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1、第7章三角函数71锐角三角函数711比较下列各组三角函数值的大小：（1）与；（2）与；（3），和解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将化，再与比大小因为，而，因此（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，不过能够利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小，再将，分别与，比大小因为，因此，因此（3），显然，均小于1，而，均不小于1再分别比较与，以及与的大小即可因为，因此因为，因此，因此评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关
2、系式化为同名三角函数，比较其大小（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他某些特殊角如，的三角函数值712化简求值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若求的值解析（1）原式=（2）原式（3）原式（4）原式=（5）原式评注同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据713试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦不小于其他两个角的余弦解析在锐角三角形里，显然有，因此有因为在范围内，当增加时，其正弦值是增加的，于是我们懂得同理能够证明其他的五组714下列四个数中哪个最大：A
3、BC D解析显然，0cos481因此有：，因此最大715设为锐角，且满足，求解析我们将代入，得到，并且是锐角，因此因此因此716在中，证明：是锐角，并计算的值解析若，则，于是，矛盾为计算，必须结构出一个以为其一锐角的直角三角形如图，过作交于，使，则又=因此，作于，则，故717已知，求的值解析由两边平方得又，因此，得评注（1）当已知与之间和或差的值时，常常考虑利用转化问题（2）总结此题解答过程，该问题实际上是读者都熟悉的问题：已知，求的值这里用三角函数式、来替代、，变化了一下问题的形式因此，在解题时，搞清问题的本质是非常重要的718已知为实数，且、是有关的方程的两根求的值解析由根与系数的关系知则
4、有719设、是一个直角三角形的两个锐角，满足求及的值解析因为，故由互余关系得因此条件即为，将上式平方，得，由正、余弦的平方关系，即有，因此，因、均为正数，故因此由上式得，由、得，故评注本题也可如下解答：由得，两边平方，得，因，代入上式并整顿，得，解得因，故只有由此及得7110若存在实数和，使得求实数的所有也许值解析把两式相加，得，解得，或（舍去）当初，满足方程故7111已知有关的一元二次方程的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数的值解析设方程的两个实根、分别是直角三角形的锐角、的正弦则，又，因此化简得，解得或23检查，当初，；当初，因此评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法
5、是利用韦达定理和列方程求解要注意最后检查方程有无实数根7112已知方程的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求解析依照韦达定理，有并且因为其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，因此又有于是有解得7113若直角三角形中的两个锐角、的正弦是方程的两个根；（1）那么，实数、应满足哪些条件？（2）假如、满足这些条件，方程的两个根是否等于直角三角形的两个锐角、的正弦？解析（1）设、是某个直角三角形两个锐角，、是方程的两个根，则有由韦达定理，,又，于是，因为因此，因此，即由得，则故所求条件是，（2）设条件成立，则，故方程有两个实根：，由知，又，因此，故又，故因此，、为直角三角形两个锐角的正弦评注一般地，有，即
6、在中，7114已知方程的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求的值解析设题中所述的两个锐角为及，由题设得因为，故式两边平方，并利用恒等式，得再由得，解得由，及知因此7115不查表，求的四种三角函数值解析、这些特殊角的三角函数值，我们能够利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出同样，角的三角函数值，也能够利用直角三角形的性质将其推出如图所示在中，延长到，使，则设，则，因此，因此因此，评注将角的三角函数求值问题，通过结构适当的三角形，将它转化为角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已处理了的问题的措施，是我们研究处理新问题的重要措施依照互余三角函数关
7、系式，我们很轻易得到角的四种三角函数值7116求角的正切值（不查表，不借助计算器）解析，因此设法结构一个含角的直角三角形，用定义求值如图，中，延长到，使，则设，有，故7117求的值解析结构一个顶角为的等腰，如图，作内角平分线则，设，因为，故，而（），故，故，有（舍去）再作于H，则，因此评注本题所结构的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它能够求出半径为的圆内接正十边形的边长7118已知直角三角形中，求证：解析因为，因此从而又，因此，即7119在中，、分别是角、的对边，且，求解析依题意，可将边转化为角 设，则，于是题中条件化为令上述比值为，那么，因此有，从而得7120若为
8、三角形的最小内角，试求有关的方程的所有实根解析原方程显然有根，再求方程的实根为三角形最小内角，则，因此方程可整顿变形为，令，由知恒不小于零，即不存在使方程成立的实数故原方程仅有一个实根7121已知函数对于任意实数都有，且是三角形的一个内角，求的取值范围解析因为方程没有实数根，并依照，能够得到因此或因为，因此7122已知、是钝角，求证：（1）有关的方程有两个不相等的实根；（2）若是方程的根，则也是方程的根解析（1）因是钝角，故，于是，因此，方程有两个不相等的实根（2）设是方程的另一根，则由韦达定理，得，因为，故由、两式得因此，即也是的根7123已知，对于任意实数，都有，且是三角形的一个内角，求的
9、取值范围解析因对任意实数，二次函数y恒不小于0，因此，并且，因此，整顿得因，故,因此7124若、为实数，为锐角，求证：的绝对值小于1解析由，得，即，加一项减一项，得即，因为，因此，故7125已知，求证：（1）；（2）；（3）解析用定义将三角比表示成直角三角形对应边的比，然后利用边的不等关系证明作，使，作于，于由得射线与线段相交，设交于，则，因此在的延长线上，因此在的延长线上，得又，因此因为，因此，7126已知，求证：解析1结构，如图，则，（1）由+，得；（2）作高，中线，则，（以中线，高线重叠为面积最大）而，因此有，即又，因此由（1），（2）知，解析2又由，得，故有，由，知评注解析1同时也证明
10、了“斜边给定的直角三角形中，等腰直角三角形的面积最大”这一结论7127证明：对于任何实数、，有解析因为对于任意、，都有，因此而函数在上的值是伴随的增加而增加的，故7128若，试证明不能介于及之间解析假设，则有由题意知，则，即，又，从而，即，因此假设不成立，即命题成立7129设，且，求证：解析本题假如直接用代数措施，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂依照已知条件，联想到，因此可设，则将代数式转化为三角式，利用三角函数有关公式进行变形，这么会简便某些设，则评注在某些代数等式的证明中，假如已知条件或，则可设或从而将代数式转化为三角等式的证明问题，我们称这种转化为三角代换法因为三角函数的公式较多，
11、因此化为三角式后，运算化简常比较以便72解直角三角形721如图，在直角三角形中，是的平分线，且，求的三边长解析由角平分线想到对称性，考虑过作，交于，则由得在直角三角形中，则，因此，故的三边长分别为、，722在中（如图），、是斜边的三等分点，已知，试求的长解析作于，于；于，于令，则，在和中，由勾股定理，得，及，两式相加得，因此723如图，中，是的平分线，求点到直线的距离解析已知中，要求，可求出的正弦值，而，因而可先求出的长作于，有，设，由三角形内角平分线性质有，则中，即，得，故724已知是非等腰直角三角形，在所在直线上取两点、使，连结、已知求的值解析如图，过、两点作、分别交、于、易知，从而，因为
12、，则725设有一张矩形纸片（如图），现将纸片折叠，使点与点重叠，试求折痕的长解析设是矩形对角线的中点连结，由折叠知，故，即由，得，从而在中，故又由得，因此，726已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为，面积为，求证：此三角形为等腰三角形解析由题意可设，则，即，得于是，由，得、是方程的两个根而此方程有两个相等的根，因此，即此三角形为等腰三角形评注也能够直接由，得727在中，其周长为，且已知斜边上的中线长为1假如，求的值解析因为斜边长是斜边上中线长的2倍，故于是，由题设及勾股定理，得把式两边平方，得再由得由、知，、分别是二次方程的两根，解得因为（即），故，因此728已知、分别是中、，的对边，且、是有关的一元二次方程的两个根（1）判断的形状；（2）若求、解析（1）依照题意，尝试从边来判断因为，因此，从而知是直角三角形，（2）由，得令，则，于是，得，从而有，729在中，且两直角边长满足条件（1）证明：；（2）当取最小值时，求中最小
