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1、全国初中数学竞赛试题和答案解析一、选择题：（本题满分42分，每题7分）1已知为整数，且满足，则的也许的值有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得，显然均不为0，因此0或.若，则.又为整数，可求得或因此或.因此，的也许的值有3个.2已知非负实数满足，则的最大值为 （ ）A B C D【答】 A.，易知：当，时，取得最大值.3在中，为的中点，于，交于，已知，则 （ ）A B C D【答】 B.因为，因此四点共圆，因此，又，因此，因此.又易知，因此，从而可得.46张不一样的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字能够作为三
2、角形的三边长的概率是 （ ）A B C D【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2228种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3412种取法.因此，从6张不一样的卡片中取出3张，共有81220种取法.要使得三个数字能够组成三角形的三边长，只也许是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），因为不一样的卡片上所写数字有重复，因此，取出的3张卡片上所写的数字能够作为三角形的三边长的情况共有428种.因此，所求概率为.5设表示不超出实数的最大整数，令.已知实数满足，则 （ ）A B C D1【答】 D.设，则，因此，因式分解得，因此.由解得，显然，因此1.6在中
3、，在上，在上，使得为等腰直角三角形, ,则的长为 （ ）AB C D【答】 A.过作于，易知，.设，则，故，即.又，故可得.故.二、填空题：（本题满分28分，每题7分）1已知实数满足，则_【答】 0.由题意知，因此整顿得，因此0.2使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为 【答】144.由条件得，由的唯一性，得且，因此，因此.当初，由可得，可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.3已知为等腰内一点，为的中点，与交于点，假如点为的内心，则 【答】.由题意可得，而，因此，从而可得.又，因此，从而.因此， ，因此.4已知正整数满足:，则 【答】36.设的最大条约数为，均为正整数且，
4、则，因此，从而，设（为正整数），则有，而，因此均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.又，故，即.注意到，因此或.若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.若，则，验算可知只有满足等式，此时，符合题意.因此，所求的.三、（本题满分20分）设实数满足，求的值解 由已知条件可得，.设，则有， 5分联立解得或. 10分若，即，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根； 15分若，即，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.因此. 20分四、（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足, 的延长线与的外接圆交于点. 证明：证明 由是平行四边
5、形及已知条件知.5分又A、B、F、 D四点共圆，因此， .10分因此， 15分因此. 20分又，因此，故. 25分五、（本题满分25分）设是整数，假如存在整数满足，则称具备性质.（1）试判断1，2，3是否具备性质；（2）在1，2，3，这个连续整数中，不具备性质的数有多少个？解 取，可得，因此1具备性质；取，可得，因此2具备性质；5分若3具备性质，则存在整数使得，从而可得，故，于是有，即，这是不也许的，因此3不具备性质. 10分（2）记，则.即 15分不妨设，假如，即，则有；假如，即，则有；假如，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具备性质.20分又若，则，从而，进而可知.综合可知：当且仅当或（为整数）时，整数不具备性质.又92237，因此，在1，2，3，这个连续整数中，不具备性质的数共有2242448个. 25分
