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1、新宁一中高二数学新宁一中高二数学1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积新宁一中高二数学新宁一中高二数学一、求曲边梯形面积的一般步骤一、求曲边梯形面积的一般步骤二、定积分二、定积分1.函数函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分的概念上的定积分的概念;4.定积分是变量还是常量定积分是变量还是常量?5.定积分的作用是什么定积分的作用是什么?教材研读教材研读新宁一中高二数学新宁一中高二数学微积分在几何上有两个基本问题微积分在几何上有两个基本问题1.1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.2.如何求曲线
2、下方如何求曲线下方“曲线梯形曲线梯形”的面积。的面积。xy0xy0xyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？新宁一中高二数学新宁一中高二数学 一般地一般地, , 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间I I上的图象是一条连续不断的曲线上的图象是一条连续不断的曲线, , 那么就把它称那么就把它称为区间为区间I I上的连续函数上的连续函数. .aboxyaboxy新宁一中高二数学新宁一中高二数学 曲曲边边梯梯形形：在在直直角角坐坐标标系系中中，由由连连续续曲曲线线y=f(x)y=f(x)，直直线线x=ax=a、x=bx=b及及x x轴轴所所围围成成的的图图
3、形形叫叫做曲边梯形。做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)x=ax=b新宁一中高二数学新宁一中高二数学 因此，我们可以用一条直线因此，我们可以用一条直线L L来代替点来代替点P P附近的曲线，也就是说：在点附近的曲线，也就是说：在点P P附近，曲线附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）P放大放大再放再放大大PP新宁一中高二数学新宁一中高二数学1.5.1 1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 特殊：求直线特殊：求直线x x 0 0、x x 1 1、y y 0 0及曲线及曲线 y y x x2 2 所围成的平面图形（曲边三角形）面积所围成的
4、平面图形（曲边三角形）面积S S是多是多少？少？x yO1新宁一中高二数学新宁一中高二数学x yO1方案方案1方案方案2 2方案方案3 为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积S S，将它分割成许多小曲边梯形，将它分割成许多小曲边梯形 对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替“曲边曲边”（即在很小范围内以直代曲），有（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案以下三种方案“以直代曲以直代曲” 。新宁一中高二数学新宁一中高二数学 y = f(x)bax yO A1 用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积 A A，
5、得，得新宁一中高二数学新宁一中高二数学 用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2新宁一中高二数学新宁一中高二数学 用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4新宁一中高二数学新宁一中高二数学 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲于是曲边梯形的面积边梯形的面积A A近似为近似为 y = f(x)bax
6、 yOA A1+ A2 + + AnA1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积所求曲边梯形的面积S S。下面用第一种方案下面用第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程新宁一中高二数学新宁一中高二数学(1) (1) 分割分割把区间把区间00，11等分成等分成n n个小区间：个小区间： 过各区间端点作过各区间端点作x x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n n个小曲边梯形，他们
7、的面积分别记作个小曲边梯形，他们的面积分别记作新宁一中高二数学新宁一中高二数学(2) (2) 以直代曲以直代曲(3) (3) 作和作和新宁一中高二数学新宁一中高二数学(4) (4) 逼近逼近分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近新宁一中高二数学新宁一中高二数学 当分点非常多（当分点非常多（n n非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为f(x)f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点常小），从而可以取小区间内任意一点 x xi i 对应的函数值对应的函数值 f(xf(xi i) ) 作为小矩形一边的长，于作为小矩形一边的长，于是
8、是f(xf(xi i) x ) x 来近似表示小曲边梯形的面积来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值表示了曲边梯形面积的近似值新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面
9、积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关
10、系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形
11、面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示
12、，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 f(x x2) y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 x xi f(x xi)x x1x x2 f(x x1) f(x xi) xi 在在 a, b a, b中任意插入中任意插入 n -1 n -1个分点个分点 得得n n个小区间：个小区间： x xi i 1 1 , , x xi i (i=1, 2 , (i=1, 2 , , n), n) 把曲边梯形分成把曲边梯形分成 n n 个窄个窄曲边梯形曲边梯形 任取任取x xi i xxi i 1 1，x xi i
13、，以，以f (xf (x i i) ) x xi i近似代替第近似代替第i i个窄曲边梯形的面积个窄曲边梯形的面积 区间区间xxi i 1 1 , x, xi i 的长的长度度 x xi i x xi i x xi i 1 1 曲边梯形的面积近似为：曲边梯形的面积近似为：A A 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 f(x x2) y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 x xi f(x xi)x x1x x2 f(x x1) f(x xi) xi新宁一中高二数学新宁一中高二数学 练习练习 ：求直线：求直线x=0, x=2, y=0与与y=x2所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯
14、形的面积. 新宁一中高二数学新宁一中高二数学求由连续曲线求由连续曲线y=f(x)y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法(1) (1) 分割分割 (2) (2) 近似代替近似代替 (4) (4) 取极限取极限 (3) (3) 求和求和小结小结新宁一中高二数学新宁一中高二数学 分分点点越越来来越越密密时时，即即分分割割越越来来越越细细时时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。矩形面积和的极限即为曲边形的面积。 把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S S的近似值。的近似值。 新宁一中高二数学新宁一中高二数学函数函数f(x)在区间在区间a, b上
15、的定积分的概念上的定积分的概念;新宁一中高二数学新宁一中高二数学函数函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分上的定积分,记作记作:1.定积分的概念定积分的概念:知识归纳知识归纳新宁一中高二数学新宁一中高二数学2.定积分的几何意义定积分的几何意义:在区间在区间a, b上函数上函数f(x)连续且恒有连续且恒有f(x)0. 表示由直线表示由直线x=a, x=b(ab), y=0和曲线和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积(因而定积因而定积分是一个确定的常数分是一个确定的常数)新宁一中高二数学新宁一中高二数学2.定积分的几何意义定积分的几何意义:在区间在区间a, b上函数上函
16、数f(x)连续且恒有连续且恒有 f(x)0. 表示由直线表示由直线x=a, x=b(ab), y=0和曲线和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积(因而定积因而定积分是一个确定的常数分是一个确定的常数)3.定积分的作用定积分的作用 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积新宁一中高二数学新宁一中高二数学 应用应用1: 用定积分的概念用定积分的概念, 写出写出 抛物线抛物线y=x2与直线与直线x=1, y=0所围成所围成的阴影部分的面积的阴影部分的面积知识应用知识应用新宁一中高二数学新宁一中高二数学应用应用2:新宁一中高二数学新宁一中高二数学 应用应用3: 请利用定积分的几何意义，
17、请利用定积分的几何意义，表示出阴影部分的面积表示出阴影部分的面积S.新宁一中高二数学新宁一中高二数学应用应用4: 比较下列各式的大小比较下列各式的大小:新宁一中高二数学新宁一中高二数学请利用定积分概念请利用定积分概念, 解释定积分的下列性质解释定积分的下列性质:问题探究问题探究新宁一中高二数学新宁一中高二数学应用应用5:知识应用知识应用新宁一中高二数学新宁一中高二数学小结新宁一中高二数学新宁一中高二数学例2弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即为F(x)kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功 解将物体用常力F沿着力的方向移动距离x，则所做的功为WFx，其中F是克服弹簧拉力的变力，则移动距离x的函数F(x)kx.新宁一中高二数学新宁一中高二数学新宁一中高二数学新宁一中高二数学于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为：点拨按用定义求定积分的步骤即分割、近似代替、求和、取极限求解
