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1、常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质前言前言n无穷级数的中心内容是收敛性理论无穷级数的中心内容是收敛性理论. .无穷无穷级数的关键运算是极限级数的关键运算是极限. .n本章内容由二部分组成：常数项级数、本章内容由二部分组成：常数项级数、泰勒级数（一类重要的幂级数），后者泰勒级数（一类重要的幂级数），后者是函数项级数是函数项级数. .则称则称 收敛，收敛，s 称为级数的和，称为级数的和，记作记作 如果数列如果数列 极限不存在，则称级数极限不存在，则称级数 发散发散. . 如果级数如果级数 的部分和数列的部分和数列 的极限存的极限存在，即在，即 ，定义定义3当级数收敛时，其部分和当级数收敛
2、时，其部分和 是级数和是级数和的近似值，它们之间的差值的近似值，它们之间的差值即即 常常数数项项级级数数收收敛敛(发发散散) 存存在在(不不存在存在)叫做级数叫做级数 的余项，的余项，证明：证明： 显然显然 因此级数是因此级数是发散发散的的. .例例1 1 证明级数证明级数是发散的是发散的. .级数的部分和为级数的部分和为证明：证明：例例2 2 证明调和级数证明调和级数是发散的是发散的. .假设级数收敛，其和为假设级数收敛，其和为s，则有，则有 这与这与 矛盾，故假设不成矛盾，故假设不成立，因此级数是立，因此级数是发散发散的的. .而而例例3 判定级数的敛散性判定级数的敛散性. .解解级数的一
3、般项级数的一般项级数的部分和为级数的部分和为于是于是 , ,所以级数收敛所以级数收敛, ,其和为其和为1 1练习练习22pp184.4. 用定义判定下列级数用定义判定下列级数的敛散性的敛散性. . 当当 时，时， 解解 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 综上综上 当当 时，时， 练习练习33pp184.5. 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性. .7.1.2 常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质性质性质7.1.1 设设c为非零常数为非零常数, ,则级数则级数 与级数与级数 同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散, ,且同时收敛时且同时收敛时, ,有有 证明：设级数证明：设级数 与
4、级数与级数 的部分和分别的部分和分别为为 与与 , ,则有则有 于是于是, 由数列极限的由数列极限的性质性质, ,当当 时，时， 与与 同时收敛或同时发散，同时收敛或同时发散， 即级数即级数 与级数与级数 同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散, ,且同时收敛时且同时收敛时, ,有有 即有即有 又如，又如， 收敛收敛, ,那么那么 ( (k为常数为常数) )也也收敛收敛, ,且收敛于且收敛于 . . 例如，例如， 发散，那么发散，那么 ( )( )也也发散发散. . 练习练习44pp184.5. 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性. .性性质质7.1.2 若若级级数数 与与级级数数 都都收
5、收敛敛, ,则则级级数数 收敛收敛, ,且有且有证明：设级数证明：设级数 , , 与与 的部分和的部分和分别为分别为 , , 与与 , ,则有则有 结论：结论：两个收敛的级数可以逐项相加或相减两个收敛的级数可以逐项相加或相减. .由于由于 时，时， 与与 极限存在，极限存在， 知知 极限也存在极限也存在, ,且有且有 即有即有由性质由性质7.1.1和性质和性质7.1.2，对于收敛级数对于收敛级数 与与 , ,以及任意常数以及任意常数a, ,b, ,级数级数 也收敛，且有也收敛，且有 练习练习55pp184.5. 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性. .性质性质7.1.3 设设k为任意正整
6、数为任意正整数, ,则级数则级数 与与 同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散. . 证明：对于任意给定的正整数证明：对于任意给定的正整数k, ,记记 , , 设级数设级数 的前的前n项部分和与项部分和与 的的前前n-k项项部分和分别为部分和分别为 , , ,于是有于是有 因此因此, ,级数级数 与与 有相同的敛散性有相同的敛散性. . 性性质质7.1.3表表明明，级级数数 去去掉掉、添添加加或或改改变变有有限限项项，均均不不改改变变级级数数的的敛敛散散性性，但但有有限限项的变动，收敛级数的和数将有所改变项的变动，收敛级数的和数将有所改变. . 性性质质7.1.4 收收敛敛级级数数加加括括号号后
7、后所所成成的的级级数数仍仍然为收敛级数然为收敛级数, ,且收敛于原级数的和且收敛于原级数的和. .例如例如, ,将相邻两项加括号将相邻两项加括号, ,得级数得级数其部分和数列实际上是原级数部分和数列其部分和数列实际上是原级数部分和数列的子列的子列于是于是, ,当级数当级数 收敛时收敛时, ,必有部分和数列必有部分和数列收敛收敛, ,其子列其子列 也必然收敛也必然收敛, ,且有相同的极限且有相同的极限. .注意注意1 1 对于收敛级数对于收敛级数, ,可以对它的项任意加可以对它的项任意加括号括号, ,但要注意不能改变相关项的次序但要注意不能改变相关项的次序. .注意注意2 2 加括号后的级数收敛
8、加括号后的级数收敛, ,不能推得原级不能推得原级数收敛数收敛 （即性质的逆命题不一定成立）（即性质的逆命题不一定成立）. .收敛，且和为零，收敛，且和为零，但原级数发散的但原级数发散的. .将级数将级数 的相邻两项合并得级数的相邻两项合并得级数 性性质质7.1.4的的推推论论 如如果果加加括括号号后后所所成成的的级级数发散数发散, ,则原来级数也发散则原来级数也发散.(.(利用反证法利用反证法) )性质性质7.1.5 ( (级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件) ) 如果级数如果级数 收敛收敛, ,则其一般项趋于零，即则其一般项趋于零，即从而有从而有证明证明: :由于级数由于级数 收敛收敛,
9、,则存在极限则存在极限 , ,且有且有例例5 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性. . 由由此此例例可可见见, ,性性质质7.1.5是是判判定定级级数数发发散散的的一一个个重重要要依依据据, ,它它比比利利用用级级数数发发散散定定义义来来判判定定要方便得多要方便得多. .解解 因为因为所以由性质所以由性质7.1.5知知, ,该级数是发散的该级数是发散的. .注意注意: :1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ;2.一般项趋于零只是级数收敛的必要条件而一般项趋于零只是级数收敛的必要条件而非充分条件非充分条件. .有有但级数是发但级数是发散的散的.例如例如, ,调和级数调和级数 例如例如, ,当当 时时, , 不趋于零不趋于零, ,因此这个级数发散因此这个级数发散. . 练习练习66pp184.5. 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性. . 作 业 习题7 P184 3.4.5 7/28/202432结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！33
