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1、机械工程学院机械工程学院画法几何及工程制图画法几何及工程制图Descriptive Geometry and Engineering Drawing国家十一五规划教材配套课件国家十一五规划教材配套课件机械工程学院机械工程学院第第3章章 投影变换投影变换3.1 投影变换的方法投影变换的方法3.2 变换投影面法（换面法）变换投影面法（换面法）3.2 旋转法旋转法aabb c cX实形实形实长实长实长实长ma d am b c k kdcbXa dd l k kca bXc b ledd a abb c cXe 实角实角 当直线或平面相对于投影面平行或垂直时，其投影具有当直线或平面相对于投影面平行或
2、垂直时，其投影具有重影性，可以较容易求解空间点线面的定位问题（交点和交重影性，可以较容易求解空间点线面的定位问题（交点和交线）和度量问题（实长、实形和倾角）。线）和度量问题（实长、实形和倾角）。3.1 投影面变换的方法投影面变换的方法- -概述概述 将点线面与投影面的相对位置变换成有利于解题位置将点线面与投影面的相对位置变换成有利于解题位置（特殊位置的直线或平面），这种方法称为投影变换。（特殊位置的直线或平面），这种方法称为投影变换。7/28/20243东华大学机械工程学院1.1.变换投影面法（换面法）变换投影面法（换面法） 几何元素保持不动几何元素保持不动几何元素保持不动几何元素保持不动，改
3、变投影面的位置，改变投影面的位置，使新的投影面与几何元素处于有利解题的位置。使新的投影面与几何元素处于有利解题的位置。 投影面保持不动投影面保持不动投影面保持不动投影面保持不动，将几何元素绕某一轴旋，将几何元素绕某一轴旋转到相对于投影面处于有利解题的位置。转到相对于投影面处于有利解题的位置。2.2.旋转法旋转法3.1 投影面变换的方法投影面变换的方法7/28/20244东华大学机械工程学院VHXV1X1新投影面的选择必须符合以下两个条件：新投影面的选择必须符合以下两个条件：新投影面的选择必须符合以下两个条件：新投影面的选择必须符合以下两个条件：1 1 1 1新投影面必须和几何元素处于有利解题的
4、位置。新投影面必须和几何元素处于有利解题的位置。新投影面必须和几何元素处于有利解题的位置。新投影面必须和几何元素处于有利解题的位置。2 2 2 2新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。XHVX1V13.1 投影面变换的方法投影面变换的方法- -变换投影面法（换面法）变换投影面法（换面法）7/28/20245东华大学机械工程学院XHVVHX3.1 投影面变换的方法投影面变换的方法- -旋转法旋转法 即即即即投影面投影面投影面投影面保持不动，而将
5、几何元素绕某一轴旋转到相对保持不动，而将几何元素绕某一轴旋转到相对保持不动，而将几何元素绕某一轴旋转到相对保持不动，而将几何元素绕某一轴旋转到相对投影面处于有利于解题的位置投影面处于有利于解题的位置投影面处于有利于解题的位置投影面处于有利于解题的位置。7/28/20246东华大学机械工程学院机械工程学院机械工程学院第第3章章 投影变换投影变换3.1 投影变换的方法投影变换的方法3.2 变换投影面法（换面法）变换投影面法（换面法）3.3 旋转法旋转法VHXV1X1Aa a1 aX1aXaa1 X1V1H不变投影和新投影的连线必垂直于新投影轴。不变投影和新投影的连线必垂直于新投影轴。不变投影和新投
6、影的连线必垂直于新投影轴。不变投影和新投影的连线必垂直于新投影轴。垂直不变垂直不变垂直不变垂直不变新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到原投影轴的距离。原投影轴的距离。原投影轴的距离。原投影轴的距离。坐标值不变坐标值不变坐标值不变坐标值不变aX1Xa a aXVH3.2 变换投影面法变换投影面法- -基本规律基本规律- -点的一次变换点的一次变换 点的一次变换（变换点的一次变换（变换点的一次变换（变换点的一次变换（变换V V V V面）面）面
7、）面）Z Z Z Z坐标值不变坐标值不变坐标值不变坐标值不变7/28/20248东华大学机械工程学院 点的点的点的点的一次变换（变换一次变换（变换一次变换（变换一次变换（变换H H H H面）面）面）面）Y Y坐标值不变坐标值不变坐标值不变坐标值不变VHXBb bXbX1X1bX1b1b1bX1H1VXb b bXVH3.1变换投影面法变换投影面法- -基本规律基本规律- -点的一次变换点的一次变换H17/28/20249东华大学机械工程学院W1 点的点的点的点的一次变换（变换一次变换（变换一次变换（变换一次变换（变换WW面）面）面）面）Y Y坐标值不变坐标值不变坐标值不变坐标值不变WVZBb
8、 bZb Z1bZ1Z1bZ1VW1b Zb bZVW3.1变换投影面法变换投影面法- -基本规律基本规律- -点的一次变换点的一次变换b1 b1 7/28/202410东华大学机械工程学院V1 点的点的点的点的一次变换（变换一次变换（变换一次变换（变换一次变换（变换V V V V面）面）面）面）X X坐标值不变坐标值不变坐标值不变坐标值不变WVZBb bZb Z1bZ1Z1bZ1WV1b Zb bZVW3.1变换投影面法变换投影面法- -基本规律基本规律- -点的一次变换点的一次变换b1 b1 7/28/202411东华大学机械工程学院VHXV1Aa a1 aX1aXaH2X1X2a2aX2
9、H2VIX2a2aX2 点的点的点的点的二次变换二次变换二次变换二次变换a1 X1HV1Xa a aXaX1VH3.1变换投影面法变换投影面法- -基本规律基本规律- -点的二次变换点的二次变换7/28/202412东华大学机械工程学院1.1.将投影面倾斜将投影面倾斜线线变换成变换成投影面平行线投影面平行线 2.2.将将投影面平行线投影面平行线变换成变换成投影面垂直线投影面垂直线3.3.将将投影面投影面倾斜线变换成倾斜线变换成投影面垂直线投影面垂直线4.4.将投影面倾斜面变换成将投影面倾斜面变换成投影面垂直面投影面垂直面5.5.将将投影面垂直面投影面垂直面变换成变换成投影面平行面投影面平行面6
10、.6.将投影面倾斜面变换成将投影面倾斜面变换成投影面平行面投影面平行面3.2变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题目标：目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位置将一般位置的直线和平面转换为特殊位置将一般位置的直线和平面转换为特殊位置将一般位置的直线和平面转换为特殊位置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊位置。于求解的特殊位置。于求解的特殊位置。于求解的特殊位置。7/28/202413东华大学机械工程学院Xa a aXVHX1b
11、 bbXV1HaX1bX1a1 b1 1.1.将将投影面投影面倾斜倾斜线线变换成变换成投影面平行线投影面平行线 实长实长H面倾角面倾角变换变换V面面3.2变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -将倾斜线变换为平行线将倾斜线变换为平行线7/28/202414东华大学机械工程学院变换变换H面面Xa a VHb ba1b1H1VX1实长实长V面倾角面倾角3.2变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -将倾斜线变换为平行线将倾斜线变换为平行线7/28/202415东华大学机械工程学院Xa a VHb bX1V1Ha1b12.2.将投影面将投影面平行线平行线变换成变
12、换成投影面投影面垂直线垂直线3.2变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -平行线变换为垂直线平行线变换为垂直线7/28/202416东华大学机械工程学院3.3.将投影面将投影面倾斜线倾斜线变换成变换成投影面投影面垂直线垂直线Xa a VHX1b bV1Ha1 b1 V1H2X2a2b23.2变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -倾斜线变换为垂直线倾斜线变换为垂直线7/28/202417东华大学机械工程学院4.4.将投影面将投影面倾斜面倾斜面变换成变换成投影面投影面垂直面垂直面Xa a VHb bHV1c cd dX1a1 c1 d 1 b1 1变换变换
13、V面（求面（求1）H面倾角面倾角3.2变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -倾斜面变换为垂直面倾斜面变换为垂直面Why Why X X1 1轴这么选？轴这么选？轴这么选？轴这么选？7/28/202418东华大学机械工程学院变换变换H面（求面（求1）Xa a VHbc ce eb X1c1a1e1b11H1VV面倾角面倾角3.2变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -倾斜面变换为垂直面倾斜面变换为垂直面7/28/202419东华大学机械工程学院5.5.将投影面将投影面垂直面垂直面变换成变换成投影面投影面平行面平行面Xa a VHbc cb X1HV1a1
14、 c1 b1 实形实形3.2变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -垂直面变换为平行面垂直面变换为平行面Why Why X X1 1轴这么选？轴这么选？轴这么选？轴这么选？7/28/202420东华大学机械工程学院6.6.将投影面将投影面倾斜面倾斜面变换成变换成投影面投影面平行面平行面Xa a VHbc ce eb X1H1Vc1a1e1b1H1V2X2a2 b2 c2 e2 实形实形3.2变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -倾斜面变换为平行面倾斜面变换为平行面7/28/202421东华大学机械工程学院 例例例例1111求侧平线求侧平线求侧平线求侧平
15、线MNMN与与与与ABCABC的交点的交点的交点的交点K K。Xa a VHbc e eb X1H1Vncmn m c1e1a1b1m1n1k1k kykyk3.2 变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -例子例子7/28/202422东华大学机械工程学院c2c1b1a1X2H1V2H1X1Vk1b2 k2a2距离距离XVHa b abcc 例例例例2222求求求求C C C C点到点到点到点到ABABABAB直线的距离直线的距离直线的距离直线的距离。Why？kk3.2 变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -例子例子7/28/202423东华大学机械工
16、程学院 例例例例3333求交叉两直线求交叉两直线求交叉两直线求交叉两直线ABABABAB、CDCDCDCD间的距离间的距离间的距离间的距离。Xa a VHbc b X1HV1dcd a2 b2d1 c1 b1 a1 X2H2V1c2d2k2m2k1 m1 m k m k Why？3.2 变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -例子例子7/28/202424东华大学机械工程学院 例例例例4444求变形接头两侧面求变形接头两侧面求变形接头两侧面求变形接头两侧面ABCDABCDABCDABCD和和和和ABFEABFEABFEABFE之间的夹角之间的夹角之间的夹角之间的夹角。分析分
17、析 当当两两平面的交线垂直于投影面时，两平面平面的交线垂直于投影面时，两平面在该投影面上的投影为两相交直线，它们的夹在该投影面上的投影为两相交直线，它们的夹角即反映两平面间的夹角。角即反映两平面间的夹角。3.2 变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -例子例子7/28/202425东华大学机械工程学院VHXa e a bc b f X1VH1dcd X2V2H1fea1b1f1d1c1e1b2 a2 f 2f 23.2 变换投影面法变换投影面法- -六个基本问题六个基本问题- -例子例子7/28/202426东华大学机械工程学院机械工程学院机械工程学院第第3章章 投影变换投
18、影变换3.1 投影变换的方法投影变换的方法3.2 变换投影面法（换面法）变换投影面法（换面法）3.3 旋转法旋转法 当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在轴所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行在轴所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行在轴所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行在轴所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行的投影面上的投影为一平行于投影轴的直线。的投影面上的投影为一平行于投影轴的直线。的投影面上的投影为一平行于投影轴的直
19、线。的投影面上的投影为一平行于投影轴的直线。3.3 旋转法旋转法- -基本规律基本规律- -点的旋转变换点的旋转变换VHO1O2a1aPAA1VHXO1 O2 a1aa1 a 7/28/202428东华大学机械工程学院当直线绕垂直于投影面的轴旋转时，该旋转轴通过直线当直线绕垂直于投影面的轴旋转时，该旋转轴通过直线一端点，直线相对该投影面的倾角保持不变，同时在该一端点，直线相对该投影面的倾角保持不变，同时在该投影面上的投影长度也不变。投影面上的投影长度也不变。3.3 旋转法旋转法- -基本规律基本规律- -直线的旋转变换直线的旋转变换HbBa1aAA1VHXb a1aa1 a b 当平面绕垂直某
20、一投影面的轴旋转时，平面对该投影面的倾当平面绕垂直某一投影面的轴旋转时，平面对该投影面的倾角保持不变，平面在该投影面上的投影形状也保持不变。角保持不变，平面在该投影面上的投影形状也保持不变。7/28/202429东华大学机械工程学院1.1.将投影面倾斜将投影面倾斜线线变换成变换成投影面平行线投影面平行线 2.2.将将投影面平行线投影面平行线变换成变换成投影面垂直线投影面垂直线3.3.将将投影面投影面倾斜线变换成倾斜线变换成投影面垂直线投影面垂直线4.4.将投影面倾斜面变换成将投影面倾斜面变换成投影面垂直面投影面垂直面5.5.将将投影面垂直面投影面垂直面变换成变换成投影面平行面投影面平行面6.6
21、.将投影面倾斜面变换成将投影面倾斜面变换成投影面平行面投影面平行面3.3旋转法旋转法- -六个基本问题六个基本问题目标：目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位置将一般位置的直线和平面转换为特殊位置将一般位置的直线和平面转换为特殊位置将一般位置的直线和平面转换为特殊位置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊位置。于求解的特殊位置。于求解的特殊位置。于求解的特殊位置。7/28/202430东华大学机械工程学院Xa a VHb b1.1.将投影面倾斜
22、将投影面倾斜线线变换成变换成投影面平行线投影面平行线 3.3 旋转法旋转法- -六个基本问题六个基本问题- -将倾斜线变换为平行线将倾斜线变换为平行线a1a1 实长实长旋转轴旋转轴7/28/202431东华大学机械工程学院Xa a VHb b2.2.将投影面将投影面平行线平行线变换成变换成投影面投影面垂直线垂直线3.3旋转法旋转法- -六个基本问题六个基本问题- -平行线变换为垂直线平行线变换为垂直线a1a1 (b )旋转轴旋转轴7/28/202432东华大学机械工程学院3.3.将投影面将投影面倾斜线倾斜线变换成变换成投影面投影面垂直线垂直线Xa a VHb b3.3旋转法旋转法- -六个基本
23、问题六个基本问题- -倾斜线变换为垂直线倾斜线变换为垂直线a1 a1b1b1 (a1 )旋转轴旋转轴1旋转轴旋转轴2 两次旋转变换时，必须交替两次旋转变换时，必须交替选用垂直选用垂直H和和V面的旋转轴，如面的旋转轴，如同换面法中的两次变换时，必须同换面法中的两次变换时，必须交替变换交替变换HV面一样。面一样。7/28/202433东华大学机械工程学院4.4.将投影面将投影面倾斜面倾斜面变换成变换成投影面投影面垂直面垂直面Xa a VHb bc cd d3.3旋转法旋转法- -六个基本问题六个基本问题- -倾斜面变换为垂直面倾斜面变换为垂直面a1 b1 d1 a1 b1 旋转轴旋转轴7/28/2
24、02434东华大学机械工程学院5.5.将投影面将投影面垂直面垂直面变换成变换成投影面投影面平行面平行面Xa a VHbc cb 3.3旋转法旋转法- -六个基本问题六个基本问题- -垂直面变换为平行面垂直面变换为平行面a1 c2 c1a1旋转轴旋转轴7/28/202435东华大学机械工程学院6.6.将投影面将投影面倾斜面倾斜面变换成变换成投影面投影面平行面平行面Xa a VHbc ce eb 3.3旋转法旋转法- -六个基本问题六个基本问题- -倾斜面变换为平行面倾斜面变换为平行面e1 旋转轴旋转轴1旋转轴旋转轴2b1c1a2c2c2 a2 b1 c1 实形实形7/28/202436东华大学机
25、械工程学院VHX3.3旋转法旋转法- -六个基本问题六个基本问题- -例子例子a c b bc用换面法怎么求解？用换面法怎么求解？用换面法怎么求解？用换面法怎么求解？ 例例例例 已知等腰三角形已知等腰三角形已知等腰三角形已知等腰三角形ABCABCABCABC的两面投影，其中的两面投影，其中的两面投影，其中的两面投影，其中BCBCBCBC为底边，为底边，为底边，为底边，补全水平投影。补全水平投影。补全水平投影。补全水平投影。a1 c1 c1a1a 旋转轴旋转轴7/28/202437东华大学机械工程学院机械工程学院机械工程学院第第3章章 投影变换投影变换3.1 投影变换的方法投影变换的方法3.2 变换投影面法（换面法）变换投影面法（换面法）3.3 旋转法旋转法机械工程学院机械工程学院画法几何及工程制图画法几何及工程制图Descriptive Geometry and Engineering Drawing国家十一五规划教材配套课件国家十一五规划教材配套课件
