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1、数学归纳法数学归纳法（2 2）一、复习：一、复习：什么是数学归纳法？什么是数学归纳法？对于某些与正整数对于某些与正整数n n有关的命题常常采用下面的有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：方法来证明它的正确性：1.1.先证明当先证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0时命题成立；时命题成立；2.2.然后假设当然后假设当n=k(kn=k(k N*N*，knkn0 0) )时命题成时命题成立，证明当立，证明当n=k+1n=k+1时命题也成立。时命题也成立。这种证明方法就叫做。数学归纳法数学归纳法注意注意 1 1. .用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个步要分两个步骤
2、骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推) )是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件，而命题成立作为必用的条件，而n nk+1k+1时情时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明理等加以证明C C练习练习比较比较 2 2n n 与与 n n2 2 (n(nN N* *) )的大小的大小点评：点评：归纳猜想证明归纳猜想证明解：解：当当n=1n=1时，时，2 2n n=2,n=2,n2 2=1, =
3、1, 2 2n nnn2 2 当当n=2n=2时，时，2 2n n=4,n=4,n2 2=4, =4, 2 2n n=n=n2 2 当当n=3n=3时，时，2 2n n=8,n=8,n2 2=9, =9, 2 2n nnnn2 2 当当n=6n=6时，时，2 2n n=64,n=64,n2 2=36, =36, 2 2n nnn2 2猜想猜想当当nn5 5时，时，2 2n nnn2 2( (证明略证明略) )例例1 1已知数列已知数列 计算计算 , ,根据计算的结果根据计算的结果, ,猜想猜想 的表达式的表达式, ,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明. .练习例例2 2是否存在常数是
4、否存在常数a a、b,b,使得等式使得等式: : 对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立, ,并证明你的结论并证明你的结论. .点评点评: :对这种类型的题目对这种类型的题目, ,一般先利用一般先利用n n的的特殊值特殊值, ,探求出待定系数探求出待定系数, ,然后用数学归纳然后用数学归纳法证明它对一切正整数法证明它对一切正整数n n都成立都成立. .解解: :令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理得以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明: :2.2.是否存在常数是否存在常数a a、b b、c c使得等式使得等式对于一切正整数对于一切正整数n n都成立，并证明你的结论。都成立，并证明你的结论。(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论正确时结论正确, ,即即: :则当则当n=k+1n=k+1时时, ,故当故当n=k+1n=k+1时时, ,结论也正确结论也正确. .根据根据(1)(1)、(2)(2)知知, ,对一切正整数对一切正整数n,n,结论正确结论正确. .(1)(1)当当n=1n=1时时, ,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确. .
