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1、专题13 立体几何中的计算问题【自主热身,归纳总结】1、若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为 【答案】：【解析】：设此正三棱锥的高为,则,所以,故此三棱锥的体积2、 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD3 cm,AA12 cm,则三棱锥AB1D1D的体积为_cm3.【答案】 3【解析】VAB1D1DVB1AD1DSADD1A1B1ADD1DA1B13233.3、将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得圆柱的体积为27 cm3,则该圆柱的侧面积为_cm2.【答案】：18【解析】：设正方形的边长为x cm,则圆柱的体积为x2x27,解得x3,所以该圆柱的侧面
2、积为23318(cm2)4、如图,正四棱锥PABCD的底面一边AB的长为2 cm,侧面积为8 cm2,则它的体积为_cm3.【答案】 4【解析】：如图,过点P作PO垂直于底面ABCD,且垂足为O,在平面ABCD中,过点O作直线AB的垂线,垂足为E,连结PE.由正四棱锥的性质知,PEAB,所以S侧(2PE)48,解得PE2,在RtPOE中,PO1,所以正四棱锥的体积为(2)214.5、已知正四棱柱的底面边长为3 cm,侧面的对角线长是3cm,则这个正四棱柱的体积是_cm3.【答案】54【解析】：设该正四棱柱的侧棱长为h cm,则(3)232h2,解得h6(负值舍去),从而这个正四棱柱的体积是V3
3、2654(cm3)6、若圆锥的侧面展开图是面积为3且圆心角为的扇形,则此圆锥的体积为_【答案】 7、现有一正四棱柱形铁块,底面边长为高的倍,将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为,则的值为 【答案】【解析】设正四棱柱得高为,所以底面边长为,根据体积相等,且高相等,所以正四棱锥的高为,则正棱锥侧面的高为,所以.8、以一个圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高,则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为_【答案】 【解析】：如图,由题意可得圆柱的侧面积为S12rh2r2.圆锥的母线lr,故圆锥的侧面积为
4、S22rlr2,所以S2S12.9、如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,AB4,AA16.若E,F分别是棱BB1,CC1上的点,则三棱锥AA1EF的体积是_ 【答案】：【解法1】过B点作,垂足为E,平面ABC平面,且平面ABC 平面=AC,所以平面,又因为梯形的面积为=6,所以.【解法2】,而=,所以四棱锥的体积为.【关联1】、如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm,圆柱的底面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为_cm(不计损耗)【答案】. 2由题意知,熔化前后的体积相等,熔化前的
5、体积为64249460,设所求正三棱柱的底面边长为x cm,则有x2660,解得x2,所以所求边长为2cm. 【关联2】、在棱长为2的正四面体中,分别为,的中点,点是线段上一点,且,则三棱锥的体积为 【答案】： 思路分析：解决空间几何体的体积计算问题常常有两个途径：一是直接利用体积公式求解,另一种是利用等体积转化的思想进行计算.解题过程：连结,过点作于,因为,M为PA的中点,所以,同理,又因为,所以,又因为,所以,又因为,所以,从而,故为点到平面的高.在中,N为BC的中点,则,的面积,在中,因为,所以,从而三棱锥的体积 【关联3】、如图,在正三棱柱中,已知,点在棱上,则三棱锥的体积为 【答案】
6、 【解析】： 因为正三棱柱中,因为,所以,因为点在棱上,所以点到平面的距离就是点到平面的距离作,垂直为点,因为正三棱柱中,面,面,所以,而,所以因为正三棱柱中,所以,的面积,所以三棱锥的体积例2、已知矩形ABCD的边AB4,BC3,若沿对角线AC折叠,使平面DAC平面BAC,则三棱锥DABC的体积为_【答案】. 【解析】：在平面DAC内作DOAC,垂足为点O,因为平面DAC平面BAC,且平面DAC平面BACAC,所以DO平面BAC,因为AB4,BC3,所以DO,SABC346,所以三棱锥DABC的体积为V6.【变式1】、已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm,其表面展开图如图所示,则该空间几
7、何体的体积V= cm3 【答案】【解析】空间几何体为一正方体和一正四棱锥的组合体,显然,正方体的体积为1,正四棱锥的底面边长为1,侧棱长为1,所以,棱锥的高为,所以,正四棱锥的体积为,即组合体的体积为【变式2】、已知ABC为等腰直角三角形,斜边BC上的中线AD = 2,将ABC沿AD折成60的二面角,连结BC,则三棱锥C - ABD的体积为 【答案】：易错警示 由于二面角平面角的概念在必做部分考查较少形成了复习中的知识盲点在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分),【关联1】、折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图2),则正四棱锥SEFGH的体积为_（图1）（
8、图2） 【答案】：. 【解析】：连结EG,HF,交点为O,正方形EFGH的对角线EG2,EO1,则点E到线段AB的距离为1,EB.SO2,故正四棱锥SEFGH的体积为()22.【关联2】、已知圆锥的底面半径和高相等,侧面积为,过圆锥的两条母线作截面,截面为等边三角形,则圆锥底面中心到截面的距离为 【答案】【解析】设底面半径为,由题意可得：母线长为.又侧面展开图面积为,所以.又截面三角形ABD为等边三角形,故,又,故为等角直角三角形.设圆锥底面中心到截面的距离为,又,所以.又,故.【关联3】、 如图,在圆锥VO中,O为底面圆心,半径OAOB,且OAVO1,则O到平面VAB的距离为_ 【答案】：
9、思路分析 在立体几何求点到平面的距离问题中,往往有两种途径：(1) 利用等体积法,这种方法一般不需要作出高线；(2) 利用面面垂直的性质作出高线,再进行计算解法1 因为VO平面AOB,OA平面AOB,所以VOOA,同理VOOB,又因为OAOB,OAVOOB1,所以VAVBAB,所以SVABVAABsin60.设O到平面VAB的距离为h,由VVAOBVOVAB,得SAOBVOSVABh,得OAOBVOh,解得h.解法2 取AB中点M,连结VM,过点O作OHVM于H.因为OAOB,M是AB中点,所以OMAB,因为VO平面AOB,AB平面AOB,所以VOAB,又因为OMAB,VOOMO,所以AB平面
10、VOM,又因为AB平面VAB,所以面VAB平面VOM,又因为OHVM,OH平面VOM,平面VAB平面VOMVH,所以OH平面VAB,所以OH为点O到平面VAB的距离,且OH.例3、如图,在直三棱柱A1B1C1ABC中,ABBC,E,F分别是A1B,AC1的中点(1) 求证：EF平面ABC；(2) 求证：平面AEF平面AA1B1B；(3) 若A1A2AB2BC2a,求三棱锥FABC的体积)【解析】 (1) 连结A1C.因为直三棱柱A1B1C1ABC中,四边形AA1C1C是矩形,所以点F在A1C上,且为A1C的中点在A1BC中,因为E,F分别是A1B,A1C的中点,所以EFBC.(2分)又因为BC
11、平面ABC,EF平面ABC,所以EF平面ABC.(4分)(2) 因为在直三棱柱A1B1C1ABC中,B1B平面ABC,所以B1BBC.因为EFBC,ABBC,所以ABEF,B1BEF.(6分)因为B1BABB,所以EF平面ABB1A1.(8分)因为EF平面AEF,所以平面AEF平面ABB1A1.(10分)(3) VFABCVA1ABCSABCAA1(12分) a22a.(14分)【变式1】、如图,在五面体中,已知平面,（1）求证：；（2）求三棱锥的体积【解析】（1）因为,平面,平面,所以平面, （3分）又平面,平面平面,所以 （6分）（2）如图,在平面内过点B作于点因为平面,平面,所以又,平面
12、,所以平面,所以是三棱锥的高 （9分）在直角三角形中,所以因为平面,平面,所以又由（1）知,且,所以,所以, （12分）所以三棱锥的体积 （14分）易错警示 在证明线线、线面、面面的位置关系时,一定要注意条件的完备性,不能少写条件另外,在求几何体的体积时, 一定要证明某条线为高的原因,即证明它与某个平面垂直,否则将导致丢分【变式2】、如图,在矩形ABCD中,AD2,AB4,E,F分别为边AB,AD的中点现将ADE沿DE折起,得四棱锥ABCDE.（1）求证：EF平面ABC；（2）若平面ADE平面BCDE,求四面体FDCE的体积【解析】 (1) 证法1如图1,取线段AC的中点M,连结MF,MB.因
13、为F,M为AD,AC的中点,所以MFCD,且MFCD.图1在折叠前,四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,所以BECD,且BECD.所以MFBE,且MFBE.所以四边形BEFM为平行四边形,故EFBM.又EF平面ABC,BM平面ABC,所以EF平面ABC.证法2如图2,延长DE交CB的延长线于点N,连结AN.在折叠前,四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,所以BECD,且BECD.图2所以NBENCD,NEBNDC.所以NEBNDC.所以,即E为DN的中点又F为AD的中点,所以EFNA.又EF平面ABC,NA平面ABC,所以EF平面ABC.证法3如图3,取CD的中点O,连结OE,OF.图3(2) 解法1 在折叠前,四边形ABCD为矩形,AD2,AB4,E为AB的中点,所以ADE,CBE都是等腰直角三角形,且ADAEEBBC2.所以DEACEB45,且DEEC2.又DEADECCEB180,所以DEC90,即DECE.又平面ADE平面BCDE,平面ADE平面BCDEDE,CE平面BCDE,所以CE平面ADE,即CE为三棱锥CEFD的高因为F为AD的中点,所以SEFDADAE221.所以四面体FDCE的体积VSEFDCE12.解法2 如图4,过F作FHDE,H为垂足图4因为平面ADE平面BCDE,平面ADE
