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1、专题8二次函数与矩形存在性问题1.矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角为直角的四边形是矩形2.题型分析矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个下：同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标. 【例1】（2022泸州）如图，在平面直角坐标
2、系xOy中，已知抛物线yax2+x+c经过A（2，0），B（0，4）两点，直线x3与x轴交于点C（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x3交于点D，E，且BDO与OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【例2】（2022绥化）如图，抛物线yax2+bx+c交y轴于点A（0，4），并经过点C（6，0），过点A作ABy轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC
3、，BD点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EFAB于F，以EF为对角线作正方形EGFH（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由【例3】（2022黔东南州）如图，抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DMx轴，垂足为点M，DM交直
4、线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【例4】（2022梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC2OA（1）试求抛物线的解析式；（2）直线ykx+1（k0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条
5、件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由1（2022武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：yx2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A（6，0）、B（2，0）两点（1）求抛物线L1的函数表达式；（2）将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若
6、不存在，请说明理由2（2022东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，ABy轴于点BABC绕点B逆时针旋转90得到OBE，连接DE当+bx+c0时，x的取值范围是x2（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：四边形OBED是矩形；（3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP使得OPD+DOE90，求点P的坐标3（2022石家庄二模）如图，抛物线yx2+bx+c（c0）与x轴交于点A（1，0），B（点A在点
7、B左侧），与y轴交于点C，连接BC（1）点C的纵坐标为 （用含b的式子表示），OBC 度；（2）当b1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围4（2022滨海县一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y2x+m交y轴于点MP为直线BC上方抛物线上
8、一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F（1）求抛物线的表达式：（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求PBC的面积：（3）若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；在的条件下，第四象限内有一点Q，满足QNQM，当QNB的周长最小时，求点Q的坐标5（2022石家庄模拟）某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平
9、距离；（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下6（2022朝阳区校级一模）已知二次函数yx22mxm与y轴交于点M，直线ym+5与y轴交于点A，与直线x4交于点B，直线y2m与y轴交于点D（A与D不重合），与直线x4交于点C，构建矩形ABCD（1）当点M在线段AD上时，求m的取值范围（2）求证：抛物线yx22mxm与直线ym+5恒有两个交点（3）当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而
10、减小时，求m的取值范围（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围7（2022长春一模）已知抛物线yx22mx+2m+1（1）写出抛物线yx22mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）（2）当x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 （3）当1x2时，函数yx22mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0当y01时，求m的值（4）当m0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值8（2021
11、咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围9（2022白山模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2x+b（b为常数，b0）与y轴交于点A，且点A的坐标为（0，3），过点A作垂直于y轴的
12、直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其横坐标为m+1以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求b的值；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN为正方形时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围10（2021吉林四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx与x轴交于点A（5，0），与该抛物线的对称轴l交于点B，作直线ABP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点Q，过点P作PNl于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN（1）求抛物线的解析式
13、；（2）求直线AB的解析式；（3）当该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标；（4）当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等时，直接写出m的值11（2021南关区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线yx22axa（a为常数）（1）当（，m）在抛物线上，求m的值（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值（3）已知A（1，1）、B（1，2a），连接AB当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自
14、变量x的增大而减小时，求a的取值范围当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值12（2021吉林二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴正半轴交于点A，过点A的直线ykx+b（k0）与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）当点P与点A重合时，求点E的坐标；（3）当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；（4）当矩形CDEF
15、的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围13（2020吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为m+以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求b的值（2）当点Q与点M重合时，求m的值（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围14（2022长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，1）和（2，7），点A在这个
