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1、常系数高阶齐次线性微分方程常系数高阶齐次线性微分方程一、定义一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征
2、方程为特征方程为特征根特征根对应的特解对应的特解注注 1、n次代数方程恰有次代数方程恰有n个根。个根。2、属于不同特征属于不同特征根的解线性无关。根的解线性无关。注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为例例3 3四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情
3、况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.思考题解答思考题解答令令则则特征根特征根通解通解练练 习习 题题练习题答案练习题答案微分方程的应用题微分方程的应用题 例例1.1. 某种某种飞机在机机在机场降落降落时，为了减少滑行距离了减少滑行距离，在触地的瞬，在触地的瞬间，飞机尾部机尾部张开减速开减速伞，以增大阻，以增大阻力，使力，使飞机迅速减速并停下机迅速减速并停下. 现有一有一质量量为9000kg的的飞机，着机，着陆时的水平速度的水平速度为700km/h. 经测试，减速，减速伞打开后，打开后，飞机所受的机所受的总阻力
4、与阻力与飞机的速度成正比（比例系数机的速度成正比（比例系数为问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？注注:kg表示千克，表示千克，km/h表示千米表示千米/小时小时.【分析】【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。列出关系式后再解微分方程即可。【解【解1】 由由题设，飞机的机的质量量m=9000kg，着，着陆时的水平速度的水平速度从从飞机接触跑道开始机接触跑道开始记时，设t时刻刻飞机的滑行机的滑行距离距离为x(t)，速度，速度为v(t).根据牛根据牛顿第二定律，得第二定律，得又又由以上两式得由
5、以上两式得 积分得分得 由于由于故得故得从而从而 当当时 所以，所以，飞机滑行的最机滑行的最长距离距离为1.05km.例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程所求曲线为所求曲线为答答:例例4 4 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图得微分方程得微分方程由夹由夹角正角正切公切公式得式得分离变量分离变量积分得积分得平方化简得平方化简得抛物线抛物线结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！31
