《数值分析02线性空间与赋范线性空间》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析02线性空间与赋范线性空间（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章 数值分析基础数值分析基础 第一节第一节 线性空间与赋范线性空间线性空间与赋范线性空间 第二节第二节 内积空间与内积空间中的正交系内积空间与内积空间中的正交系 第三节第三节 初等变换阵与特殊矩阵初等变换阵与特殊矩阵 1数值分析数值分析数值分析数值分析 第一节第一节 线性空间与赋范线性空间线性空间与赋范线性空间一、线性空间一、线性空间定义定义2-12-1 设设是一个非空集合，是一个非空集合，F F是数域，如果是数域，如果在集合在集合中定义了加法运算，记为中定义了加法运算，记为“+”+”，即即 ，有，有+；在数域在数域F F和集合和集合的元素之间定义了数
2、量乘法，的元素之间定义了数量乘法，即即 kkF F，有，有kk；上述定义的加法和数乘运算满足代数运算的八条规则上述定义的加法和数乘运算满足代数运算的八条规则则称集合则称集合是定义在数域是定义在数域F F上的线性空间或向量空间，上的线性空间或向量空间，记为记为（F F）。）。 1.线性空间概念2数值分析数值分析数值分析数值分析代数运算的八条规则代数运算的八条规则3数值分析数值分析数值分析数值分析线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广4数值分析数值分析数值分析数值分析线性空间是为了
3、解决实际问题而引入的，它是某一类线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间，事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间，进而通过研究线性空间来解决实际问题进而通过研究线性空间来解决实际问题：可以看成是实数域：可以看成是实数域上的线性空间，加法和数乘是上的线性空间，加法和数乘是实数中的加法和数乘；实数中的加法和数乘；：可以看成是复数域：可以看成是复数域上的线性空间，加法是复数的上的线性空间，加法是复数的加法，数乘是实数与复数按复数乘法相乘；加法，数乘是实数与复数按复数乘法相乘；（）：）：实数域（复数域）上所有实数域（复数域）上所有矩阵
4、矩阵的集合。按矩阵的加法和数乘矩阵定义加法和数乘，构的集合。按矩阵的加法和数乘矩阵定义加法和数乘，构成线性空间；成线性空间；2 2、几个具体的线性空间实例、几个具体的线性空间实例5数值分析数值分析数值分析数值分析P x n：实数域上所有次数：实数域上所有次数的多项式。按多项式加法和的多项式。按多项式加法和数乘多项式定义加法和数乘，构成线性空间。但次数数乘多项式定义加法和数乘，构成线性空间。但次数的多项式全体不能构成线性空间；的多项式全体不能构成线性空间；P x ：实数域上多项式全体：实数域上多项式全体. .按多项式加法和数乘多项式按多项式加法和数乘多项式法则构成线性空间；法则构成线性空间；a，
5、：区间区间a，上一元连续函数的全体。是上一元连续函数的全体。是上的线性空间上的线性空间, ,因为两个连因为两个连续函数之和以及实数续函数之和以及实数与连续函数乘积仍是连续函数；与连续函数乘积仍是连续函数；a，：类似于类似于a，在区间，在区间a，上上阶连续可微的一元函数全体阶连续可微的一元函数全体. .构成构成上的线性空间。上的线性空间。6数值分析数值分析数值分析数值分析（）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的（）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加
6、法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 线性空间的判定方法线性空间的判定方法7数值分析数值分析数值分析数值分析8数值分析数值分析数值分析数值分析9数值分析数值分析数值分析数值分析例例4 4 在区间在区间 上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间空间10数值分析数值分析数值分析数值分析例例5 5 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为验证验证 对上述加法与数乘运算构成线性空间对上述
7、加法与数乘运算构成线性空间（）一个集合，如果定义的加法和数乘运（）一个集合，如果定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律否满足八条线性运算规律证明证明所以对定义的加法与数乘运算封闭所以对定义的加法与数乘运算封闭11数值分析数值分析数值分析数值分析下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：12数值分析数值分析数值分析数值分析所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间13数值分析数值分析数值分析数值分析3 3、线性空间的基和维数、线性空间的基和维数已知已知：在中，线性无关的向量
8、组最多由：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的问题：问题： 在线性空间在线性空间V V中，最多能有多少线性无关的向量？中，最多能有多少线性无关的向量？14数值分析数值分析数值分析数值分析3 3、线性空间的基和维数、线性空间的基和维数15数值分析数值分析数值分析数值分析16数值分析数值分析数值分析数值分析17数值分析数值分析数值分析数值分析18数值分析数值分析数值分析数值分析定义定义2-32-3 在线性空间在线性空间 中，中， 如果存在如果存在 个元素个元素满足：满足：19数值分析数值分析数值分析数值分析4 4、线性空间的子
9、空间、线性空间的子空间20数值分析数值分析数值分析数值分析矩阵代数中的几个重要子空间矩阵代数中的几个重要子空间21数值分析数值分析数值分析数值分析22数值分析数值分析数值分析数值分析23数值分析数值分析数值分析数值分析（2）矩阵的列空间和行空间）矩阵的列空间和行空间24数值分析数值分析数值分析数值分析25数值分析数值分析数值分析数值分析26数值分析数值分析数值分析数值分析27数值分析数值分析数值分析数值分析生成的子空间的基与维数生成的子空间的基与维数. .例例28数值分析数值分析数值分析数值分析29数值分析数值分析数值分析数值分析30数值分析数值分析数值分析数值分析定义定义2-4 5、元素在给
10、定基下的坐标、元素在给定基下的坐标31数值分析数值分析数值分析数值分析32数值分析数值分析数值分析数值分析33数值分析数值分析数值分析数值分析注注 线性空间线性空间V 的任一元素在不同基下所对应的坐标一的任一元素在不同基下所对应的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的34数值分析数值分析数值分析数值分析6、线性空间的同构、线性空间的同构35数值分析数值分析数值分析数值分析36数值分析数值分析数值分析数值分析定义定义设设U、V是两个线性空间，如果它们的元素之间有是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系一一对应关系 ，且这个对应关系保
11、持线性组合的对应，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间那末就称线性空间 U与与 V同构同构.同构的意义同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可以说，同构的线性空间运算的代数性质从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数是它的维数37数值分析数值分析数值分析数值分析定义定义2-5二、二、赋范
12、线性空间赋范线性空间1.1.向量范数公理向量范数公理38数值分析数值分析数值分析数值分析Matlab: norm(x,p)39数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析s=0;for i=1:n s=s+abs(x(i);ends=0;for i=1:n s=s+x(i)*x(i);ends=sqrt(s)s=0;for i=1:n s=s+x(i)2;ends=sqrt(s)40数值分析数值分析数值分析数值分析s=0;for i=1:n if abs(x(i)s,s=abs(x(i);endend41数值分析数值分析数值分析数值分析42数值分析数值分析数值分析数值分析43数值分析数值分
13、析数值分析数值分析例：例：证明证明注意：注意： 1.等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混 用不同的范数。用不同的范数。2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。 44数值分析数值分析数值分析数值分析45数值分析数值分析数值分析数值分析46数值分析数值分析数值分析数值分析47数值分析数值分析数值分析数值分析48数值分析数值分析数值分析数值分析（2 2）算子范数（从属范数）算子范数（从属范数）定义定义2-7（矩阵的算子范数）（矩阵的算子范数）49数值分析数值分析数值分析数值分析50数值分析数值分析数值分析数值
14、分析51数值分析数值分析数值分析数值分析52数值分析数值分析数值分析数值分析53数值分析数值分析数值分析数值分析特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质: :54数值分析数值分析数值分析数值分析55数值分析数值分析数值分析数值分析56数值分析数值分析数值分析数值分析57数值分析数值分析数值分析数值分析58数值分析数值分析数值分析数值分析证毕证毕59数值分析数值分析数值分析数值分析4.赋范线性空间中的距离赋范线性空间中的距离60数值分析数值分析数值分析数值分析在距离空间定义向量序列的收敛和极限：在距离空间定义向量序列的收敛和极限：在在R Rn n中，点列的收敛等价于每个分量的收敛。即中，点列的收敛等价于每个分量的收敛。即 证明：证明：61数值分析数值分析数值分析数值分析定义定义2-11 对于对于n阶方阵序列阶方阵序列A(k),如果存在方阵如果存在方阵A使得使得则称方阵序列则称方阵序列A(k)收敛于收敛于n阶方阵阶方阵A。记为。记为定理定理2-5n n阶方阵序列阶方阵序列 A(k)收敛于收敛于n n阶方阵阶方阵A A的充分必要条件是的充分必要条件是 62数值分析数值分析数值分析数值分析习题二P56- 3, 4，,11数值试验题二P57-3，563数值分析数值分析数值分析数值分析习题数值试验题二P57-3，564
