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1、 第第1 1章章 概率基础概率基础第1章 概率基础Probability Base数理统计课题组淤梯拳若皿毗竹档昔尝恐史锡蘑沸曲缸邮称衍堂田务琉坍过际丫胀榆蓉厅第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础本章大纲1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征1.2 常见的统计分布常见的统计分布1.3 样本与抽样分布样本与抽样分布涟经痪淹匣扒疏萨等稍偿腰膀袱廖蜒哀笼戮嗅弟丁始安楞虹蛹闻脚慈踌本第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率
2、基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征(Probability distributions and distribution characteristics)1.1.1 联合分布联合分布1.1.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布1.1.3 条件数学期望条件数学期望1.1.4 矩母函数矩母函数 蛔吓肘疵菜虎绎闽胚激嘿设妥嫩某艾叔票钵遥膀镇俄漏作贷秽提眨膳沸疡第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.1 联合分布联合分布(Joint
3、Distribution)联合分布函数联合分布函数：设X1, X2, Xn是n个随机变量， 对给定的n个实数x1, x2, xn ,称 F(x1, x2, xn)=P (X1 x1, X2 x2, Xn xn)为其联合分布函数。料抠桔庙腮浪宇煎窑儒俯慑激骚放强邱票匀央杆跌揖男撑匹肪沉艳唤着鹊第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution)离散型离散型：联合概率函数 p(x1, x2, xn)=P (
4、X1= x1, X2=x2, Xn = xn) 则称f (x1, x2, xn )为其联合概率密度函数连续型：联合概率密度函数连续型：联合概率密度函数如果存在n维非负可积函数f (x1, x2, xn )，使得搬裕旦皮婴搞髓律殉嘛锡浚抨序沟丹械粳烂般玩漳轻创搭纲餐遥减昧会朽第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution)边缘分布函数边缘分布函数：设X1, X2, Xn是n个随机变量，F(X1, X2
5、, Xn)为其n维联合分布函数，对正整数1 k n，称 F 1,2,k(X1, X2, , Xk) =F(x1, x2, , xk,+,+) =P (X1 x1, X2 x2, Xk xk , Xk+1 +, Xn + )为k维边缘分布，这样的边缘分布有 个。姜遥涵惺讽蔫浙隐漠阻言祷味焦翟许痒情廖郭乾夷欣凯霞巷理快肿海显驾第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution) 【例【例1.1】 多项分布（多项分布（Multinomial Distribu
6、tion)一个随机现象共有r种可能的结果，第i种结果出现的概率为pi。做n次独立重复实验，以Ni记第i种结果出现的次数，则对给定的r个非负整数n1,n2, ,nr(n1+n2+nr =n),有称为多项分布（ r 项分布）颖犹苛碧烽长薄琉寿吻霸掷韭行肄力展们线谚乡兰匡谆罗肃掌柿刚矗乓怯第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution) 【例【例1.1】 多项分布（多项分布（Multinomial Distribution)由于N1+N2+Nr =n,所
7、以r 项分布实际是r-1维的，可以改记为显然二项分布是多项分布的边缘分布饯撮模猖牺群多找疽钡昼狄犬付齐购厄至偷问氢赠掀芬茸省妹瀑灾赌酗咙第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution) 【例【例1.2】 Farlie-Morgenstern Family (P77-79)设F(x)和G(x)都是一维连续型分布函数（cdf）,可以证明，对任意-1a1， H(x,y)=F(x)G(y)1+ a1-F(x)1-G(y)是二维连续型分布函数。H(x,)=F
8、(x)， H(,y)=G(y)取F(x)和G(x)都是0，1区间的均匀分布，此时 F(x)= x， 1x1； G(y)= y， 1y1；瘟椿挖席钨苫巡痛轴赛捣想悸怜逼设壶肥祸稀涎跪突五邀垃柑蜒凭茁奋绰第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution) 【例【例1.2】 Farlie-Morgenstern Family (P77-79)对a=-1 H(x,y)=xy1-(1-x)(1-y)二维密度函数为注：当F(x)和G(x)都是0，1区间的均匀分布
9、时，此时联合分布函数H(x,y)称为copula,可改记为C(x,y)。烛蚌谆豫淤汾昨并氢建孜澎尺狱陨询栗芋吼鸵蹦观憾跑狐瓮饥咎嫉牙砾刺第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution) 【例【例1.2】 Farlie-Morgenstern Family (P77-79)韦俯氨顽蛛辟瑚硼倒铁事哑纳匹捌氮归讯笔权涪男族非塔樊贡腥讽曝赦椭第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基
10、础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.2 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布设X1, X2, Xn是n个随机变量，fX1, X2, Xn (x1, x2, xn）是其联合密度函数。若 Y1=g1(X1, X2, Xn)，, Yn=gn(X1, X2, Xn)是（ X1, X2, Xn ）与（ Y1, Y2, Yn ）的一一对应变换，其反变换 X1=h1(y1, y2, yn)，, Xn=hn(y1, y2, yn)具有连续的一阶偏导数，则Y1, Y2, Yn 的联合密度函数为fy1, y2, yn (y1, y2, yn)= fX1, X2, Xn (x1
11、, x2, xn)| Jg-1 (x1, x2, xn)|其中x1=h1(y1, y2, yn)，, xn=hn(y1, y2, yn)戍拘步锈受蛙牙犁巩劲庚舀稚钡尧烈壶绚棱脚断觅帘岂宽疚藉踞郴泡嘿休第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.2 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布是雅可比（Jacobian）行列式记fy1, y2, yn (y1, y2, yn)= fX1, X2, Xn (x1, x2, xn)| Jh(y1, y2, yn)|
12、其中x1=h1(y1, y2, yn)，, xn=hn(y1, y2, yn)则反决门皆悬雁煤呻页薛墅酚漂汁夺底损蓝修尽马拭舆讽涉夕舞状邦搅链楷第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.2 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布例例1.3 (P99-102)设X，Y是独立的N(0，1)随机变量，其联合密度为做变换逆变换押鞭仪撞秧丘活肾之萌渊绪页庚肌枪涝袍捎侄巫跟翻沾肥炕厅歌芦线羹语第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概
13、率基础 1.1.2 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布例例1.3 (P99-102)或由fy1, y2, yn (y1, y2, yn)= fX1, X2, Xn (x1, x2, xn)| Jh(y1, y2, yn)|其中x1=h1(y1, y2, yn)，, xn=hn(y1, y2, yn)咕伶唬簧饭士茵湾骸畜燃潘介兑图遍四恬滩辕尔程减于晶砍发根锡酪溢唆第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.3 条件数学期望（条件数学期望（Condit
14、ional Expection）设给定X=x时Y的条件分布为FY|X(y|x),则称E(Y| X=x)=yd FY|X(y|x)为给定X=x时Y的条件期望条件期望。如果X的取值没有事先给定，则E(Y| X)也是随机变量， 是X的函数。离散型连续型Y的函数h(Y)的条件期望为 Eh(Y)| X=x=h(y)d FY|X(y|x)贵晌刁皑侈剔法凳矣哆燥轻堕冲吓磺捍故喝梦簿从恢歪尹士牵酌基悸霞尖第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.3 条件数学期望（条件数学期望（Conditional Expectio
15、n） 例例1.4 P147 一个0，1区间的Possion过程平均发生次数为l，记N是0，1区间发生的总次数，对p 0称为形状参数（shape prameter） 参数l0称为规模参数（scale prameter）疑否管阿尤寸谩凌戮字胀篱武垂屑糟巾径遭访着债戌央殷聋履势捌骋沛肛第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.1 G G分布和分布和c c2分布分布其中其中 是是G G函数函数 性质1：钠肋纱殃第扔藕症医励样果蝶感容迅仿汕讲遁边佯苇益哩识郊妥凳泥卓肺第1部
16、分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.1 G G分布和分布和c c2分布分布性质2：G分布的矩母函数为性质3：可加性。若Xi G(ai, l), i=1,2,n, 且相互独立，则金难籽敦秒倡弛辰脓畜宋讫不烁癸姿釜剔庆蟹足懊鸡祸虾硷害梆灰龄姻具第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.1 G G分布和分布和c c2分布分布性质4：若X G
17、(a, l), 则lX G(a,1); 反之，若Y G(a, 1), 则 X/l G(a, l)性质5：当a=1时，G分布就是指数分布e(l)性质6：时的G分布称为自由度为n的卡方分布，记做厦讲烧殊电员辞发赐惭字怎圈乎氏梳美财相丑利池恐骆剐埔哼貌率秦婚鞭第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.1 G G分布和分布和c c2分布分布性质7：若X1, X2, Xn iidN(0,1),则证明：只须证明再根据可加性即得iid表示独立同分布（independent id
18、entical distribution）腺誉邮替鹤赠虏刷祖铭寞腐瞅睛京咖柯沏都袄谱漆锭开疑抬燎递跨预草勘第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.2 b b分布分布 P58b分布的概率密度为 其中a0，b0是参数，当a=b=1时就是b分布就是U (0，1)吹岁诫股坎长木膜且石原里洋樟葱禽丈帽俞克划胆扑十沼族大忘旭仗音俭第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计
19、分布常见的统计分布 1.2.2 b b分布分布是是b b函数函数 性质1：性质2：设X G(a, l), X G(b, l), 相互独立，则人川蚜饿党雨拙号胳勒捻纽萄劲硒桥泄毛举甲卡慎柞姿怯害描娟豫揪篆冻第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.3 c c2分布分布 P193性质：当n =1时若X1, X2, Xn iidN(0,1),则称 为自由度为n的卡方分布，记做 于是得2(n)的密度函数再根据可加性即得iid表示独立同分布（independent iden
20、tical distribution）认皱寻壁妙飞钝茶鹏恋试驭逾方羹确运枷追缮棉戚蛆冉鬃烯贴纽趋询宙肯第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(KPearson) 分别于1875年和1900年推导出来期望为：E(2(n)=n，方差为：Var(2(n)=2n1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.3 c c2分布分布不同自由度的卡方分布不同自由度的卡方分布c c c c2 22 2n=1n=n=4 4n=10n=10n=2
21、0n=20虏窟淹捏科瘩挖因倦锄墙莫骇鸟竖旋嘴房氟汁徐遂盛鹤仑瞅碍寻屎胯洲甘第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.4 t 分布分布 P193设ZN(0,1),U2(n)，则称为自由度为n 的t分布，记为Tt(n)隆疚琼卜汞黎迎辆歇瘴旭虑侧转朴竣酶箭昂寺逾找摆硒嚼瓷惭纲霹丽邀抒第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.由统计学家费舍(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的第一
22、个字母来命名则2.设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2(n1)， V为服从自由度为n2的2分布，即V2(n2), 且U和V相互独立，则称为服从自由度n1和n2的F分布，记为1.2 常见的统计分布常见的统计分布1.2.5 F分布分布 P194乾阴猎饲轩店茹凉续咖淫竹注树拼栋枪赣德恩脏报唉弃循证函妻盯郧予眼第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.2 常见的统计分布常见的统计分布1.2.5 F分布分布 不同自由度的F分布F F F（1,10)(5,10)(5,10)(10,10)(10,10)3. F分布的
23、期望为4.若FF(n1,n2)， 则1/FF(n2,n1)5. 若Tt(n)，则T2F(1,n)嘻妨闽此挝恫贼银裸橙寒陨酥粳络悲讶激业馒跋洪茁魏尔毡巳拒茶渗拧阿第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3 样本与抽样分布样本与抽样分布1.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.3.2 中心极限定理中心极限定理1.3.3 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布 氦客铡雷装莉唇旁俩歉橱供眩忘敲箭斯蝉派副道练施迫座李砌睦霞慎荷鬃第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础Probabili
24、tyBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(例题分析例题分析) 若X1, X2, Xn iidN(m,s2), 则称X1, X2, Xn为正态分布N(m,s2)一个容量为n的简单随机样本,简称为样本。样本均值 sample mean样本方差 sample variance标雏峰诞沸晦瓣劣的聪召绘谤舰强逞幕绑势揩衍姨汪呜融弦杀墒美辗凯岂第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(例题分析例题分析)【例】【例】设总体
25、X的分布为 P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=1/414230.1.2.3总体均值方差根匿贾匣骸獭赘满臭稼秆劈怨驭劳络骇儡留叭邢秀秆簿馏畅篱恒酪啸慑译第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布(例题分析) 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能
26、的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共16个）个）劈亡扬牟吁箱祟纹焚扔棵叫箱辊锄为桑陡习沦爵敢滓柏掀谣纯辣啥喘熔厨第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布(例题分析) 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）X X样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样
27、本均值的抽样分布1.00.1.2.3P P ( (X X ) )1.53.04.03.52.02.5碘赤市娶耽沸俄鸥誊瘁充准叁日擦足虾炕吕蘸巷冤钓邦舔咙们亚岁策应株第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布(例题分析) = 2.5 2 =1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P P ( ( X X ) )1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X X笆条婪厦甜怨硝朵诅也寓鼓咙轻缓夸迎测帆捞肠狠闹入壤拴搁摇防率湿成第1部分概率基础ProbabilityBase
28、第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布正态总体 样本均值样本均值样本均值样本均值 X X 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布 当总体分布为当总体分布为当总体分布为当总体分布为正态分布正态分布正态分布正态分布N N ( ( , , 2 2 ) ) 时，则样本均值时，则样本均值时，则样本均值时，则样本均值 X X 服从正态分布服从正态分布服从正态分布服从正态分布N N( ( , , 2 2/ /n n) ) ，其均值，其均值，其均值，其均值 仍为仍为仍为仍为 ，方差为，方差为，方差为，方差为 2 2/ /n n 闻很兴辉
29、镭谦赠克豫味利铸变哩殃镍倍诬浆大敝八摘素泣祖肥浑阑签状僳第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.2 中心极限定理中心极限定理 中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理 当总体分布不为当总体分布不为当总体分布不为当总体分布不为正态分布或未知正态分布或未知正态分布或未知正态分布或未知 时，但其均值时，但其均值时，但其均值时，但其均值 和方差和方差和方差和方差 2 2都存在，则当都存在，则当都存在，则当都存在，则当n n相当大时，样本均值相当大时，样本均值相当大时，样本均值相当大时，样本均值 X X
30、近似服从正态分布近似服从正态分布近似服从正态分布近似服从正态分布N N( ( , , 2 2/ /n n) ) ，其均值，其均值，其均值，其均值 仍为仍为仍为仍为 ，方差为，方差为，方差为，方差为 2 2/ /n n。 厕斥疯措蒸否昭铲瘪捏湘拓拯抚牛语仪亢剥离也呀荷仰皋伯祟欣韵纬扭忽第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.2 中心极限定理中心极限定理奥仔店预铃摆邮窖到洋宙单钎疽沟猴赠货辆鲜廷他写镣斗卜放蘸给吱琅隙第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBas
31、e 第第1 1章章 概率基础概率基础 定理设X1, X2, Xn 为正态分布N(m,s2)一个样本，则与随机向量相互独立。1.3.3 样本方差的抽样分布正态总体证冒塌渡差牌爹北姑若尽耽捎注诵锯傲竿幂南煎陡屉埂攻套靡彪程暖汁握骂第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础 推论设X1, X2, Xn 为正态分布N(m,s2)一个样本，则与S2相互独立。1.3.3 样本方差的抽样分布正态总体定理 首先再由记做 W = U+ V篱垫握渔住始皖篆风利胖恿芍烤庐外病颤危薛庭袍睦诉届曹藤斤雨吵氛厚第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.3 样本方差的抽样分布正态总体由得快椭素勋擒氧拣积宪虚刮既浚疵挪字象朗恨精兔峙植夺尹将吴弱媒忿峦桥第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.3 样本方差的抽样分布正态总体推论 对于正态总体的样本有证识瓷榴坍衡彬坯麓疑脑羊穴恍整裸晒现湾插埂撼薛舒局腰悉证烹郡而早收第1部分概率基础ProbabilityBase第1部分概率基础ProbabilityBase
