《高等数学课件：6-4微积分基本定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：6-4微积分基本定理（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 6.4 微积分基本定理 上述结果对你有什么启发？ 设有一物体在一直线上运动 时刻t时物体所在位置为s(t) 速度为v(t)s(t) 则物体在时间间隔 a, b内经过的路程有以下两种表示 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 变上限定积分 设函数f(x)在区间a, b上连续 x为区间a, b上的任意一点 则函数f(x)在部分区间a, x上的定积分是区间a, b上的函数 记为 定理61(变上限定积分的导数) 如果函数f(x)在区间对积分上限x的导数等于被积分(变上限定积分) a, b上连续 则函数函数在上限x处的值 即首页上一页下一页结
2、束微积分 (第三版) 教学课件 x 简要证明 若x (a，b)， p p(xx) p(x) 应用积分中值定理，有pf (x)x，其中x在x 与xx之间，即当x0时，xx 于是由 f (x) 的连续性,取x,使x x(a，b)首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理62(原函数存在定理) 如果函数f(x)在区间a, b上连续 则函数 是函数f(x)在区间a, b上的一个原函数 说明 这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理62(原函数存在定理) 如果函数f(x)在区间
3、a, b上连续 则函数 是函数f(x)在区间a, b上的一个原函数 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 sin xsin u2x sinx2xsinx2上述过程可简化如下:= 2xsinx2 sinx 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 更一般地，由即可得结论.变限积分函数的求导公式：变限积分函数的求导公式：首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例如 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理63(莱布尼茨公式) 如果函数f(x)在区间a, b上连续 且F(x)是f(x)的一个原函数 则 证证所以首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课
4、件 说明 牛顿莱布尼茨公式表明 要求函数f(x)在区间a, b上的定积分 只需求出f(x)在a, b上的一个原函数F(x) 并计算它由端点a到端点b的改变量F(b)F(a)即可 注意注意首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理63(莱布尼茨公式) 如果函数f(x)在区间a, b上连续 且F(x)是f(x)的一个原函数 则 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理63(莱布尼茨公式) 如果函数f(x)在区间a, b上连续 且F(x)是f(x)的一个原函数 则 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 由定积分的可加性 因此 k 2k0 解得 k0 1 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 f (x)x1 f (x)1 令f (x)0 得x1 因为f (1)0 所以f(1)为极小值 极小值为 注:如果函数在所讨论的区间上不满足可积条件,则定理6.3不能使用.例如,下例解法是错的.作业:p261 4(1)(4)5(4)(9)(13)(16),14(2)
