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1、3.1.13.1.1两角差的余弦公式两角差的余弦公式临沂一中临沂一中 李玲李玲POXY1、已知已知OP为角为角 的终边,求单位圆上的终边,求单位圆上向量向量 的坐标的坐标.复习回顾复习回顾其中其中00,2、两个向量的数量积复习回顾复习回顾.如如图图所所示示,一一个个斜斜坡坡倾倾斜斜角角为为4545,已已知知作作用用在在物物体体上上的的力力F F与与水水平平方方向向的的夹夹角角为为6060,且且大大小小为为10N10N,在在力力F F的作用下,物体沿斜坡运动了的作用下,物体沿斜坡运动了3m3m,求,求F F做的功做的功. .4560F思考思考1 1:设设,为两个任意角为两个任意角, , 你能判断
2、你能判断 恒成立吗恒成立吗?sin60sin120cos60cos120cos( (12060) )sin30sin60cos30cos60cos( (6030) )思考思考2 2:我们设想我们设想 的值与的值与 , 的三的三角函数值有一定关系,观察下表中的数据,角函数值有一定关系,观察下表中的数据,你有什么发现?你有什么发现?思考思考3 3:一般地,你猜想一般地,你猜想cos(cos()等于什等于什么?么?x xy yP PP P1 1M MB BO OA AC C+1 11 1设设,为锐角,且为锐角,且思考思考4 4:上述推理能说明对任意角上述推理能说明对任意角, ,都有都有 成立吗?成立
3、吗?思考思考5 5:根据根据 的结构的结构 特征,你能联想到一个相关计算原理吗?特征,你能联想到一个相关计算原理吗?,为锐角,且为锐角,且思考思考6 6:如图,设角如图,设角,的终边与单位圆的的终边与单位圆的交点分别为交点分别为A A、B B,则则A A、B B点的坐标是什么?点的坐标是什么?B BO OA Ax xy y思考思考7 7:向量与的夹角向量与的夹角与与、有什么关系有什么关系?B BO OA Ax xy y.如如图图所所示示, ,一一个个斜斜坡坡倾倾斜斜角角为为4545,已已知知作作用用在在物物体体上上的的力力F F与与水水平平方方向向的的夹夹角角为为6060,且且大大小小为为10
4、N10N,在在力力F F的作用下,物体沿斜坡运动了的作用下,物体沿斜坡运动了3m3m,求,求F F做的功做的功. .问问 题题 解 决4560F分析分析:思考:思考: sin75 sin15 =sin(90-15)=cos15=sin(90-75) =cos75=cos(120-45)变式训练变式训练1、把、把非特殊角非特殊角转化为转化为特殊角特殊角的和差,的和差,正用公式求解正用公式求解.利用公式求值的一般思路利用公式求值的一般思路:2、在转换过程中,充分利用、在转换过程中,充分利用诱导公诱导公式式,构造两角差的余弦公式的右边,构造两角差的余弦公式的右边,然后然后逆用公式逆用公式求值求值.
5、例例2.已知已知 是第三象限角,求是第三象限角,求 的值的值. .结合角的范围,结合角的范围,注意注意符号,符号,求出某种三角函数值求出某种三角函数值.分析:分析:要计算要计算 ,应作哪些准备?,应作哪些准备?巩固提高巩固提高解:让已知服务未知,让已知服务未知,配凑角!配凑角!1.1.在在差差角角的的余余弦弦公公式式的的形形成成过过程程中中,数数形形结结合合,化化归归转转换换、归归纳纳、猜猜想想、构构造造、换换元元、向向量量等等,我我们们要要深深刻理解和领会刻理解和领会. .2.2.已已知知一一个个角角的的正正弦弦(或或余余弦弦)值值,求求该该角角的的余余弦弦(或或正正弦弦)值值时时, , 要要注注意意该该角角所所在在的的象象限限,从从而而确确定定该角的三角函数值该角的三角函数值符号符号. .3.3.在在差差角角的的余余弦弦公公式式中中, 既既可可以以是是单单角角,也也可可以以是复角,运用时要注意角的变换,如是复角,运用时要注意角的变换,如 , 等等. . 同同时时,公公式式的的应应用用具具有有灵灵活活性性,解解题题时要注意时要注意正向正向、逆向逆向和和变式形式变式形式的选择的选择. .