解方程、小张和小林一起解方程: x(3x+2)-6(3x+2)=0小张将方程左边分解因式，得小张将方程左边
14、分解因式，得 (3x+2)(x6)=0 3x+2=0或或x6=0 方程的两个解为方程的两个解为 x1=2/3 ,x2=6小林的解法是这样的：小林的解法是这样的： 移项，得移项，得 （3 3+2+2）=6=6（3 3+2+2） 方程两边都除以（方程两边都除以（3 3+2+2），得），得=6.=6. 小林说：小林说：“我的方法多简单！我的方法多简单！”小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？3、解下列方程、解下列方程4、解方程、解方程:（a为常数）为常数）回味无穷回味无穷1.1.当一元二次方程的一边是当一元二次方程的一边是0,0,而另一边易于分解成两个一次因而另一边易于
15、分解成两个一次因式的乘积时式的乘积时, ,我们就可以用分解因式的方法求解我们就可以用分解因式的方法求解. .这种用分解这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式解一元二次方程的方法称为分解因式法分解因式法. .2.2.分解因式法的分解因式法的条件条件是方程左边易于分解是方程左边易于分解, ,而右边等于零而右边等于零, ,关键关键是熟练掌握因式分解的知识是熟练掌握因式分解的知识, ,理论理论依旧是依旧是“如果两个因式的积如果两个因式的积等于零等于零, ,那么至少有一个因式等于零那么至少有一个因式等于零. .”3.3.因式分解法解一元二次方程的步骤是因式分解法解一元二次方程的步骤是: : (1) (1)将方程左边因式分解，右边等于将方程左边因式分解，右边等于0;0; (2) (2)根据根据“至少有一个因式为零至少有一个因式为零”, ,得到两个一元一次方程得到两个一元一次方程. . (3) (3)两个一元一次方程的根就是原方程的根两个一元一次方程的根就是原方程的根. .4.4.因式分解的方法因式分解的方法, ,突出了转化的思想方法突出了转化的思想方法“降次降次”, ,鲜明地鲜明地显示了显示了“二次二次”转化为转化为“一次一次”的过程的过程. .小结 拓展换元是方法；换元是方法；降次为目的降次为目的. .4、已知已知x2xy2y20，且，且x0，y0，求代数式求代数式 的的值。
