《（课标专用 5年高考3年模拟A版）高考数学 专题九 平面解析几何 5 抛物线及其性质试题 文-人教版高三数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（课标专用 5年高考3年模拟A版）高考数学 专题九 平面解析几何 5 抛物线及其性质试题 文-人教版高三数学试题（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抛物线及其性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点抛物线的定义及标准方程了解抛物线的定义,并会用定义进行解题;掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2019课标全国,21,12分抛物线定义及方程圆的方程,圆的几何性质,抛物线的几何性质抛物线的几何性质知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);能用其性质解决有关抛物线的问题,了解抛物线的一些实际应用2019课标全国,9,5分抛物线的几何性质椭圆的几何性质2016课标全国,5,5分抛物线的几何性质等轴双曲线直线与抛物线的位置关系会用代数法和数形结合法判断
2、直线与抛物线的位置关系;根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题2018课标全国,20,12分直线与抛物线的位置关系直线的方程,定值问题的证明2019课标全国,21,12分直线与抛物线的位置关系直线过定点,圆的方程,直线与圆的位置关系分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着重于对数学思想方法
3、及数学语言的考查.破考点 练考向【考点集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.(2019河北衡水三模,6)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=()A.6B.5C.4D.3答案A2.(2020届贵州贵阳摸底,14)若直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F,与C相交于A,B两点,且线段AB的中点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为.答案y2=4x或y2=8x3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,
4、|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案54考点二抛物线的几何性质1.(2019皖中地区调研,9)抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.22D.324答案D2.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则|AF|BF|AF|+|BF|=()A.a2B.a4C.2aD.4a答案B考点三直线与抛物线的位置关系答案B2.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,
5、则p=,1|AF|+1|BF|=.(本题第一空2分,第二空3分)答案2;13.(2020届河南百校联盟10月联考,20)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线l:y=x+1与抛物线C相切于点P,过点P作抛物线C的割线PQ,割线PQ与抛物线C的另一个交点为Q,A为线段PQ的中点,过A作y轴的垂线,与直线l相交于点N,M为线段AN的中点.(1)求抛物线C的方程;(2)求证:点M在抛物线C上.答案(1)由y=x+1,y2=2px得y2=2p(y-1),即y2-2py+2p=0.(1分)依题意得,=(-2p)2-8p=0,由p0,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(4分)(2)证
6、明:将p=2代入得y2-4y+4=0,解得y1=y2=2,将y=2代入y=x+1,得x=1,所以点P(1,2).(5分)设Q(m,n),则n2=4m,因为A为线段PQ的中点,所以Am+12,n+22.(7分)联立y=x+1,y=n+22,得Nn2,n+22,所以线段AN的中点M的坐标为m+n+14,n+22,(9分)又4m+n+14=n24+n+1=n+222,满足y2=4x,(11分)所以线段AN的中点M在抛物线C上.(12分)炼技法 提能力【方法集训】方法1求抛物线的标准方程的方法1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p0)的焦点,且与抛物线交于A、B
7、两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6xD.y2=-4x答案B2.(2019湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是()A.y2=8xB.x2=8yC.y2=4xD.x2=4y答案A3.(2020届山西康杰中学期中,14)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=35,则此抛物线的方程为.答案y2=4x或y2=-36x方法2抛物线定义的应用策略1.过抛物线y2=2px(p0)的
8、焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=()A.8B.132C.6D.92答案D2.(2019宁夏银川质量检测,14)已知P是抛物线y2=4x上一动点,定点A(0,22),过点P作PQy轴于点Q,则|PA|+|PQ|的最小值是.答案23.(2019河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则PAF周长的最小值为.答案13方法3与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法1.(2018福建莆田模拟,6)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F作直线l
9、与C交于A,B两点.若|AB|=10,则OAB的重心的横坐标为()A.43B.2C.83D.3答案B2.(2019湖南衡阳一模,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与C交于A、B两点,且线段AB中点的纵坐标为2,O为坐标原点,则AOB的面积为()A.22B.2C.2D.4答案A3.(2020届云南师范大学附中第二次月考,20)过F(0,1)的直线l与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,以A,B两点为切点分别作抛物线C的切线l1,l2,设l1与l2交于点Q(x0,y0).(1)求y0;(2)过Q,F的直线交抛物线C于M,N两点,证明:QFAB,并求四边形AMBN面积的最小值.答案(
10、1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=kx+1,联立x2=4y,y=kx+1得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,由x2=4y得y=x24,则y=12x,所以l1:y-y1=12x1(x-x1),即l1:y=12x1x-x124,同理l2:y=12x2x-x224,由y=12x1x-x124,y=12x2x-x224,x1+x2=4k,y1=kx1+1得x=x1+x22=2k,y=-1,所以y0=-1.(2)因为QF=-x1+x22,2,AB=(x2-x1,y2-y1),所以QFAB=-x22-x122+2(y2-y1)=-x22-x122+x22-x1
11、22=0,所以QFAB,即MNAB.由(1)得|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,同理|MN|=4k2+4,则S四边形AMBN=12|AB|MN|=8(k2+1)1k2+1=8k2+1k2+232,当且仅当k=1时,取“=”.所以四边形AMBN面积的最小值为32.【五年高考】A组统一命题课标卷题组1.(2019课标全国,9,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D2.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A.12B
12、.1C.32D.2答案D3.(2018课标全国,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.答案(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=
13、0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.4.(2017课标全国,20,12分)设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线
14、与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.答案(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22m+1.从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.5.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.答案由题设知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则
