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1、第六节第六节 傅傅里叶级数里叶级数一、三角级数 三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数一、三角级数 三角函数系的正交性2、 三角函数系为1、三角级数三角级数,3、 三角函数系的正交性 三角函数系在 上正交,是指三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 上的积分等于零.即:注意: 在三角函数系中,两个相同函数的乘积在区间 上的积分不等于零，即:二、函数展开成傅里叶级数1、函数展开成傅里叶级数的含义:并设三角级数可逐项积分.则此式称为函数f(x)的傅里叶级数，傅里叶系数.将 代入三角级数的右端，得：即：类似可得：3、收敛定理(狄里克雷充分条件)设 f(x)是周期为 的周
2、期函数，如果它满足： (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；则f(x)的傅里叶级数收敛，并且： (2)在一个周期内至多只有有限个极值点.当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x);当x是f(x)的间断点时，级数收敛于狄里克雷充分条件的解释:(1)即函数f(x)在 上不作无限次振动，函数的傅里叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值f(x); (2)在间断点，则收敛于该点的左极限与右极限的算术平均值.通常把间断点分成两类： 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0-)及f(x0+)都存在，那么x0称为函数的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.将f(x)展
3、开成傅里叶级数.(3) 傅里叶展开式为：4、周期延拓: 若f(x)不是周期为 的周期函数，只在 上有定义，并满足狄利克雷条件，可在 或 外补充函数定义，使f(x)拓广为周期为 的周期函数F(x) ，称这种拓广函数定义域的过程为周期延拓.注意: 由狄里克雷条件,该级数在区间端点收敛于：傅里叶级数将F(x)展开为傅里叶级数，最后限制x在例2 将函数傅里叶级数.解: (1)周期函数周期函数连续,傅里叶级数周期函数(2) 计算傅里叶系数:(3) 将傅里叶系数代入：三、正弦级数和余弦级数 若f(x)为奇函数，则f(x)的傅里叶级数只含有正弦项 ，称这样的级数为正弦级数; 若f(x)为偶函数，则f(x)的傅里叶级数只含有余弦项 ，称这样的级数为余弦级数. 余弦级数:正弦级数：因f(x)为奇函数，故可展为正弦级数,讨论: 将定义在区间 上的函数f(x)展开为正弦级数或余弦级数.(非周期函数)1、奇(偶)延拓奇函数 偶函数函数定义域2、 F(x)展开成正弦级数(余弦级数) 将奇(偶)延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数，即为F(x)的正弦级数或余弦级数.3、f(x)的正弦(余弦)级数展开式 限制x在 上，此时 , F(x)的正弦(余弦)级数展开式在此范围内即为f(x)的正弦(余弦)级数的展开式.解: (1) 先求正弦级数:(2) 再求余弦级数
