第1节建立数学模型

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1、第1节-建立数学模型教材与参考资料教材与参考资料1 姜启源姜启源,谢金星谢金星,叶俊叶俊. 数学模型数学模型(第三版第三版). 高等教育出高等教育出版社，版社，2005重印重印2 萧树铁萧树铁. 数学实验，高等教育出版社数学实验，高等教育出版社.3 Matlab使用手册使用手册退 出前一页后一页学习要求学习要求 按时上课，遵守课堂纪律按时上课，遵守课堂纪律.作业、考勤等是平时作业、考勤等是平时成绩的依据成绩的依据 作业按要求完成。作业按要求完成。学习目标学习目标u 掌握一些数学建模方法；掌握一些数学建模方法；u 知道数学实验作用和常用方法；知道数学实验作用和常用方法；u 初步掌握科技论文写作。

2、初步掌握科技论文写作。 平时成绩平时成绩30%退 出前一页后一页第第1章章 建立数学模型建立数学模型1.1 引言引言2004年春年春.MCM竞赛题之一：竞赛题之一： 人的指纹是否惟一？人的指纹是否惟一？1.2 数学模型概念数学模型概念 数学模型数学模型是对于现实世界的一个是对于现实世界的一个特定对象特定对象, 为了一个特定目的，为了一个特定目的，根据特有的根据特有的内在规律内在规律,做出必要的做出必要的简化假设简化假设，运用适当的，运用适当的数学数学工具工具建立的一个建立的一个数学结构数学结构.退 出前一页后一页现现实实世世界界数数学学世世界界建立数学模型建立数学模型推理推理演绎演绎求解求解翻

3、译为实际解答翻译为实际解答实际解答实际解答：如对现实对象的分析、预报、如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。决策、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界始于现实世界并终于现实世界退 出前一页后一页1.3 3 数学建模的基本方法数学建模的基本方法 * *机理分析法机理分析法 根据对现实对象特性的认识，分析其因果根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律关系，找出反映内部机理的规律. .建立的模型常有明确的物理或现实意义建立的模型常有明确的物理或现实意义 * *测试分析法测试分析法 将研究对象视为一个内部机理无法直接将研究对象视为一个内部机理无法直接寻求的寻求的“黑箱

4、黑箱”系统系统. .黑箱系统黑箱系统输出输出y(t)输入输入 x(t)求求y=y(x) 建立输出和输入间的关系建立输出和输入间的关系 测量系统的输入、输出数据，测量系统的输入、输出数据，对其运用统计分析或进行数据拟合对其运用统计分析或进行数据拟合.退 出前一页后一页 * *计算机模拟计算机模拟 借助于计算机的快速运算，对实际研究对借助于计算机的快速运算，对实际研究对象的属性或变量进行模拟。象的属性或变量进行模拟。计算机模拟可视为对研究对象进行的计算机模拟可视为对研究对象进行的“实验实验”或或“观察观察” 注：计算机模拟技术成为三大科研方法之一注：计算机模拟技术成为三大科研方法之一 1.4 数学

5、建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型检验模型检验模型分析模型分析模型求解模型求解模型应用模型应用退 出前一页后一页例例1 甲、乙两地相距甲、乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各是，问船速、水速各是多少？多少？解法一：水速解法一：水速=(750/30-750/50)/2=(25-15)/2=5km/h船速船速=(750/30+750/50)/2=(25+15)/2=20km/h解法二：设船速、水速分别为解法二：设船速、水速分别为x、y公里公里/小

6、时小时, 顺顺水航行水航行a小时，逆水航行小时，逆水航行b小时小时, 两地相距两地相距d公里公里(x+y)a=d, (x-y) b=d解得：解得：x=d(1/a-1/b)/2,y= x=d(1/a+1/b)/2代入数据得：代入数据得：x=20km/h,y=5km/h模型假设模型假设模型构成模型构成模型检验模型检验模型求解模型求解模型应用模型应用退 出前一页后一页 例例1.3 稳定的椅子稳定的椅子 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地面上面上, 问是否总能设法使它的四条腿同时着地？问是否总能设法使它的四条腿同时着地？*1 地面为连续曲面地面为连续曲面.（在（在

7、Oxyz坐标系中，地坐标系中，地 面可用一个连续二元函数面可用一个连续二元函数 z=z(x, y)表示）表示）*2 相对于地面的弯曲程度相对于地面的弯曲程度, 方桌的腿足够长方桌的腿足够长.*3 将与地面的接触看成几何上的点接触将与地面的接触看成几何上的点接触.假设假设退 出前一页后一页 建模建模 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点点旋转，转动角度记为旋转，转动角度记为.OABCDAC退 出前一页后一页引进函数变量：引进函数变量：f() A、C 两腿到地面的距离之和；两腿到地面的距离之和；g() B、D 两腿到地面的距离之和；两腿到地面的距离之和；由假设由假设

8、* *1，f()、g()都是连续函数都是连续函数， 由由* *2方桌腿足够长，至少有三条腿总能同时方桌腿足够长，至少有三条腿总能同时着地，故有着地，故有f() g() =0，0，2 不妨设不妨设 f(0)=0、g(0)0 ，方桌问题归结为方桌问题归结为数学问题数学问题： 退 出前一页后一页 已知已知 f() 和和 g() 都是连续函数都是连续函数；f(0)=0、g(0)0，且对任意且对任意，都有都有 f()g()=0， 求证：求证：存在存在0，使得使得f(0)=g(0)=0. 分析分析: 当当=/2 时时, 即即AC 和和 BD互换位置互换位置, 故有故有 f(/2)0， g(/2)=0令令

9、h()=f()g()，则有则有h(0)0，h(/2)0，退 出前一页后一页因因 h() 在在 0, /2上连续，根据闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的介值定理，存在上连续函数的介值定理，存在00,/2，使使 f(0) = g(0)因对任意因对任意有有, f()g()=0 f(0)g(0)=0 f(0)=g(0)=0h(0)=f(0)g(0)=0 退 出前一页后一页1.5 模型的特点模型的特点 模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性 模型的渐进性模型的渐进性 模型的强健性模型的强健性 模型的可转移性模型的可转移性 模型的非预制性模型的非预制性 模型的条理性模型的条理性 模型的技艺性模型的技艺性 模型的局限性模型的局限性退 出前一页后一页1.6 模型的分类模型的分类按照建立模型的数学方法分为：按照建立模型的数学方法分为：u 初等模型初等模型u 几何模型几何模型u 运筹学模型运筹学模型u 微分方程模型微分方程模型u 概率统计模型概率统计模型u 人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。