《2024年全国初中数学竞赛试题及参考答案5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年全国初中数学竞赛试题及参考答案5（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“TRULY信利杯”初中数学竞赛试题参考答案和评分标准一、选用题（共5小题，每题6分，满分30分. 如下每道小题均给出了代号为A，B，C，D四个选项，其中有且只有一个选项是正确. 请将正确选项代号填入题后括号里. 不填、多填或错填得零分）1. 已知实数，且满足，.则值为（ ）.（A）23 （B） （C） （D）答：选（B） a、b是有关x方程两个根，整顿此方程，得， ， ，.故a、b均为负数. 因而.2. 若直角三角形两条直角边长为、，斜边长为，斜边上高为，则有 （ ）.（A） （B） （C） （D）答：选（C） ， ，；因而，结论（A）、（D）显然不正确.设斜边为c，则有，即有，因而，结论（
2、B）也不正确.由化简整顿后，得，因而结论（C）是正确.3一条抛物线顶点为（4，），且与x轴两个交点横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数（ ）. （A）只有 （B）只有 （C）只有 （D）只有和答：选（A）由顶点为（4，），抛物线交x轴于两点，知a0.设抛物线与x轴两个交点横坐标为，即为方程两个根.由题设，知，因此.依照对称轴x=4，即有，知b0时，方程无实根；（2）当xAD)，BC=CD=12，若AE=10，则CE长为 .答：4或6（第9题图）解：延长DA至M，使BMBE. 过B作BGAM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 因此BC=BG. 又， RtBECRtBMG. BM=BE，A
3、BEABM，AM=AE=10.设CE=x，则AG=，AD=，DE=.在RtADE中， ，即，解之，得，.故CE长为4或6.10实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z最大值是 .答：解： ， x、y是有关t一元二次方程两实根. ，即，. ，当初，.故z最大值为.三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11通过试验研究，教授们发觉：初中学生听课注意力指标数是伴随教师讲学时间变化而变化，讲课开始时，学生兴趣激增，中间有一段时间，学生兴趣保持平稳状态，随即开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化函数图象如图所示（y越大体现学生注意力越集中）. 当初，图象是抛物线一某
4、些，当和时，图象是线段.（1）当初，求注意力指标数y与时间x函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问教师能否通过恰当安排，使学生在听这道题时，注意力指标数都不低于36.解：（1）当初，设抛物线函数关系式为，因为它图象通过点（0，20），（5，39），（10，48），因此（第11（A）题图）解得，.因此，. （5分）（2）当初，.因此，当初，令y=36，得，解得x=4，（舍去）；当初，令 y=36，得，解得. （10分）因为，因此，教师能够通过恰当安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题. （15分）12已知a，b是实数，有关x，y方程组有整数解，求a，b满足关系式.
5、解：将代入，消去a、b，得 ， （5分）.若x+1=0，即，则上式左边为0，右边为不也许. 因此x+10，于是.因为x、y都是整数，因此，即或0，进而y=8或0. 故 或 （10分）当初，代入得，；当初，代入得，.综上所述，a、b满足关系式是，或者，a是任意实数.（15分）13D是ABC边AB上一点，使得AB=3AD，P是ABC外接圆上一点，使得，求值.解：连结AP，则，因此，APBADP， （5分），因此， （10分）（第13（A）题图）因此. （15分）14已知，且，求最小值. （第14（A）题图）解：令，由，判别式，因此这个二次函数图象是一条开口向下抛物线，且与x轴有两个不一样交点，因为
6、，不妨设，则，对称轴，于是， （5分）因此， （10分）故，当，b=0，c=1时，等号成立.因此，最小值为4. （15分）袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂
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