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1、观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：9，99，999，9999，解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为：1.观察法观察法当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。2.2.公式法公式法例例2 2： 已知数列已知数列anan是公差为是公差为d d的等差数列，数列的等差数列，数列bnbn 是公比为是公比为q q的的(qR(qR且且q1)q1)的等比数列，若函数的等比数列，若函数f
2、 f (x) = (x(x) = (x1)1)2 2，且，且a a1 1 = f (d= f (d1)1)，a a3 3 = f (d+1) = f (d+1)，b b1 1 = f (q+1)= f (q+1)，b b3 3 = f (q = f (q1)1)，(1)(1)求数列求数列 a n a n 和和 b n b n 的通项公式；的通项公式；解：解：(1)a (1)a 1 1=f (d=f (d1) = (d1) = (d2)2)2 2，a a 3 3 = f (d+1)= d = f (d+1)= d 2 2，a a3 3a a1 1=d =d 2 2(d(d2)2)2 2=2d=2
3、d，d=2d=2，a an n=a=a1 1+(n+(n1)d = 2(n1)d = 2(n1)1)；又又b b1 1= f (q+1)= q = f (q+1)= q 2 2，b b3 3 =f (q=f (q1)=(q1)=(q2)2)2 2，=q2=q2，由，由qRqR，且，且q1q1，得，得q=q=2 2，b bn n=b=bqnqn1=41=4( (2)n2)n1 13.S 3.S n n法法（1 1）若）若f(nf(n) )为常数为常数, ,即：即：a an+1n+1-a-an n=d,=d,此时数列为等差数列，则此时数列为等差数列，则a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n
4、-1)d（2 2）若）若f(nf(n) )为为n n的函数时，用累加法的函数时，用累加法. .方法如下：方法如下： 由由 a an+1n+1=a=an n+f(n+f(n) )得：当得：当n1n1时，有时，有 a an n=a=an-1n-1+ f(n-1)+ f(n-1) a an-1 n-1 =a=an-2n-2+ f(n-2) + f(n-2) a a3 3= a= a2 2 + f(2) + f(2) a a2 2 = a= a1 1 + f (1)+ f (1)所以各式相加得所以各式相加得a an n-a-a1 1 =f(n-1)+ f(n-2)+ =f(n-1)+ f(n-2)+
5、f(2)+ + f(2)+ f(1)f(1). 一般地，对于型如一般地，对于型如an+1=an+f(n)的通项公式，的通项公式，只要只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。能进行求和，则宜采用此方法求解。4. 4. 叠加法叠加法也可用横式来写：也可用横式来写：( (也称累加法）也称累加法） 例 已知数列an中,a1=1,an=an-1+n,求数列an的通项公式。解：an =an-1 + n an-1=an-2 +（n-1） a3= a2 + 3 a2= a1 + 2各式相加得，an=a1+n+(n-1)+3+2 =1+ n+(n-1)+3+2 = n(n+1)/2当n=1时，a1=(12)
6、/2=1,故，an= n(n+1)/2例 已知数列an中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列an的通项公式。解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+22+21) -(n-1) +(n-2)+2+1 =1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 1当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1已知已知, ,a a1 1=a=a， an+1=an+
7、f(n),其中其中f(nf(n) )可以是关于可以是关于n n的一次函数、的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项二次函数、指数函数、分式函数，求通项. .若若f(nf(n) )是关于是关于n n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ;若若f(nf(n) )是关于是关于n n的二次函数，累加后可分组求和的二次函数，累加后可分组求和; ;若若f(nf(n) )是关于是关于n n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ;若若f(nf(n) )是关于是关于n n的分式函数，累加后可裂项求的分式函数，累加后可裂项
8、求和。和。备 注：（1 1）当）当f(nf(n) )为常数为常数, ,即：即： （其中（其中q q是不为是不为0 0的数）的数）, ,此时此时, ,数列为等比数列，数列为等比数列，a an n=a=a1 1q qn-1n-1. .（2 2）当）当f(nf(n) )为为n n的函数时的函数时, ,用累乘法用累乘法. . 由由 得得n1 n1 时，时， ，5.5.叠乘法叠乘法对于型如：对于型如：a an+1n+1=f(n)=f(n)a an n 类的通项公式，当类的通项公式，当f(1)f(1)f(2)f(2)f(nf(n) )的值可以求得时，宜采用的值可以求得时，宜采用此方法。此方法。( (也称累
9、乘法、累积法）也称累乘法、累积法） 本题是关于本题是关于a an n和和a an+1n+1的二次齐次式，可以通过的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到因式分解（一般情况时用求根公式）得到a an n与与a an+1n+1的更为明显的关系式，从而求出的更为明显的关系式，从而求出. .（1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列anan为等差数列为等差数列; ;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列anan为等比数列为等比数列; ;（3 3）若）若cc1 1且且dd0 0时，数列时，数列anan为线性递推数列，为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求其通项可通过构造辅
10、助数列来求. .方法方法1 1：待定系数法：待定系数法 设设a an+1n+1+m=c( a+m=c( an n+m+m),),得得a an+1n+1=c a=c an n+(c-1)m, +(c-1)m, 与题设与题设a an+1n+1=c a=c an n+d+d, ,比较系数得比较系数得: (c-1)m=d,: (c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1) m=d/(c-1) 因此数列因此数列 构成以构成以 为首项，以为首项，以c c为为公比的等比数列，公比的等比数列，6.6.辅助数列法辅助数列法这种方法类似于换元法这种方法类似于换元法, , 主要用于形如主要用于形如a an+1
11、n+1=c a=c an n+d+d(c(c0,a0,a1 1=a)=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。（构造法或待定系数法）（构造法或待定系数法）.方法四：归纳、猜想、证明方法四：归纳、猜想、证明. .1.1. 先计算出先计算出a a1 1,a,a2 2,a,a3 3; ;2.2. 再猜想出通项再猜想出通项an;an;3.3. 最后用数学归纳法证明最后用数学归纳法证明. .方法三：迭代法方法三：迭代法 由由 递推式递推式直接迭代得直接迭代得例已知数列例已知数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求数求数列的通项公
12、式列的通项公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3+3是以是以a a1 1+3+3为首项，以为首项，以2 2为公比的等为公比的等比数列，所以比数列，所以:a:an n+3=+3=（ a a1 1+3+3） 2 2n-1n-1故故a an n=6=62 2n-1n-1-3-3解法解法2 2：因为因为a an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1时，时，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，两式相减，得：，两式相减，得：a an+1 n+1 - a- an n
13、=2(a=2(an n-a-an-1n-1).).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6为首项，以为首项，以2 2为公比的等比数列为公比的等比数列. . a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1) )2 2n-1n-1=6=62 2n-1n-1, ,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+ (a)+ (an-1n-1-a-an-2n-2)+ )+ +(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3= 3(2-1)+3= 3(2n-1n-1-1)-1)例例. .已知已知求数列求数
14、列 a an n 的通项公式的通项公式. .例例. . 已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1,=1, a an+1n+1+3a+3an+1n+1a an n-a-an n=0, =0, 求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.7.7.逐差法逐差法 形如形如a an+1n+1+a+an n=f(n=f(n) )的数列的数列. .（1 1）若）若a an+1n+1+a+an n=d =d （d d为常数），则数列为常数），则数列 a an n 为为“等和数列等和数列”，它是一个周期数列，周期为，它是一个周期数列，周期为2 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论其通项分奇数项和偶数项来讨论; ;（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数（非常数）时，可通过构的函数（非常数）时，可通过构造转化为造转化为a an+1n+1-a-an n=f(n=f(n) ) 型，通过累加来求出通项型，通过累加来求出通项; ;或用逐差法或用逐差法( (两式相减两式相减) )转化为转化为a an+1n+1-a-an-1n-1=f(n)-=f(n)-f(n-1),f(n-1),分奇偶项来分求通项分奇偶项来分求通项. .n例例. . 数列数列aan n 满足满足a1=0, aa1=0, an+1n+1+a+an n=2n, =2n, 求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.
