《医科数学C课件：4第四讲 一元函数微分学（五年制4-1）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《医科数学C课件：4第四讲 一元函数微分学（五年制4-1）（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、吉林大学数学教学与研究中心第第78讲讲共计：共计：50讲讲 主讲教师：王颖主讲教师：王颖上上 讲讲 提提 要要1. 函数连续的等价形式函数连续的等价形式3. 函数间断点函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点2 函数间断点函数间断点4.4.闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质上上 讲讲 提提 要要 Th2 (介值定理）介值定理）若若 在在 上连续上连续, 则对介于则对介于 和和 之间任何数之间任何数C,至少存在一至少存在一 ,使使 第二章第二章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢(变化速度)微分微分描述函数变化程度
2、(函数增量)都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)一元函数微分学导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度一、实例一、实例 设设一一质点质点M沿直线做变速直线运动沿直线做变速直线运动,其运动规律其运动规律(函数函数)为为求求时刻时刻 的瞬时速度的瞬时速度.第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学1 导数的概念导数的概念取极限得取极限得平均速度平均速度瞬时速度瞬时速度2. 细胞的增殖速度细胞的增殖速度 设增殖细胞在某一时刻设增殖细胞在某一时刻 t 的总数为的总数为 N，显然，显然N 是是 时间时间
3、t 的函数的函数求求细胞在时刻细胞在时刻 的瞬时增长率的瞬时增长率.从从 变化到变化到 这段时间内这段时间内,细胞的细胞的平均增长率平均增长率为为取极限得取极限得瞬时增长率瞬时增长率 =平均增长率平均增长率 =二、二、 函数的平均变化率、瞬时变化率函数的平均变化率、瞬时变化率瞬时变化率瞬时变化率设函数设函数在在某邻域内有定义，在该邻域内某邻域内有定义，在该邻域内自变量值从自变量值从变化到变化到 x , 则则 平均变化率平均变化率定义定义2-1三、导数的定义三、导数的定义即即由由导数定义导数定义变速直线运动的质点在时刻变速直线运动的质点在时刻 的瞬时速度为的瞬时速度为细胞在时刻细胞在时刻 的瞬时
4、增殖速度为的瞬时增殖速度为注意注意 若极限不存在若极限不存在, 就称函数就称函数 在点在点 处不可导处不可导;若若不可导不可导,且极限为无穷大且极限为无穷大,为方便起见为方便起见,记为记为 .称函数称函数 在点在点 处的导数为无穷大处的导数为无穷大.说明说明: 可写成可写成单侧导数单侧导数左导数左导数右导数右导数注意注意 函数在一点可导函数在一点可导充分必要条件充分必要条件（1）导函数导函数很明显很明显在开区间在开区间内可导内可导, ,且且及及（2）都存在都存在, ,就说就说在闭区间在闭区间上可导上可导. .如果如果解解已知函数已知函数 , 求求例例1 例例2已知函数已知函数 求导函数求导函数
5、 及及解解 例例3 据据19851985年人口调查年人口调查, ,我国有我国有10.1510.15亿人口亿人口, ,人口人口 平均年增长率为平均年增长率为1.4891.489, ,根据马尔萨斯根据马尔萨斯( (MalthusMalthus) )人口人口 理论理论, ,我国人口增长模型为我国人口增长模型为其中，其中， 代表年数代表年数 , ,并定义并定义19851985年为这个年为这个模型的起始年模型的起始年 . .按照此模型可以预测我国在按照此模型可以预测我国在20052005年年人口将有人口将有13.671013.6710亿亿. .求我国人口增长率函数求我国人口增长率函数? ?怎样控制怎样控
6、制人口增长速度？人口增长速度？解解所以人口增长率函数为所以人口增长率函数为 让人口年增长率让人口年增长率0.01489变小变小,人口的增长速度就人口的增长速度就变小，故可控制人口的增长变小，故可控制人口的增长.四、导数的几何意义、物理意义四、导数的几何意义、物理意义切线：切线：割线的极限位置割线的极限位置 割线割线MN绕点绕点M旋转旋转而趋向极限而趋向极限位置位置MT,直直线线MT就称就称为曲线在点为曲线在点M处的处的切线切线.MTNNNN当当所以所以P法线方程为法线方程为导数的几何意义为导数的几何意义为:切线方程为切线方程为物理意义物理意义 变速直线运动的路程函数 ， 为变速直线运动在 时刻
7、的速度，即 变速直线运动的速度函数 ， 为变速直线运动在 时刻的加速度，即例例4法线方程为法线方程为 根据导数的几何意义根据导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为 解解 由例由例1有有, ， 可导的函数一定是连续的可导的函数一定是连续的证明证明五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系由由极限与无穷小的关系极限与无穷小的关系即即其中其中例例解解反之不成立反之不成立. 即连续不一定可导即连续不一定可导所以例例解法解法1 1 说明：说明：本例应直接先考察可导性，因可导，由结论本例应直接先考察可导性，因可导，由结论所以连续。不必再用定义考察连续性。所以连续。不必再用定义考察连续性。解法二解法二一、
8、按定义求导数一、按定义求导数常数的导数常数的导数2幂函数的导数幂函数的导数所以所以2 初等函数的导数初等函数的导数3 3 正弦函数和余弦函数的导数正弦函数和余弦函数的导数即即即即同理同理可证可证4对数函数的导数对数函数的导数即即特别地，特别地，时时二、函数四则运算的求导法则二、函数四则运算的求导法则推论推论例例1 已知函数已知函数 ,求求例例2 已知函数已知函数 ,求求解解解解解解例例3 已知函数已知函数 ,求求同理可得同理可得即即解解同理可得同理可得即即例例4 已知函数已知函数 ,求求例例5 已知函数已知函数 , 求求解解备用题备用题 解解: 因为1. 设存在, 且求所以在 处连续, 且存在
9、， 证明:在处可导.证证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2. 设故3. 设其中在因故正确解法正确解法:时, 下列做法是否正确?在求处连续,3. 几何意义几何意义 切线的斜率切线的斜率 4. 可导与连续的关系可导与连续的关系 函数可导一定连续函数可导一定连续,但连续但连续 不一定可导不一定可导总总 结结（1）.部分导数公式部分导数公式(2). 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 推论推论设设)(),(xvvxuu= = =可导，则可导，则（1） vuvu = = )(, （2）uccu = = )(（3）vuvuuv + + = = )(, （4）)0()(2 - - = = vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )法则法则作业作业:P56-57 111; 12 (1)(4)
