《高等数学课件：第四章 不定积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：第四章 不定积分（112页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第四章第四章 不定积分不定积分 4.14.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 4.24.2 换元积分法换元积分法 4.3 4.3 分部积分法分部积分法 4.4 4.4 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 定义：定义：4.1 不定积分的概念和性质一一 . . 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义问题：问题： (1) 原函数的存在性原函数的存在性 , 若存在是否唯一？若不唯若存在是否唯一？若不唯 一它们之间有什么联系？具有怎样的结构一它们之间有什么联系？具有怎样的结构 ?(2) 具体怎样求原函数？具体怎样求原函数？原函数存在定理：原函数存在定理：( 下一章证明下一章证
2、明 )初等函数在其定义区间上都存在原函数初等函数在其定义区间上都存在原函数 .注意注意: 并不是每一个定义在区间上的函数都存在原并不是每一个定义在区间上的函数都存在原 函数函数 .一般地一般地 , 凡凡具有第一类间断点的函数具有第一类间断点的函数 , 在包含这些在包含这些间断点的任何区间上都没有原函数间断点的任何区间上都没有原函数 .关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 的一个原函数，则对任意常的一个原函数，则对任意常（2）若）若 是是 的一个原函数，的一个原函数，（ 为常数）为常数）证证则则 的任的任一原函数一原函数 具有形式：具有形式：即即任任意意常常数数积积分分号号被被积积函
3、函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量定义定义记作：记作：例如：例如： 不定积分的几何意义不定积分的几何意义y=F(x) 的图形是一条曲的图形是一条曲线，称为线，称为 f(x) 的积分曲的积分曲线；线；曲线曲线 y=F(x)+C, 称称为为 f(x) 的积分曲线族的积分曲线族 . 由于由于 (F(x) + C )= f(x),故积分曲线族上对应于故积分曲线族上对应于同一个同一个 x 的点处的的点处的切线切线是是相互平行的相互平行的.例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此
4、曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为显然，求不定积分得到显然，求不定积分得到一族积分曲线一族积分曲线 .二. 不定积分的性质由不定积分的定义，可得由不定积分的定义，可得结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.性质性质1性质性质2证证证证（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）性质性质3由由 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公
5、式得出积分公式根据求导公式得出积分公式.三. 基本积分公式由由 积分公式积分公式 求导公式求导公式由由由由由由由由由由由由由由由由由由由由由由由由例例4 4 求下列不定积分求下列不定积分问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令4.2 换 元 积 分 法一一. . 第一换元积分法（凑微分法）第一换元积分法（凑微分法）（凑微分法凑微分法）定理定理1 1证证例例1 1 求求解解（二）（二）解解（三）（三）三种积法，所得结果形式不同，如何验证？三种积法，所得结果形式不同，如何验证？注意注意: 使用第一换元公式的关键在于将使用第一换元公式的关键在于将凑成
6、凑成例例2 2 求下列不定积分求下列不定积分( 分母有理化分母有理化 )常见凑微式常见凑微式:例例考虑作代换考虑作代换令令二. 第二换元积分法（拆微法）用凑微分法积分很困难用凑微分法积分很困难!用凑微分法可积出结果用凑微分法可积出结果 .（拆微分法拆微分法）定理定理 2 2使用第二换元法的使用第二换元法的关键关键在于根据被积函数的特点在于根据被积函数的特点 , 选选择一个择一个适当的变换适当的变换,使其得到的关于使其得到的关于 的积的积分容易求出分容易求出,最后再最后再代回原变量代回原变量 .若被积函数含有若被积函数含有根式根式时时, 选择选择适当的变换适当的变换可设法可设法去掉根式去掉根式
7、!一般地一般地 ，当被积函数中含有，当被积函数中含有令令令令令令令令例例 3 3 求求注意注意: : 当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） 则令则令 令令例例 4 4 求求解解令令例例 5 5 求求解解 令令例例 6 6 求求解解 令令例例 7 7 求求解解令令 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换，积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换，并不是绝对的并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定，需根据被积函数的情况来定.注意注意: :例例8 8 求求（若用三角代换很繁琐）（若用三角代换很繁琐）令令另外：
8、另外：当分母的次数较高时当分母的次数较高时, 可采用可采用倒代换：倒代换：例例9 9 求求解解 令令 基本积分公式 问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式4.3 分 部 积 分 法应用分部积分公式需要解决两个问题：应用分部积分公式需要解决两个问题：1 、哪些类型的不定积分用分部积分公式容易积分；、哪些类型的不定积分用分部积分公式容易积分；2 、具体用分部积分公式时如何正确选择、具体用分部积分公式时如何正确选择例例1 1 求求显然，显然， 选择不当选择不当，取取+右边的积分更难进行右边的积分更难进行.例例 4 求求例例6 6 求求例
9、例7 7（1 1） 求求（2 2） 求求有些积分需要连续应用若干次分部积分法！有些积分需要连续应用若干次分部积分法！例例8 8 求求例例9 9 求求例例1010 同理同理例例1111 求求 分部积分法还有另一种作用：对某些积分利用若分部积分法还有另一种作用：对某些积分利用若干次分部积分后，常常会重新出现原来要求的那个积干次分部积分后，常常会重新出现原来要求的那个积分，从而成为所求积分的一个方程式（或方程组的形分，从而成为所求积分的一个方程式（或方程组的形式），只要把原来要求的那个积分作为该方程的未知式），只要把原来要求的那个积分作为该方程的未知量，解出这个方程就得到了所求的积分。量，解出这个方
10、程就得到了所求的积分。“指三指三”型型例例1212 求求例例1313 求求同理同理还有一种值得注意的情况：还有一种值得注意的情况： 分项积分分项积分 分项后虽然每分项后虽然每一项都不是初等函数，但通过非初等部分的相互抵消，一项都不是初等函数，但通过非初等部分的相互抵消，最后却有可能积出初等函数。最后却有可能积出初等函数。例例1414 求求 四川联合大学四川联合大学2000年考研题年考研题 注意：注意：“顺序选择法顺序选择法”虽好，但也有虽好，但也有“失灵失灵” 的时侯，遇的时侯，遇到这种情况，应灵活地进行调整。到这种情况，应灵活地进行调整。例例1515 显然比原积分更复杂显然比原积分更复杂一一
11、 . 有理函数的积分有理函数的积分两个多项式的商表示的函数称之为有理函数两个多项式的商表示的函数称之为有理函数. .假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式有理有理真分式真分式；有理有理假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, 有理假分式有理假分式可以化成可以化成一个多一个多项式项式和一个和一个有理真分式之和有理真分式之和.例例4.4 几种特殊类型函数的积分（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理真分式的不
12、定积分可归结为下列两类积分：有理真分式的不定积分可归结为下列两类积分：令令则则 第一项凑微分即可得结果第一项凑微分即可得结果第二项换元第二项换元用分部积分用分部积分结论结论有理函数的不定积分都是初等函数有理函数的不定积分都是初等函数 ：故得递推公式故得递推公式即即 有理函数有理函数，对数函数对数函数，反正切函数反正切函数 . .例例1 1例例2 2解解这种求待定常数的方法称为这种求待定常数的方法称为待定系数法待定系数法 .例例3 3解解例例4 4 求求 解解例例5 5 求求 解解 1解解 2 （用凑微分法）（用凑微分法）二. 三角函数有理式的积分令令万能代换万能代换有理函数有理函数例例1 1 求求令令则则例例2 2 求下列不定积分求下列不定积分例例3 3 求下列不定积分求下列不定积分三. 简单无理函数的积分例例1 1 令令解解 1解解 2 令令解解 3 令令例例2 2
