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1、常系数高阶 线性微分方程 一. 常系数线性齐次微分方程二. 常系数线性非齐次微分方程 第六章 常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第六章 二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当时, 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 ),所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.2. 当时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为3. 当时, 特
2、征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为小结小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程: 例例1.的通解.解解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例例2. 求解初值问题解解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例例3.的通解. 解解: 特征方程特征根:因此原方程通解为例例4.解解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解例例5.
3、 解解: 特征方程:即其根为方程通解 :例例6.解解: 特征方程:特征根为则方程通解 :内容小结内容小结特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .思考与练习思考与练习 求方程的通解 .答案答案:通解为通解为通解为思考题思考题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为即故所求方程为其通解为常系数非齐次线性微分方程 一、一、二、二、 第六章 二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特
4、殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法一、一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解例例1.的一个特解.解解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得
5、于是所求特解为例例2. 的通解. 解解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为例例3. 求解定解问题解解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步第一步 将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点第一步第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 第二步第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式两边取共轭
6、:为方程 的特解 .设则 有特解:第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :原方程 均为 m 次多项式 .第四步第四步 分析因均为 m 次实多项式 .本质上为实函数 ,小小 结结对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例4. 的一个特解 .解解: 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解例例5. 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
7、例例6.解解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1 . (填空) 设2. 求微分方程的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为3. 已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为振动问题振动问题当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例1. 质量为m的物
8、体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:例例2.解解: 由例1 知, 位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的
9、位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为自由振动方程自由振动方程 , 方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )解的特征解的特征:简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: 固有频率 (仅由系统特性确定)方程:特征方程:特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征例例3.求物体的运动规律. 解解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当当p k 时时, 齐次通解: 非齐次特解形式:因此原方程之解为例1 中若设物体只受弹性恢复力 f和铅直干扰力代入可得: 当干扰力的
10、角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动 当当 p = k 时时, 非齐次特解形式:代入可得: 方程的解为 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅这时产生共振共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理. 求电容器两两极板间电压 例例4. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .提示提示: 设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t) , 自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串极板在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得化为关于的方程:故有 docin/sanshengshiyuandoc88/sanshenglu 更多精品资源请访问更多精品资源请访问
