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1、2023年北京海淀区高三二模数学试卷一、单选题1、已知集合，则（）A. B. C. D. 2、在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（）A. B. C. 2D. 3、若的展开式中常数项为，则（）A. 5B. 6C. 7D. 84、下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D. 5、已知等差数列的前项和为，则的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 46、抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（）A. B. C. D. 7、芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术
2、革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的图是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有个坏点，若将其按照图的方式切割成个大小相同的正万形，得到块第代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第代芯片的产品良率为若将这块原材料切割成个大小相同的正方形，得到块第代芯片，则由这块原材料切割得到第代芯片的产品良率为（）A. B. C. D. 8、已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（）A.
3、1B. C. D. 9、已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10、已知动直线与圆交于，两点，且若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（）A. B. 1C. D. 2二、填空题11、在复平面内，复数所对应的点为，则12、已知双曲线经过点，渐近线方程为，则的标准方程为13、如图，在中，是边上一点，则；的面积为14、设函数，若，则不等式的解集为；若，且不等式的解集中恰有一个正整数，则的取值范围是15、在数列中，设向量，已知 ，给出下列四个结论：；，；，；，其中所有正确结论的序号是三、
4、解答题16、已知函数，且(1)求的值和的最小正周期；(2)求在上的单调递增区间17、某大学学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表(1) 求的值，并估计学院学生5月份累计跑步里程s（）在中的男生人数；(2) 从学院样本中5月份累计跑步里程不少于的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为X，求X的分布列及数学期望；(3) 该大学学院男生与女生人数之比为，学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样已知学院和学院的样
5、本数据整理如下表5月份累计跑步里程平均值（单位：）设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得?如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由18、如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为的中点(1)求证：平面；(2)若，二面角的大小为，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知求的长条件：；条件：19、 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，直线的方程为(1) 求椭圆的方程及离心率；(2) 是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点求的大小20、已知函数(1)求曲线在点
6、处的切线方程；(2)求证：；(3)若函数在区间上无零点，求a的取值范围21、设为整数有穷数列的各项均为正整数，其项数为m（）若满足如下两个性质，则称为数列：，且；(1)若为数列，且，求m；(2)若为数列，求的所有可能值；(3)若对任意的数列，均有，求d的最小值1 、【答案】 B;【解析】 因为，所以，.故选： 2 、【答案】 A;【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】由三角函数的定义可知，故选：A3 、【答案】 A;【解析】 的展开式通项为.故常数项为，得.因此正确答案为：A.4 、【答案】 D;【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐
7、一判断.【详解】对于A, 的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故 为偶函数，故C错误，对于D， 由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，故选：D5 、【答案】 B;【解析】 【分析】设公差为，根据等差数列的通项公式求出，即可得到的通项公式，再令，即可求出的最大值.【详解】设公差为，因为，所以，解得，所以，令，解得，所以当或时取得最大值，且.故选：B6 、【答案】 D;【解析】 【分析】根据点与抛物线的位置即可求解.【详解】在轴上，所以
8、在抛物线外部，将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，将代入抛物线中，则，所以在抛物线内部，将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点在抛物线内部，故当点位于点处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点，故选：D7 、【答案】 C;【解析】 通过题意将这块原材料如下切割得到第代芯片，其中块无坏点，块有坏点，故第代芯片的产品良率为.因此正确答案为：C8 、【答案】 C;【解析】 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，进而根据线线垂直得到勾股定理，根据点到直线的距离最小即可求解的最小值.【详解】取边的中点为,连接 , P是CE的中点，则,由于,平面平面
9、,平面平面，平面, 故平面,平面, 故,在直角三角形中， , ,要使最小，则最小，故当时，此时最小，故的最小值为,所以，、故选：C9 、【答案】 C;【解析】 若，则存在唯一的实数，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件，若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件，故“”是“存在，使得”的充分必要条件，因此正确答案为：C10 、【答案】 D;【解析】 通过题意可知圆的圆心在圆上，则当动直线经过圆心，即点或与圆心重合时，如下图1所示，此时弦长取得最大值，且最大值为；设线段的中点为，在中，由，且，则，则动直线在圆上做切线运动，所以当动直线与轴垂直，且点的
10、坐标为时，如下图2所示，此时弦长取得最小值，且最小值为，所以的最大值与最小值之差为2因此正确答案为：D11 、【答案】 ;【解析】 通过题意可知 ，所以，因此正确答案为： 12 、【答案】 ;【解析】 由已知可得，双曲线的焦点位于轴上，设的标准方程为.因为双曲线经过点，所以，则双曲线的渐近线方程为，所以，所以的标准方程为.因此正确答案为：.13 、【答案】 ;【解析】 在中，由余弦定理，得 ，即，解得，所以，所以，所以.因此正确答案为：；14 、【答案】 ;【解析】 当时，和的图象如下图所示，由图像分析可得当时，；当时，的图象如下图所示，若不等式的解集中恰有一个正整数，则由图像分析可得，即，解
11、得，因此正确答案为：； 15 、【答案】 ;【解析】 对于，由已知可得，所以，.因为，所以有，解得，故有误；对于，所以，.因为，所以有，解得.同理可知，.所以有，.猜想，有，.（*）显然，当时，（*）式成立；假设时，（*）式成立，即，有，.因为，所以，.由已知可得，所以，所以.又，所以，所以.即，时，式子（*）也成立.所以，猜想正确.即，有，.所以， ，.猜想，.（*）当时，（*）式成立；假设当时，（*）式成立，即，.则，当且仅当，即时，等号成立.因为，所以.所以，当时，（*）式也成立.所以，故无误；对于，因为，所以，所以，所以，所以.又，所以.同理可知，.所以，故无误；对于，由（*）可得，.
12、所以，故无误.因此正确答案为：.16 、【答案】 (1)，(2)， ;【解析】 【分析】（1）根据代入求出，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；（2）由正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，且，所以，解得，所以 ，即，所以的最小正周期；（2）由，解得，所以的单调递增区间为，当时的单调递增区间为，当时的单调递增区间为，所以在上的单调递增区间为，.17 、【答案】 (1)，人(2)分布列见解析，(3)存在满足条件的，且的最大值为，;【解析】 【分析】（1）首先求出男女生人数之比，即可得到方程，求出的值，再由样本求出估计值；（2）依题意的可能取值为，求出所对应的概率，即可得
13、到分布列与数学期望；（3）设学院女生人数为，则男生人数为，求出，即可得到不等式，解得即可.【详解】（1）依题意，男女生人数之比为，所以，解得，故计学院学生月份跑步里程在中的男生人数为人.（2）依题意的可能取值为，所以，所以的分布列为所以（3）存在满足条件的，且的最大值为，设学院女生人数为，则男生人数为，则，而，依题意，即，显然，解得，所以的最大值为.18 、【答案】 (1)证明见解析(2)12.;【解析】 （1）取的中点，连接，分别为的中点，是的中位线，且，又为的中点，且，且，四边形是平行四边形，平面平面，平面.（2）选择条件：,平面，,平面，平面, 平面,底面为菱形，为的中点,是等边三角形，以为轴，为轴,为轴，建立空间直角坐标系，设,则,设平面法向量为,设平面法向量为,令,则,二面角的大小为 ，, 选择条件：平面，,取的中点，,平面，平面, 平面,底面为菱形，为的中点,是等边三角形，以为轴，以为x轴，以为轴设,则,设平面法向量为,令 则,设平面的法向量为,令,则,二面角的大小为 ，, 19 、【答案】 (1)，(2) ;【解析】 （1）因为直线的方程为，所以，即，所以，所以椭圆方程为，离心率（2）通过题意，设，
