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1、2.8 2.8 函数的图象及其变换函数的图象及其变换基础知识基础知识 自主学习自主学习1.1.作图作图 (1) (1)利用描点法作图：利用描点法作图：确定函数的定义域；确定函数的定义域；化简化简 函数解析式；函数解析式；讨论函数的性质讨论函数的性质( ( 、 、 ) )；画出函数的图象画出函数的图象. . (2) (2)利用基本函数图象的变换作图：利用基本函数图象的变换作图： 平移变换：平移变换： 函数函数y y= =f f（x x+ +a a）（）（a a00）的图象可以由）的图象可以由y y= =f f（x x）的图）的图 象向左（象向左（a a00）或向右）或向右( (a a0)00）或
2、向下（）或向下（b b000，且，且A A11）的图象可由）的图象可由y y= =f f（x x）的图象上各点的纵坐标伸长（的图象上各点的纵坐标伸长（A A11）或缩短（）或缩短（00A A100，且，且11）的图象可由）的图象可由y y= =f f（x x）的图象上各点的横坐标缩短（的图象上各点的横坐标缩短（11）或伸长（）或伸长（00100时，时， 排除排除D.D.B基础自测基础自测62.2.（20092009全国全国文，文，3 3）函数函数 的图的图 象象（ ） A. A.关于原点对称关于原点对称 B. B.关于直线关于直线y y=-=-x x对称对称 C. C.关于关于y y轴对称轴对
3、称 D. D.关于直线关于直线y y= =x x对称对称 解析解析 -2 -2x x2,11，可知，可知A A、B B图象图象不正确；不正确；D D中由中由y y= =x x+ +a a知知00a a1,00的部分关于的部分关于y y轴的对称部分，即得轴的对称部分，即得 的图象的图象. .其图象依次其图象依次如下：如下：13 （1 1）若函数解析式中含绝对值，可先）若函数解析式中含绝对值，可先通过讨论去绝对值，再分段作图通过讨论去绝对值，再分段作图. .（2 2）利用图象变换作图）利用图象变换作图. .探究提高探究提高14知能迁移知能迁移1 1 作出下列各个函数的图象：作出下列各个函数的图象：
4、 解解 （1 1）由函数）由函数y y=2=2x x的图象关于的图象关于x x轴对称可得到轴对称可得到 y y=-2=-2x x的图象，再将图象向上平移的图象，再将图象向上平移2 2个单位，可得个单位，可得 y y=2-2=2-2x x的图象的图象. .如图甲如图甲. . （2 2）由）由 的图象关于的图象关于y y轴对称，可得轴对称，可得 的图象，再将图象向右平移的图象，再将图象向右平移1 1个个 单位，即得到单位，即得到 然后把然后把x x轴下方的部轴下方的部15分翻折到分翻折到x x轴上方，可得到轴上方，可得到的图象的图象. .如如图乙图乙. .（3 3）先作出先作出 的图象，如图丙中的
5、虚线部分，然的图象，如图丙中的虚线部分，然后将图象向左平移后将图象向左平移1 1个单位，向上平移个单位，向上平移2 2个单位，即个单位，即得到所求图象得到所求图象. .如图丙所示的实线部分如图丙所示的实线部分. .16题型二题型二 识图识图【例例2 2】函数】函数y y= =f f( (x x) )与函数与函数y y= =g g( (x x) )的图象如图的图象如图则函数则函数y y= =f f( (x x)g g( (x x) )的图象可能是（的图象可能是（ ）17 注意从注意从f f( (x x),),g g( (x x) )的奇偶性、单调性等的奇偶性、单调性等方面寻找方面寻找f f( (
6、x x)g g( (x x) )的图象特征的图象特征. .解析解析 从从f f( (x x) )、g g( (x x) )的图象可知它们分别为偶函数、的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故奇函数，故f f( (x x)g g( (x x) )是奇函数，排除是奇函数，排除B.B.又又x x00时，时，g g( (x x) )为增函数且为正值，为增函数且为正值，f f( (x x) )也是增函也是增函数，故数，故f f( (x x)g g( (x x) )为增函数，且正负取决于为增函数，且正负取决于f f( (x x) )的正的正负，注意到负，注意到 必等于必等于0 0，排除排除C C、D.D.或
7、注意到或注意到x x00- -( (从小于从小于0 0趋向于趋向于0),0),f f( (x x)g g( (x x)+,)+,也可排除也可排除C C、D.D.答案答案 A A 要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、零点、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合零点、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合题目特点作出合理取舍题目特点作出合理取舍. .思维启迪思维启迪探究提高探究提高18知能迁移知能迁移2 2 （20092009安徽，理安徽，理6 6文文8 8）设设a a b b时，时，y y0,0,x x 1,1,函数函数f f( (x x)=)=a ax x+
8、1+1-2.-2. (1) (1)求求f f( (x x) )的反函数的反函数f f-1-1( (x x);); (2) (2)若若f f-1-1( (x x) )在在0,10,1上的最大值与最小值互为上的最大值与最小值互为 相反数相反数, ,求求a a的值的值; ; (3) (3)若若f f-1-1( (x x) )的图象不经过第二象限的图象不经过第二象限, ,求求a a的取值的取值 范围范围. . 关键是关键是(3)(3)的充要条件的充要条件, ,f f-1-1( (x x) )的图象与的图象与 x x轴的交点位于轴的交点位于x x轴的非负半轴上轴的非负半轴上. .思维启迪思维启迪20解题
9、示范解题示范解解 (1)(1)因为因为a ax x+1+10,0,所以所以f f( (x x) )的值域是的值域是 y y| |y y-2.-2. 2 2分分设设y y= =a ax x+1+1-2,-2,解得解得x x=log=loga a( (y y+2)-1.+2)-1.所以所以f f( (x x) )的反函数为的反函数为f f-1-1( (x x)=log)=loga a( (x x+2)-1,+2)-1,x x-2.-2. 4 4分分(2)(2)当当a a11时时, ,函数函数f f-1-1( (x x)=log)=loga a( (x x+2)-1+2)-1是是(-2,+)(-2,
10、+)上上的增函数的增函数, ,所以所以f f-1-1(0)+(0)+f f-1-1(1)=0,(1)=0,即即(log(loga a2-1)+(log2-1)+(loga a3-1)=0,3-1)=0,解得解得a a= .= . 8 8分分(3)(3)当当a a11时时, ,函数函数f f-1-1( (x x) )是是(-2,+)(-2,+)上的增函数上的增函数, ,且经过定点且经过定点(-1,-1).(-1,-1).21所以所以f f-1-1( (x x) )的图象不经过第二象限的充要条件是的图象不经过第二象限的充要条件是f f-1-1( (x x) )的图象与的图象与x x轴的交点位于轴的
11、交点位于x x轴的非负半轴上轴的非负半轴上. . 1111分分令令logloga a( (x x+2)-1=0,+2)-1=0,解得解得x x= =a a-2,-2,由由a a-20,-20,解得解得a a2.2.1313分分 求反函数时必须先求原函数的值域求反函数时必须先求原函数的值域, ,(3)(3)的充要条件学生不易想到的充要条件学生不易想到. .探究提高探究提高22知能迁移知能迁移3 3 设函数设函数 的图象为的图象为C C1 1, ,C C1 1 关于点关于点A A(2,1)(2,1)对称的图象为对称的图象为C C2 2, ,C C2 2对应的函数为对应的函数为 g g( (x x)
12、.). （1 1）求）求g g( (x x) )的解析式；的解析式； （2 2）若直线）若直线y y= =m m与与C C2 2只有一个交点，求只有一个交点，求m m的值和的值和 交点坐标交点坐标. . 解解 (1)(1)设点设点P P（x x, ,y y）是）是C C2 2上的任意一点，则上的任意一点，则 P P（x x, ,y y）关于点）关于点A A（2,12,1）对称的点为）对称的点为P P(4-(4-x x, , 2- 2-y y) )，代入，代入 可得可得23消去消去y y得得x x2 2-(-(m m+6)+6)x x+4+4m m+9=0,+9=0,=(=(m m+6)+6)2
13、 2-4(4-4(4m m+9),+9),直线直线y y= =m m与与C C2 2只有一个交点，只有一个交点，=0=0，解得，解得m m=0=0或或m m=4.=4.当当m m=0=0时，经检验合理，交点为（时，经检验合理，交点为（3 3，0 0）；）；当当m m=4=4时，经检验合理，交点为（时，经检验合理，交点为（5 5，4 4）. .24思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧1.1.列表描点法是作函数图象的辅助手段列表描点法是作函数图象的辅助手段, ,要作函数要作函数 图象首先要明确函数图象的位置和形状图象首先要明确函数图象的位置和形状:(1):(1)可可 通过研究函数
14、的性质如定义域、值域、奇偶性、通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、 周期性、单调性、凸凹性等等；（周期性、单调性、凸凹性等等；（2 2）可通过函）可通过函 数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换 等；（等；（3 3）可通过方程的同解变形，如作函数）可通过方程的同解变形，如作函数 的图象的图象. .252.2.合理处理识图题与用图题合理处理识图题与用图题. . （1 1）识图）识图 对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下 分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数
15、的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性， 注意图象与函数解析式中参数的关系注意图象与函数解析式中参数的关系. . （2 2）用图）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数 量关系问题提供了量关系问题提供了“形形”的直观性，它是探求的直观性，它是探求 解题途径，获得问题结果的重要工具解题途径，获得问题结果的重要工具. .要重视数要重视数 形结合解题的思想方法形结合解题的思想方法. .常用函数图象研究含参常用函数图象研究含参 数的方程或不等式解集的情况数的方程或不等式解集的情况. .26失误与防范失误与防范1.1
16、.作图要准确、要抓住关键点作图要准确、要抓住关键点. .2.2.当图形不能准确地说明问题时，可借助当图形不能准确地说明问题时，可借助“数数” 的精确，注重数形结合的数学思想方法的运用的精确，注重数形结合的数学思想方法的运用. .27定时检测定时检测一、选择题一、选择题1.1.（20082008全国全国理，理，2 2）汽车经过启动、加速行汽车经过启动、加速行 驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一 过程中汽车的行驶路程过程中汽车的行驶路程s s看作时间看作时间t t的函数，其的函数，其 图象可能是图象可能是（ ）28解析解析 汽车加速行驶时汽车加速行驶时
17、, ,速度变化越来越快速度变化越来越快, ,而汽而汽车匀速行驶时车匀速行驶时, ,速度保持不变速度保持不变, ,体现在体现在s s与与t t的函数图的函数图象上是一条直线象上是一条直线. .减速行驶时减速行驶时, ,速度变化越来越慢速度变化越来越慢, ,但路程仍是增加的但路程仍是增加的, ,故选故选A.A.答案答案 A A292.2.(2009(2009北京理，北京理，3)3)为了得到函数为了得到函数 的的 图象，只需把函数图象，只需把函数y y=lg =lg x x的图象上所有的点的图象上所有的点( )( ) A. A.向左平移向左平移3 3个单位长度，再向上平移个单位长度，再向上平移1 1
18、个单位长度个单位长度 B. B.向右平移向右平移3 3个单位长度，再向上平移个单位长度，再向上平移1 1个单位长度个单位长度 C. C.向左平移向左平移3 3个单位长度，再向下平移个单位长度，再向下平移1 1个单位长度个单位长度 D. D.向右平移向右平移3 3个单位长度，再向下平移个单位长度，再向下平移1 1个单位长度个单位长度 解析解析 将将y y=lg =lg x x的图象的图象 上的点向左平移上的点向左平移3 3个单位长度得到个单位长度得到y y=lg(=lg(x x+3)+3)图象，再图象，再 将将y y=lg(=lg(x x+3)+3)的图象上的点向下平移的图象上的点向下平移1 1
19、个单位长度得到个单位长度得到 y y=lg(=lg(x x+3)-1+3)-1的图象的图象. .C303.3.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入 一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液 体，经体，经3 3分钟漏完分钟漏完. .已知圆柱中液面上已知圆柱中液面上 升的速度是一个常量，升的速度是一个常量，H H是圆锥形漏斗中液面下落是圆锥形漏斗中液面下落 的距离，则的距离，则H H与下落时间与下落时间t t( (分分) )的函数关系表示的的函数关系表示的 图象只可能是图象只可能是( )( )31解析解析 由题意知液体是匀速漏入圆柱形桶中，随由题
20、意知液体是匀速漏入圆柱形桶中，随时间增大，时间增大，H H的增速越来越快，故选的增速越来越快，故选B.B.答案答案 B324.4.在函数在函数y y=|=|x x|(|(x x-1,1-1,1) )的图的图 象上有一点象上有一点P P（t t,|,|t t| |），此函数与），此函数与 x x轴、直线轴、直线x x=-1=-1及及x x= =t t围成图形（如围成图形（如 图阴影部分）的面积为图阴影部分）的面积为S S，则，则S S与与t t的函数关系图可的函数关系图可 表示为表示为（ ）33解析解析 当当t t-1,0-1,0时，时，S S增速越来越平缓，当增速越来越平缓，当t t0,10,
21、1时，增速越来越快，故选时，增速越来越快，故选B.B.答案答案 B B345.5.函数函数y y=2=2| |x x| |的定义域为的定义域为a a, ,b b, ,值域为值域为1,161,16， 当当a a变动时，函数变动时，函数b b= =g g( (a a) )的图象可以是的图象可以是 （ ） 35 解析解析 由图象知由图象知b b=4,=4,-4-4a a00，故，故b b= =g g( (a a),),即为即为b b=4(-4=4(-4a a0)0)，图象为，图象为B.B.答案答案 B B366.6.函数函数y y= =f f( (x x) )的图象如下图所示，则函数的图象如下图所示
22、，则函数 的图象大致是的图象大致是( )( )37解析解析 的图象在的图象在(0,1(0,1上上递增，在递增，在1,2)1,2)上递减（同增异减）上递减（同增异减）. .故选故选C.C.答案答案 C C38二、填空题二、填空题7.7.f f( (x x)=|4)=|4x x- -x x2 2|-|-a a与与x x轴恰有三个交点，则轴恰有三个交点，则a a= = . . 解析解析 y y1 1=|4=|4x x- -x x2 2|,|,y y2 2= =a a，则两函数图象恰有三个，则两函数图象恰有三个 不同的交点不同的交点. . 如图所示，当如图所示，当a a=4=4时满足条件时满足条件.
23、.4 4398.8.已知已知f f( (x x) )是以是以2 2为周期的偶函数，当为周期的偶函数，当x x0,10,1时，时， f f( (x x)=)=x x, ,且在且在-1,3-1,3内，关于内，关于x x的方程的方程f f( (x x)=)=kxkx+ +k k+1+1 ( (k kR R, ,k k-1)-1)有四个根，则有四个根，则k k的取值范围是的取值范围是 . . 解析解析 由题意作出由题意作出f f( (x x) )在在-1,3-1,3上的示意图如下：上的示意图如下： 记记y y= =k k( (x x+1)+1,+1)+1, y y= =k k( (x x+1)+1+1
24、)+1的图象过定点的图象过定点A A(-1,1).(-1,1).记记B B(2,0)(2,0)，由，由 图象知，方程有四个根，即函数图象知，方程有四个根，即函数y y= =f f( (x x) )与与y y= =kxkx+ +k k+1+1 有四个交点，故有四个交点，故k kABAB k k0.0.409.9.使使loglog2 2(-(-x x)x x+1+1成立的成立的x x的取值范围是的取值范围是 . . 解析解析 作出函数作出函数y y=log=log2 2(-(-x x) )及及y y= =x x+1+1的图象的图象. . 其中其中y y=log=log2 2(-(-x x) )与与
25、y y=log=log2 2x x的图象关于的图象关于y y轴对称，轴对称， 观察图象知（如图所示），观察图象知（如图所示）， -1 -1x x00，即，即x x(-1,0).(-1,0). 也可把原不等式化为也可把原不等式化为（-1-1，0 0）41三、解答题三、解答题10.10.已知已知g g( (x x)=)=x x(2-(2-x x)(0)(0x x1)1)，g g(1)=0(1)=0，若函数，若函数 y y= =f f( (x x)()(x xR R) )是以是以2 2为周期的奇函数，且在为周期的奇函数，且在0 0，1 1 上上f f( (x x)=)=g g( (x x) )，作出
26、函数，作出函数y y= =f f( (x x)(-2)(-2x x2)2)的图象并的图象并 求其表达式求其表达式. . 解解 x x0,1)0,1)时，时，f f( (x x)=)=g g( (x x)=)=x x(2-(2-x x);); f f( (x x) )为奇函数，当为奇函数，当x x=1=1时，时， f f(1)=(1)=g g(1)=0,(1)=0,f f(-1)=0=(-1)=0=f f(1),(1), 若若x x(-1,0(-1,0，则，则- -x x0,1),0,1), g g(-(-x x)=-)=-x x(2+(2+x x),), 又又f f(-(-x x)=)=g g
27、(-(-x x) )且且f f( (x x) )为奇函数为奇函数, , f f(-(-x x)=-)=-f f( (x x)=-)=-x x(2+(2+x x),), f f( (x x)=)=x x(2+(2+x x););42将将x x(-1,0(-1,0上的图象右移上的图象右移2 2个单位得到个单位得到(1,2(1,2上的图象，上的图象，f f( (x x)=)=f f( (x x-2)=-2)=x x( (x x-2),-2),将将x x0,1)0,1)上的图象左移上的图象左移2 2个单位得到个单位得到x x-2,-1)-2,-1)上的图象，上的图象，f f( (x x)=)=f f(
28、 (x x+2)=-+2)=-x x( (x x+2),+2),4311.11.设函数设函数f f( (x x)=)=x x2 2-2|-2|x x|-1(-3|-1(-3x x3).3). （1 1）证明：）证明：f f( (x x) )是偶函数；是偶函数； （2 2）画出函数的图象；）画出函数的图象； （3 3）指出函数）指出函数f f( (x x) )的单调区间，并说明在各个单的单调区间，并说明在各个单 调区间上调区间上f f( (x x) )是增函数还是减函数；是增函数还是减函数； （4 4）求函数的值域）求函数的值域. . （1 1）证明证明 f f(-(-x x)=(-)=(-x
29、x) )2 2-2|-2|-x x|-1 |-1 = =x x2 2-2|-2|x x|-1=|-1=f f( (x x),), 即即f f(-(-x x)=)=f f( (x x),),f f( (x x) )是偶函数是偶函数. .44（2 2）解解 当当x x00时，时，f f( (x x)=)=x x2 2-2-2x x-1=(-1=(x x-1)-1)2 2-2,-2,当当x x00时，时，f f( (x x)=)=x x2 2+2+2x x-1=(-1=(x x+1)+1)2 2-2,-2,根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示. .
30、45（3 3）解解 函数函数f f( (x x) )的单调区间为的单调区间为-3-3，-1-1），），-1-1，0 0），），0 0，1 1），），1 1，3 3. .f f（x x）在区）在区间间-3-3，-1-1），），0 0，1 1）上为减函数，）上为减函数，在在-1-1，0 0），），1 1，3 3上为增函数上为增函数. .（4 4）解解 当当x x00时，函数时，函数f f( (x x)=()=(x x-1)-1)2 2-2-2的最小值的最小值为为-2,-2,最大值为最大值为f f(3)=2;(3)=2;当当x x00时，函数时，函数f f( (x x)=()=(x x+1)+1)2
31、 2-2-2的最小值为的最小值为-2,-2,最大值为最大值为f f(-3)=2;(-3)=2;故函数故函数f f( (x x) )的值域为的值域为-2-2，2 2. .4612.12.已知函数已知函数 的反函数的图象如图所示，求的反函数的图象如图所示，求 a a、b b的值并写出的值并写出f f-1-1( (x x) )的解析式的解析式. . 解解 由图象知由图象知f f-1-1( (x x) )的图象过点（的图象过点（0 0，6 6）. . 所以所以f f( (x x) )的图象必过点（的图象必过点（6 6，0 0），），47解得解得a a=6=6或或a a=0=0（舍去）（舍去）. .所以所以又由图象知又由图象知f f-1-1( (x x) )的值域为的值域为 y y| |y y-2.-2.即函数即函数f f( (x x) )的定义域为的定义域为 x x| |x x-2,-2,48
