第1章函数与极限学习教案

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1、会计学1第第1章函数章函数(hnsh)与极限与极限第一页，共45页。第一章函数与极限第二章导数与微分第三章不定积分(jfn)第四章定积分(jfn)及其应用*第五章无穷级数第六章空间解析几何第七章 多元函数及其微分法第八章 多元函数积分(jfn)法第九章 常微分方程及其应用*第十章 数学计算软件的介绍第1页/共44页第二页，共45页。第一节 函数第二节 初等(chdng)函数第三节 极限第四节 极限的运算第五节 函数的连续性第一章函数(hnsh)与极限第2页/共44页第三页，共45页。一、函数(hnsh)定义1、定义：设x和y是两个变量。是一个给定的数集，如果对于每个 ，按f法则变量 y总有唯一

2、的数值和它对应，则称 f为D上的一个函数。记作其中x为自变量， y为因变量，函数(hnsh)三要素:函数(hnsh)关系、定义域、值域。2、函数的表示法：解析(jix)法、列表法、图示法3、函数举例第3页/共44页第四页，共45页。符号(fho)函数在定义域的不同部分，采用不同表达式的函数(hnsh)，称为分段函数 (hnsh)。绝对值函数第4页/共44页第五页，共45页。取整函数,即结果为不超过(chogu)x 的最大整数。第5页/共44页第六页，共45页。、函数的有界性设y=f(x)在(a,b)内有定义。若存在0,使得(shde)对所有，有，则称函数在(a,b)内有界。如果不存在这样的，则

3、称函数在(a,b)内无界。二、函数(hnsh)的性质2、单调(dndio) 性3、奇偶性4、周期性第6页/共44页第七页，共45页。三、复合(fh)函数反函数1、复合函数 (hnsh)定义设y=f(u)是数集E上的函数， 是从数集 D到数集E的函数，对 ，经过中间变量 u，都有唯一的 y与之对应，则产生新函数称为数集 D上的复合函数。记作注意(zhy)：并不是任意的函数都可以复合例：和能否复合？和呢？第7页/共44页第八页，共45页。设有函数y=f(x)，若对于，在数集D上有唯一的x与之对应(duyng)，则得到，称为y=f(x)的反函数。记作定理若函数y=f(x)是定义在数集 D上的单调 (

4、dndio) 函数，则它的反函数必存在且也在对应的区间上单调(dndio) 。2、反函数定义 (dngy)例在整个定义域上不存在反函数。但适当限制定义域后，就存在反函数。 第8页/共44页第九页，共45页。常量幂函数指数函数(zhshhnsh)对数函数三角函数反三角函数二、初等函数由基本(jbn)初等函数经过有限次四则运算及复合步骤所构成，可用一个解析式表示的函数。一、基本 (jbn)初等函数(C是常数)第9页/共44页第十页，共45页。一、数列(shli)的极限1、数列定义：若函数 f(n)的定义域是 ，当n从小到大取值，对应函数值的排列 (pili)称为数列。 记为，其中(qzhng)称为

5、通项。引例请问以下数列是否存在极限，若存在，极限是多少？1，-1，1，-1，1，.第10页/共44页第十一页，共45页。对（无论多么小），总正整数，当n时，有成立(chngl)，则称A是的极限或称收敛于A。记为或.若的极限不存在(cnzi)，则称发散。说明： （1）其中可以任意给定，它描述了与A的无限接近程度；（2）N随着的选定而选定且不唯一。2、数列极限(jxin)定义3、几何意义第11页/共44页第十二页，共45页。的极限(jxin)是1。用数列定义(dngy)证明(1)(2)(3)第12页/共44页第十三页，共45页。定理1收敛数列必有界。推论无界数列必发散(fsn)。定理2单调有界数列

6、一定收敛。4、数列极限的有关 (yugun)结论有界数列定义 若，使一切 都满足，则称有界。若不存在，则数列 无界。例问，,是否有界。 第13页/共44页第十四页，共45页。二、函数(hnsh)的极限（一）时函数的极限1、定义对于（无论多么小），如果总 ，使得当 时，有 ，则A叫做当时的极限，记作或2、几何(jh)意义第14页/共44页第十五页，共45页。例证明(zhngmng)（二）时函数的极限1、邻域定义 称为的邻域，记作把中心去掉，称为 的去心邻域即，记作结论:若，则直线y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线。第15页/共44页第十六页，共45页。2、极限定义若对，总，当时，有，则叫做(j

7、iozu)函数当时的极限。记作或3、几何(jh)意义例证明第16页/共44页第十七页，共45页。4、左极限与右极限左极限： 或右极限： 或结论(jiln):极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等例2问的极限是否存在。当时例1讨论函数当时的极限第17页/共44页第十八页，共45页。（三）无穷(wqing)小量与无穷(wqing)大量说明：（1）无穷小是一个(y)以0为极限的函数（2）无穷小不是负无穷,也不是很小的数（除了常数0）（3）无穷小必须相对于某一个(y)变化过程而言1、无穷小定义 1若当（或）时，函数 f(x)的极限为 0,则f(x)叫做（或）时的无穷小。无穷小定义 2对,若总(或X0

8、),当(或)时,有,则f(x)叫做无穷小 .第18页/共44页第十九页，共45页。讨论(toln):数列1,0,2,0,.n,0, 是无穷大量吗？2、无穷大定义 1在x的某个变化过程中，如果 无限增大，则称函数f(x)是在这个变化过程中的无穷大。若函数f(x)对（无论多么大），总 （或X0)，当（或）时，有则称（或）时，f(x)为无穷大。记作无穷大定义 2第19页/共44页第二十页，共45页。例证明(zhngmng)1结论：如果 ,则直线x=x0是函数y=f(x)的图形的垂直渐近线 .第20页/共44页第二十一页，共45页。3、无穷大与无穷小的关系(gunx)在自变量的同一(tngy)变化过程

9、中为无穷大 为无穷小为无穷小为无穷大第21页/共44页第二十二页，共45页。定理(dngl)1有限个无穷小的和也是无穷小。定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2有限个无穷小的乘积是无穷小。例求一、无穷小量的运算(ynsun)第22页/共44页第二十三页，共45页。加、减法(jinf)乘法(chngf)除法(chf)二、极限的四则运算第23页/共44页第二十四页，共45页。1、例求极限(jxin)：2、3、4、第24页/共44页第二十五页，共45页。5、6、7、8、9、第25页/共44页第二十六页，共45页。三、极限存在准则(zhnz)与两个重要极限那么(

10、nme)limf(x)=A若当（或）时，恒有且重要极限 1Cx（一）夹挤定理(dngl)第26页/共44页第二十七页，共45页。例题(lt)2、1、3、4、我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积 割圆术，得到圆面积 A是它的内接正n（)边形的面积 当时的极限。怎么得到的呢？第27页/共44页第二十八页，共45页。第28页/共44页第二十九页，共45页。（二）单调有界收敛准则(zhnz)单调有界数列必有极限。重要极限 2例1求下列极限：（1）（2）（3）（4）第29页/共44页第三十页，共45页。例2设某顾客向银行存入本金p元，年利率为r,n年后他在银行的存款总额是本金与利息之和。如果

11、银行规定年复利率为r,试根据下述不同的结算方式计算顾客t年后的最终(zuzhn)存款额。(1)每年结算一次;(2)每月结算一次,每月的复利率为r/12;(3)若结算周期变为无穷小,这意味着银行连续不断地向顾客付利息，这种存款方法称为连续复利.试计算连续复利情况下顾客的最终(zuzhn)存款额.第30页/共44页第三十一页，共45页。例3在化学反应中，物质的瞬时 (shnsh)反应速率与物质当时的量成正比。设比例系数为 k，开始时参加反应物质的量为 。经过t小时后，未起反应的物质的量为多少？t小时分析：将 t小时n等分，n很大。在每一时间段中，反应速率近似看成不变。起反应的量为第31页/共44页

12、第三十二页，共45页。如果(rgu)，则称是比高阶的无穷小，记作；如果(rgu)，则称与是同阶无穷小；当C=1时，称与是等价无穷小，记作四、无穷小量的阶1、定义(dngy)如果(rgu)，则称是的k阶无穷小。第32页/共44页第三十三页，共45页。2、等价(dngji)无穷小的重要性质例求例求若且存在(cnzi)，则当时，有第33页/共44页第三十四页，共45页。一、连续函数的概念(ginin)定义1设增量如果当时，有，则称函数 在点连续.1、连续性定义(dngy)第34页/共44页第三十五页，共45页。定义2若，则称f(x)在点处连续。例用连续的定义证明函数 在R上连续。一切(yqi)初等函

13、数在其定义域上是连续的。、左连续(linx)和右连续(linx)左连续：右连续：结论：y=f(x)在点处连续的充要条件是在点 既左连续又右连续3、在区间(qjin)（a,b)、a,b上连续的函数。第35页/共44页第三十六页，共45页。二、函数(hnsh)的间断点、定义 (dngy)：如果f(x)有下列情形之一(1)在点无定义(dngy)(2)不存在(3)在点有定义(dngy)，也存在，但则称点为函数y=f(x)的间断(jindun)点或不连续点。第36页/共44页第三十七页，共45页。例1考察(koch)函数在点x=1处的连续性。例2考察在x=1处的连续性。xyO例3讨论函数 在x=0处的连

14、续性。第37页/共44页第三十八页，共45页。例4求y=tanx的间断(jindun)点。例5讨论函数 在x=0处的连续性。第38页/共44页第三十九页，共45页。、间断(jindun)点的分类：第一类间断(jindun)点和第二类间断(jindun)点不是第一类间断点的，称为 第二类间断点 ，其中使得函数极限为 的称为无穷间断点 ；使得函数处于振荡状态的点称为振荡间断点。第39页/共44页第四十页，共45页。三、闭区间(qjin)上连续函数的性质定理1（最大值与最小值定理）若y=f(x)在闭区间 a,b上连续，则 f(x)在a,b上必有最大值与最小值。推论（有界性定理）若y=f(x)在闭区间

15、 a,b上连续，则 f(x)在a,b上必有界。第40页/共44页第四十一页，共45页。定理2（介值定理） 设y=f(x)在a,b上连续， （），则对介于与之间的任意一个数，至少有一点，使得第41页/共44页第四十二页，共45页。零点(lndin)：如果，则称为的零点(lndin)，即方程f(x)=0的根。推论2(零点定理） 设在上连续且，则至少有一点 ，使第42页/共44页第四十三页，共45页。例证明：三次代数方程 在（0，1）内至少有一个根。第43页/共44页第四十四页，共45页。内容(nirng)总结会计学。*第五章无穷级数。当时。（2）无穷小不是负无穷,也不是很小的数。设比例系数为k，开始时参加反应物质的量为。分析：将t小时n等分，n很大。、间断点的分类：第一类间断点和第二类间断点。使得函数处于振荡状态的点称为振荡间断点。定理1（最大值与最小值定理）。（0，1）内至少(zhsho)有一个根第四十五页，共45页。