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1、第二编 函数与导数2.12.1 函数及其表示函数及其表示基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理要点梳理 1.1.函数的基本概念函数的基本概念 （1 1）函数定义）函数定义 设设A A，B B是非空的是非空的 ，如果按照某种确定的对应，如果按照某种确定的对应 法则法则f f, ,使对于集合使对于集合A A中的中的 _数数x x, ,在集合在集合B B中中数集数集任意一个任意一个都有都有 的数的数f f( (x x) )和它对应，那么就称和它对应，那么就称f f: :A AB B为为 从集合从集合A A到集合到集合B B的一个函数，记作的一个函数，记作_._.(2)(2)函数的定义域、值域函数
2、的定义域、值域在函数在函数y y= =f f( (x x),),x xA A中，中，x x叫做自变量叫做自变量, ,x x的取值范围的取值范围A A 叫做函数的叫做函数的 ；与；与x x的值相对应的的值相对应的y y值叫做函数值叫做函数值值, ,函数值的集合函数值的集合 f f( (x x)|)|x xA A 叫做函数的叫做函数的 . .显然显然, ,值域是集合值域是集合B B的子集的子集. .(3)(3)函数的三要素：函数的三要素： 、 和和 . .(4)(4)相等函数：如果两个函数的相等函数：如果两个函数的 和和 完完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的全一致，则这两个函数相等，
3、这是判断两函数相等的依据依据. . 惟一确定惟一确定定义域定义域值域值域定义域定义域值域值域对应法则对应法则定义域定义域对应法则对应法则y y= =f f( (x x),),x xA A2.2.函数的表示法函数的表示法表示函数的常用方法有表示函数的常用方法有: : 、 、 _ _. . 3.3.映射的概念映射的概念设设A A、B B是两个非空集合是两个非空集合, ,如果按照某种对应法则如果按照某种对应法则f f, , 使对于集合使对于集合A A中的每一个元素中的每一个元素, ,在集合在集合B B中中_ 的元素与之对应的元素与之对应, ,那么这样的单位对应叫做集合那么这样的单位对应叫做集合A A
4、 到集合到集合B B的的_，记作，记作f f: :A AB B. .4.4.由映射的定义可以看出由映射的定义可以看出, ,映射是映射是 概念的推广，概念的推广， 函数是一种特殊的映射函数是一种特殊的映射, ,要注意构成函数的两个集要注意构成函数的两个集 合合A A，B B必须是必须是 . . 解析法解析法图象法图象法列表法列表法都有惟一都有惟一函数函数非空数集非空数集映射映射基础自测基础自测 1.1.设设MM=x x|0|0x x22 ，N N=y y|0|0y y22,给出下列给出下列4 4个个 图形图形, ,其中能表示集合其中能表示集合MM到集合到集合N N的函数关系的有的函数关系的有 _
5、个个. .解析解析 由函数的概念知由函数的概念知正确，正确，不正确不正确. . 1 12.2.下列函数与函数下列函数与函数f f( (x x)=|)=|x x| |相等的是相等的是_. _. ; ; ;y y= =e elnln x x;y y= =loglog2 22 2x x. . 解析解析 中中y y= =x x( (x x00) )，中中y y= =x x( (x x0)0)，中中y y= =x x, , 只有只有中中y y=|=|x x|. |. 3.3.如图所示，如图所示，三个图象各表示两个变量三个图象各表示两个变量x x, ,y y的的 对应关系对应关系, ,则能表示则能表示y
6、y是是x x的函数的图象是的函数的图象是_(_(填填 序号序号).). 解析解析 根据映射及函数的定义根据映射及函数的定义, ,在在3 3个图象中个图象中,不不 能表示映射，也不能表示函数；能表示映射，也不能表示函数；是映射，也是是映射，也是 函数函数. . 4.4.已知已知 = =x x2 2+5+5x x, ,则则f f( (x x)=_.)=_. 解析解析 x x0,0,令令 = =t t, ,即即x x= (= (t t0),0),【例例1 1】(2010(2010苏州模拟苏州模拟) )下列函数是否为同一函数下列函数是否为同一函数. . (1) (1) (2) (2) ( (3)3)f
7、 f( (x x)=)=x x2 2-2-2x x- -1,1,g g( (t t)=)=t t2 2-2-2t t-1;-1; ( (4)4)f f( (n n)=2)=2n n- -1,1,g g( (n n)=)=2 2n n+1,(+1,(n nZ Z).). 解解 ( (1)1)f f( (x x) )的定义域是的定义域是 x x| |x x00, g g( (x x) )的定义域是的定义域是 x x| |x x00或或x x-1,-1, f f( (x x) )与与g g( (x x) )的定义域不同的定义域不同, , 因此因此f f( (x x) )与与g g( (x x) )不
8、是同一函数不是同一函数. . 典型例题典型例题 深度剖析深度剖析( (2)2)f f( (x x)= )= 的定义域为的定义域为 x x| |x xR R, ,且且x x2, 2, g g( (x x) )的定义域为的定义域为R R, ,f f( (x x) )与与g g( (x x) )的定义域不同的定义域不同, ,因此因此f f( (x x) )与与g g( (x x) )不是同一函数不是同一函数. .( (3)3)f f( (x x) )、g g( (t t) )虽然自变量用不同的字母表示虽然自变量用不同的字母表示, ,但定义但定义域、对应法则都相同域、对应法则都相同, ,所以所以f f
9、( (x x) )、g g( (t t) )表示同一函数表示同一函数. .( (4)4)f f( (n n) )、g g( (n n) )的对应法则不同的对应法则不同, ,所以不是同一函数所以不是同一函数. . 跟踪练习跟踪练习1 1 下列各组函数中下列各组函数中, ,表示同一函数的是表示同一函数的是. . f f( (x x)=)=x x, ,g g( (x x)=lg 10)=lg 10x x; ; 解析解析 中中, ,g g( (x x)=)=x x,f f( (x x)=)=g g( (x x).). 中中, ,f f( (x x)=|)=|x x|,|,g g( (x x)=)=x
10、x ( (x x0),0), 两函数定义域不同两函数定义域不同, ,因此因此f f( (x x),),g g( (x x) )不是同一函数不是同一函数. . 中中, ,f f( (x x)=)=x x+1 (+1 (x x1),1),g g( (x x)=)=x x+1,+1,定义域不同定义域不同. .中中, , ( (x x+10+10且且x x-10).-10).f f( (x x) )的定义域为的定义域为 x x| |x x1,1,g g( (x x) )的定义域为的定义域为 x x| |x x11或或x x-1,-1,两函数定义域不同两函数定义域不同, ,因此因此f f( (x x)
11、)与与g g( (x x) )不是同一函数不是同一函数. .答案答案 【例例2 2】(1)(1)求函数求函数 的定义域的定义域; ; (2) (2)已知函数已知函数f f(2(2x x) )的定义域是的定义域是-1,1-1,1, ,求求f f(log(log2 2x x) ) 的定义域的定义域. . (1)(1)有解析式的定义域，只需要使解析式有有解析式的定义域，只需要使解析式有 意义意义, ,列不等式组求解列不等式组求解. . (2) (2)抽象函数中抽象函数中f f(2(2x x) )与与f f(log(log2 2x x) )中的中的2 2x x与与loglog2 2x x的含的含 义相
12、同义相同, ,即即2 2x x的值域即为的值域即为loglog2 2x x的值域的值域. . 分析分析解解 (1)(1)要使函数有意义要使函数有意义, ,则只需要则只需要解得解得-3-3x x00或或22x x3.0,0,t t11(3)(3)设设f f( (x x)=)=axax+ +b b( (a a0),0),则则3 3f f( (x x+1)-2+1)-2f f( (x x-1)=3-1)=3axax+3+3a a+3+3b b-2-2a ax+2x+2a a-2-2b b = =axax+ +b b+5+5a a=2=2x x+17,+17,a a=2,=2,b b=7,=7,故故f
13、 f( (x x)=2)=2x x+7.+7.(4) (4) 把把中的中的x x换成换成 得得 2-2-得得高考中主要考查函数的解析式、函数的图象及分段高考中主要考查函数的解析式、函数的图象及分段函数等知识函数等知识, ,常以填空题为主，属于中低档题目常以填空题为主，属于中低档题目, ,在在解答题中偶尔有对函数建模能力的考查解答题中偶尔有对函数建模能力的考查. .1.1.函数的定义中最重要的是定义域和对应法则函数的定义中最重要的是定义域和对应法则, ,值域值域 是由定义域和对应法则确定的是由定义域和对应法则确定的. .在求在求f ff f( (x x) )类型类型 的值时的值时, ,应遵循先内
14、后外的原则应遵循先内后外的原则. . 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考动态展望高考动态展望方法规律总结方法规律总结2.2.判断两个函数是否为相同的函数判断两个函数是否为相同的函数, ,抓住两点：抓住两点：定定 义域是否相同义域是否相同;对应法则即解析式是否相同对应法则即解析式是否相同.(.(注注 意意: :解析式可以化简解析式可以化简.).)3.3.建立简单实际问题的函数式建立简单实际问题的函数式, ,首先要选定变量首先要选定变量, ,而后而后 寻找等量关系寻找等量关系, ,求得函数解析式求得函数解析式, ,但要注意定义域但要注意定义域. .4.4.判断对应是否为映射判断对应是否为映射,
15、 ,即看即看A A中元素是否满足中元素是否满足“每每 元有象元有象”和和“且象惟一且象惟一”; ;但要注意但要注意:A A中不同元中不同元 素可有相同的象素可有相同的象, ,即允许多对一即允许多对一, ,但不允许一对多但不允许一对多, , B B中元素可无原象中元素可无原象, ,即即B B中元素可有剩余中元素可有剩余. . 一、填空题一、填空题1.1.(2009(2009江西改编江西改编) )函数函数y y= = 的定义域为的定义域为 _. _. 解析解析 由题意得由题意得 因此因此-4-4x x11且且x x0. 0. -4,0)(0,1-4,0)(0,1定时检测定时检测2.2.(2009(
16、2009福建改编福建改编) )下列函数中下列函数中, ,与函数与函数y y= = 有相有相 同定义域的是同定义域的是_._. f f( (x x)=ln )=ln x xf f( (x x)= )= f f( (x x)=|)=|x x|f f( (x x)=e)=ex x 解析解析 y y= = 定义域为定义域为(0,+),(0,+), f f( (x x)=ln )=ln x x定义域为定义域为(0,+),(0,+), f f( (x x)= )= 定义域为定义域为 x x| |x x00， f f( (x x)=|)=|x x| |定义域为定义域为R R， f f( (x x)=e)=e
17、x x定义域为定义域为R R. . 3.3.(2009(2009广州模拟广州模拟) )已知函数已知函数f f( (x x)= )= 若若f f( (a a)= ,)= ,则则a a=_.=_. 解析解析4.4.(2008(2008陕西理陕西理,11),11)定义在定义在R R上的函数上的函数f f（x x）满足）满足 f f( (x x+ +y y)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y)+2)+2xyxy( (x x, ,y yR R),),f f(1)=2,(1)=2,则则f f(-3)=_(-3)=_. . 解析解析 f f(1)=(1)=f f(0+1)=(0+1)=f f
18、(0)+(0)+f f(1)+2(1)+20 01 1 = =f f(0)+(0)+f f(1),(1),f f(0)=0.(0)=0. f f(0)=(0)=f f(-1+1)=(-1+1)=f f(-1)+(-1)+f f(1)+2(1)+2(-1)(-1)1 1 = =f f(-1)+(-1)+f f(1)-2,(1)-2,f f(-1)=0.(-1)=0. f f(-1)=(-1)=f f(-2+1)=(-2+1)=f f(-2)+(-2)+f f(1)+2(1)+2(-2)(-2)1 1 = =f f(-2)+(-2)+f f(1)-4,(1)-4,f f(-2)=2.(-2)=2.
19、 f f(-2)=(-2)=f f(-3+1)=(-3+1)=f f(-3)+(-3)+f f(1)+2(1)+2(-3)(-3)1 1 = =f f(-3)+(-3)+f f(1)-6,(1)-6,f f(-3)=6. (-3)=6. 6 65.5.(2009(2009金华模拟金华模拟) )已知已知 则则f f( (x x) )的解的解 析式为析式为_._. 解析解析 因此因此f f( (x x) )的解析式为的解析式为6.6.(2009(2009江苏海安高级中学江苏海安高级中学) )定义在定义在R R上的函数上的函数f f( (x x) ) 满足满足f f( (x x+1)=-+1)=-f
20、 f( (x x),),且且f f( (x x)= ,)= ,则则f f(3)=(3)= _. _. 解析解析 f f(3)=(3)=f f(2+1)=-(2+1)=-f f(2)=-(2)=-f f(1+1)=(1+1)=f f(1)=-1. (1)=-1. -1-17.7.（20102010泉州第一次月考）泉州第一次月考）已知函数已知函数 ( (x x)=)=f f( (x x)+ )+ g g( (x x),),其中其中f f( (x x) )是是x x的正比例函数的正比例函数, ,g g( (x x) )是是x x的反比例的反比例 函数函数, ,且且 则则 =_. =_. 解析解析 设
21、设f f( (x x)=)=mxmx ( (m m是非零常数是非零常数),), g g( (x x)= ()= (n n是非零常数是非零常数),),8.8.(2010(2010宿迁模拟宿迁模拟) )如右图所示如右图所示, , 在直角坐标系的第一象限内，在直角坐标系的第一象限内， AOBAOB是边长为是边长为2 2的等边三角形的等边三角形, , 设直线设直线x x= =t t (0 (0t t2)2)截这个三角截这个三角 形可得位于此直线左方的图形的面积为形可得位于此直线左方的图形的面积为f f( (t t),),则函则函 数数y y= =f f( (t t) )的图象的图象( (如下图所示如下
22、图所示) )大致是大致是_(_(填序号填序号).).解析解析 首先求出该函数的解析式首先求出该函数的解析式. .当当00t t11时时, ,如下图甲所示如下图甲所示, ,有有f f( (t t)=)=S SMONMON= = 当当11t t22时时, ,如下图乙所示如下图乙所示, , 答案答案 9.9.(2009(2009浙江温州十校联考浙江温州十校联考) )在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , 横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点, ,如果函数如果函数 f f( (x x) )的图象恰好通过的图象恰好通过n n( (n nN N* *) )个整点个整点,
23、 ,则称函数则称函数f f( (x x) ) 为为n n阶整点函数阶整点函数. .有下列函数有下列函数: : f f( (x x)=sin 2)=sin 2x x;g g( (x x)=)=x x3 3;h h( (x x)= )= ( (x x)=)=ln ln x x, ,其中是一阶整点函数的是其中是一阶整点函数的是_._. 解析解析 对于函数对于函数f f( (x x)=sin 2)=sin 2x x，它只通过一个整点，它只通过一个整点 (0,0), (0,0),故它是一阶整点函数故它是一阶整点函数; ;对于函数对于函数g g( (x x)=)=x x3 3, ,当当 x xZ Z时时,
24、 ,一定有一定有g g( (x x)=)=x x3 3Z Z, ,即函数即函数g g( (x x)=)=x x3 3通过无通过无 数个数个整点，它不是一阶整点函数整点，它不是一阶整点函数；对于函数；对于函数h h( (x x)=)= 当当x x=0,-1,-2,=0,-1,-2,时时, ,h h( (x x) )都是整数都是整数, ,故函数故函数h h( (x x) ) 通过无数个整点通过无数个整点, ,它不是一阶整点函数；对于函数它不是一阶整点函数；对于函数 ( (x x)=)=ln ln x x, ,它只通过一个整点它只通过一个整点(1,0)(1,0)，故它是一阶，故它是一阶 整点函数整点
25、函数. . 答案答案 二、解答题二、解答题10.10.(2009(2009泰州二模泰州二模) )(1)(1)已知已知f f( (x x) )的定义域是的定义域是0,4, 0,4, 求求f f( (x x2 2) )的定义域的定义域; ; f f( (x x+1)+1)+f f( (x x-1)-1)的定义域的定义域. . (2) (2)已知已知f f( (x x2 2) )的定义域为的定义域为0,4,0,4,求求f f( (x x) )的定义域的定义域. . 解解 (1) (1)f f( (x x) )的定义域为的定义域为0,40,4, , f f( (x x2 2) )以以x x2 2为自变
26、量为自变量, , 0 0x x2 24,-24,-2x x2,2, 故故f f( (x x2 2) )的定义域为的定义域为-2,2-2,2. . f f( (x x+1)+1)+f f( (x x-1)-1)以以x x+1,+1,x x-1-1为自变量为自变量, , 于是有于是有 1 1x x3.3. 故故f f( (x x+1)+1)+f f( (x x-1)-1)的定义域为的定义域为1,31,3. . (2) (2)f f( (x x2 2) )的定义域为的定义域为0,40,4, , 0 0x x4,4, 0 0x x2 216,16, 故故f f( (x x) )的定义域为的定义域为0,
27、160,16. . 11.11.(2010(2010徐州模拟徐州模拟) )已知已知f f( (x x)=)=x x2 2-2-2x x+1,+1,g g( (x x) )是是 一次函数一次函数, ,且且f f g g( (x x)=4)=4x x2 2, ,求求g g( (x x) )的解析式的解析式. . 解解 设设g g( (x x)=)=axax+ +b b( (a a0),0), 则则f fg g( (x x) )=(=(axax+ +b b) )2 2-2(-2(axax+ +b b)+1)+1 = =a a2 2x x2 2+(2+(2abab-2-2a a) )x x+ +b b
28、2 2-2-2b b+1=4+1=4x x2 2. . 解得解得a a= =2,2,b b=1.=1. g g( (x x)=2)=2x x+1+1或或g g( (x x)=-2)=-2x x+1. +1. 12.12.(2009(2009广东三校一模广东三校一模) )某租赁公司拥有汽车某租赁公司拥有汽车100100辆辆. . 当每辆车的月当每辆车的月租金为租金为3 0003 000元时元时，可全部租出，可全部租出. .当每当每 辆车的月租金每增加辆车的月租金每增加5050元时元时, ,未租出的车将会增加未租出的车将会增加 一辆一辆. .租出的车每辆每月需要维护费租出的车每辆每月需要维护费15
29、0150元元, ,未租出未租出 的车每辆每月需要维护费的车每辆每月需要维护费5050元元. . (1) (1)当每辆车的月租金定为当每辆车的月租金定为3 6003 600元时元时, ,能租出多少能租出多少 辆车？辆车？ (2) (2)当每辆车的月租金定为多少元时当每辆车的月租金定为多少元时, ,租赁公司的月租赁公司的月 收益最大？最大月收益是多少？收益最大？最大月收益是多少？ 解解 (1) (1)当每辆车的月租金为当每辆车的月租金为3 6003 600元时元时, , 未租出的车辆数为未租出的车辆数为 所以这时租出了所以这时租出了8888辆车辆车. . (2)(2)设每辆车的月租金定为设每辆车的
30、月租金定为x x元，元，则租赁公司的月收益为则租赁公司的月收益为整理得整理得f f( (x x)= +162)= +162x x-21 000-21 000= (= (x x-4 050)-4 050)2 2+307 050.+307 050.当当x x=4 050=4 050时时, ,f f( (x x) )最大最大, ,最大值为最大值为f f(4 050)=307 050.(4 050)=307 050.答答 (1)(1)当每辆车的月租金定为当每辆车的月租金定为3 6003 600元时元时, ,能租出能租出8888辆辆车车; ;(2)(2)当每辆车的月租金定为当每辆车的月租金定为4 0504 050元时元时, ,租赁公司的月租赁公司的月收益最大收益最大, ,最大收益为最大收益为307 050307 050元元. . 返回返回
