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1、北 京 交 通 大 学2024-2025-2-复变函数与积分变换A期末考试试卷(B)参考答案一填空题（本题满分14分，每空1分），请将合适的答案填在空中.1复数，则_；_；_ _，复数的三角表达式为_ 指数表达式为_解：因为所以，；，复数的三角表达式为，指数表达式为.2方程的全部根是34函数在复平面上的连续性为在除去原点和负实轴的平面上连续.5若幂级数在处发散，则该级数在的敛敛性为发散6映射将带形域映照成角形域.7幂函数，把扇形域映照为平面上的扇形域.8在傅氏变换意义下，函数和的卷积定义.9设，则=.二推断下列命题的真假（本题满分10分，共有10道小题，每道小题1分），对的填“”，错的填“”.
2、（）1指数函数是以为周期的周期函数. （）2正弦函数肯定是有界函数. （）3奇点肯定是孤立奇点. （）4在可导是在解析的充分条件. （）5若和都是D内的调和函数，且满意柯西-黎曼方程，则 在区域D内是解析函数.（）6若积分，C是一条简洁闭曲线，则在C内无奇点.（）7幂级数的收敛半径为1，则在上的点肯定到处收敛.（）8函数是的共轭调和函数.（）9假如无穷远点是的一阶极点，则是的一阶极点，并且. （）10映射在平面上每一点都具有伸缩率和旋转角的不变性.三探讨函数的可导性、解析性（8分）.解：设，则到处可微且但即仅在点处满意柯西-黎曼方程，因此，在点处可导，但在整个复平面上不解析.四在扩充复平面上找
3、出函数的孤立奇点并加以分类，若是极点，指出其阶（或级）数，最终分别计算在每个孤立奇点的留数（8分）.解：所以，共有两个一阶极点和一个无穷远点.五1.证明: 当C为任何不通过原点的闭曲线时，；（3分）.2. 沿怎样的简洁闭曲线有；（3分）.3. 计算 ，.（3分）；1. 证明：当C不包含时，由柯西定理得，；当C包含时，由高阶导数的柯西积分公式得，2. 当均不被简洁曲线C包围或全部被包围时，.3. 六计算，这里曲线C为，方向分别取逆时针和顺时针方向 （6分）.解：七将函数分别在圆环与内展成罗朗级数 （8分）.解：（1）当时，（2）当时，八计算 （8分）.解：原式=九计算 （8分）.解：设，则，原式在内，有一个二阶极点和一个一阶极点， 所以，原式十探讨将半径为1，圆心分别在和处的两圆的公共部分在分式线性映照下的图形 （8分）.解：两圆和的交点为，两圆在的夹角分别为，该分式线性映照将映成原点，而把映成，且，因此，分式线性映照在是共形映照，所给的区域经映照后映照成以原点为顶点的角形区域，张角等于.另外，为了确定角形域的位置，取，所以，所得的角形域如右图所示：十一. 求函数的傅氏变换 （6分）.解： 十二.用拉普拉斯变换和它的逆变换求下列一阶常系数非齐次常微分方程的解： （6分）.解：作Laplace变换，记Y(s)=Ly(t), 则 第 8 页 共 8 页
