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1、专题18 等差数列与等比数列基本量的问题【自主热身,归纳提炼】1、设Sn是等差数列an的前n项和,若a2a42,S2S41,则a10_【答案】. 8【解析】： 列方程组求出a1和d,则a10a19d.设公差为d,则解得所以a10a19d8.2、 已知等差数列an的前n项和为Sn.若S1530,a71,则S9的值为_【答案】： 9 解法1利用等差数列基本量；解法2利用等差数列的性质：等差数列项数与项数的关系：在等差数列an中,若m,n,p,qN*且mnpq,则amanapaq；等差数列任两项的关系：在等差数列an中,若m,nN*且其公差为d,则aman(mn)d.3、在各项均为正数的等比数列an
2、中,若a21,a8a66a4,则a3的值为_【答案】： 【解析】：由a8a66a4得a2q6a2q46a2q2,则有q4q260,所以q23(舍负),又q0,所以q,则a3a2q. 等差、等比数列基本量的计算是高考常考题型,熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键,值得注意的是等比数列的通项公式的推广“anamqnm(nm)”的应用4、已知等比数列an的前n项和为Sn,且,a4a2,则a3的值为_【答案】：. 【解析】： 两个已知等式均可由a3和公比q表示由已知,得解得5、记等差数列an的前n项和为Sn.若am10,S2m1110,则m的值为_【答案】： 6【解析】：由S2m
3、1(2m1)a1(m1)d(2m1)(2m1)am得,11010(2m1),解得m6.6、已知各项都是正数的等比数列an的前n项和为Sn,若4a4,a3,6a5成等差数列,且a33a,则S3_【答案】：. 【解析】：设各项都是正数的等比数列an的公比为q,则q0,且a10,由4a4,a3,6a5成等差数列,得2a34a46a5,即2a34a3q6a3q2,解得q.又由a33a,解得a1,所以S3a1a2a3. 7、知是等比数列,是其前项和若,则的值为 【答案】2或6【解析】由,当左边=右边=显然不成立,所以,则有,因为,所以,即,所以或,所以.【易错警示】若用到等比数列的前项公式,要讨论公比是
4、否为1；方程两边,若公因数不为0,可以同时约去,若不确定是否为0,要移项因式分解,转化成乘积为0的形式再求解,否则会漏解.8、九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为_升【答案】：. 【解析】：设该等差数列为an,则有S43,a9a8a74,即a8,则有即解得a1.9、 等差数列an的前n项和为Sn,且anSnn216n15(n2,nN*),若对任意nN*,总有SnSk,则k的值是_10、若等比数列an的各项均为正数,且a3a12,则a5的最小值为 【答案】：8 【解析】： 因为a3a1
5、2,所以,即所以,设,即,所以,当且仅当,即时取到等号.【问题探究,变式训练】例1、已知公差为d的等差数列的前n项和为Sn,若3,则的值为_【答案】：. 【解析】：设等差数列an的首项为a1,则由3得3,所以d4a1,所以.【变式1】、设是等差数列的前n项和,若,则= 【解析】 由,得,由S3,S6- S3,S9- S6成等差数列,故S6- S3 = 2S3,S9- S6 = 3S3 = S6,解得=【变式2】、 设是等比数列的前n项和,若,则= 【解析】 由,得,由S5,S10- S5,S15- S10,S20- S15成等差数列,故S10- S5 = 2 S5,S15- S10 = 4S5
6、,S20- S15 = 8S5,所以,故【变式3】、 设是等比数列的前n项和,若,则= 【解析】 由,得,则【关联1】、设数列an的前n项和为Sn,满足Sn2an2,则_.【解析】： 4 求出a1及an1与an间的递推关系由Sn2an2和Sn12an12,两式相减得an12an0,即an12an.又a1S12,所以数列an是首项为2、公比q2的等比数列,所以q24.【关联2】、Sn是等差数列an的前n项和,若,则_.【答案】： 解法1 由可得,当n1时,所以a22a1. da2a1a1,所以.解法2 ,观察发现可令Snn2n,则anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n,所以.【关联3】、 已
7、知等差数列an和bn的前n项的和分别是An和Bn,且,使得为整数的正整数n的个数为 【解析】,所以,要使得为整数,则n+1为18的因数, n=1,2,5,8,17,所以,使得为整数的正整数n共有5个例1、已知数列an是公差为正数的等差数列,其前n项和为Sn,且a2a315,S416.(1) 求数列an的通项公式(2) 设数列bn满足b1a1,bn1bn.求数列bn的通项公式；是否存在正整数m,n(mn),使得b2,bm,bn成等差数列？若存在,求出m,n的值；若不存在,请说明理由【解析】： (1) 设数列an的公差为d,则d0.由a2a315,S416,得解得或(舍去)所以an2n1.(4分)
8、(2) 因为b1a11,bn1bn, (6分)即b2b1,b3b2,bnbn1,n2,累加得bnb1,(9分)所以bnb11.又b11也符合上式,故bn,nN*.(11分)解后反思 对于研究与整数有关的问题,一般地,可利用整数性或通过求出某个变量的限制范围,利用整数的性质进行一一地验证【变式1】、设an是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足,S7 = 7（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m,使得为数列an中的项【解析】（1）设公差为d,则,得,因为d 0,所以,又由S7 = 7得a4 = 1,解得a1 = -5,d = 2,所以,（2）,令,则, 因为t是
9、奇数,所以t可取的值为,当t = 1,m = 1时,是数列中的项；当t = -1时,m = 0（舍）,所以,满足条件的正整数m = 1【变式2】、已知数列an的前n项和为Sn,数列bn,cn满足(n1)bnan1,(n2)cn,其中nN*.(1) 若数列an是公差为2的等差数列,求数列cn的通项公式；(2) 若存在实数,使得对一切nN*,有bncn,求证：数列an是等差数列思路分析 (2) 若数列an是公差为d的等差数列,则an1d,d,所以bncnd.因此要先证bncn是常数【解析】： (1) 若数列an是公差为2的等差数列,则.(2分)所以(n2)cnn2,得cn1.(4分)(2) 由(n
10、1)bnan1,得n(n1)bnnan1Sn,从而(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1.两式相减,得(n1)(n2)bn1n(n1)bn(n1)an2(n1)an1,即(n2)bn1nbnan2an1.(*)(6分)又(n2)cn(n1)bn,所以2(n2)cn2(n1)bn(n2)bn1nbn,整理,得cn(bnbn1)(9分)因为bncn对一切nN*恒成立,所以bncn(bnbn1)对一切nN*恒成立,得cn,且bnbn12.而bn,bn1,所以必有bnbn1.综上所述,bncn对一切nN*恒成立(12分)此时,由(*)式,得an2an12对一切nN*恒成立(14分)对(n1)bna
11、n1,取n1,得a2a12.综上所述,an1an2对一切nN*恒成立所以数列an是公差为2的等差数列(16分)思想根源 若数列an是公差为d的等差数列,则是公差为d的等差数列【关联1】、已知数列an的前n项和为Sn,a13,且对任意的正整数n,都有Sn1Sn3n1,其中常数0.设bn (nN*)(1) 若3,求数列的通项公式；(2) 若1且3,设cnan3n(nN*),证明数列是等比数列；(3) 若对任意的正整数n,都有bn3,求实数的取值范围【解析】： 因为Sn1Sn3n1,nN*,所以当n2时,SnSn13n,从而an1an23n,n2,nN*又在Sn1Sn3n1中,令n1,可得a2a12
12、31,满足上式,所以an1an23n, nN* (2分)(1) 当3时, an13an23n,nN*,从而,即bn1bn,又b11,所以数列是首项为1,公差为的等差数列,所以bn.(4分)(2) 当0且3且1时,cnan3nan123n13n an13n1(33) (an13n1)cn1, (7分) 又c130,所以是首项为,公比为的等比数列,cnn1(8分)(3) 在(2)中,若1,则cn0也可使an有意义,所以当3时,cnn1.从而由(1)和(2)可知 (9分)当3时,bn,显然不满足条件,故3.(10分)当3时,bnn1.若3, 0,bnbn1,nN*,bn1,),不符合,舍去. (11分)若00,0,bnbn1,nN*,且bn0.所以只需b113即可,显然成立故01符合条件； (12分)若1,bn1,满足条件故1符合条件；(13分)若13,0,从而bn0.故bn,要使bn3恒成立,只需3即可所以1. (15分)综上所述,实数的取值范围是.(16分)【关联2】、已知数列an的各项均为正数,记数列an的前n项和为Sn,数列a的前n项和为Tn,且3TnS2Sn,nN*.(1) 求a1的值；(2) 求数列an的通项公式；(3) 若k,tN*,且S1,SkS1,StSk成等比数列,求k和t的值 第(2)问,由于式子“
