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1、数学思想与措施形成性考核册作业1答案作业1一、简答题 1、分别简单叙说算术与代数的解题措施基本思想，并且比较 它们的区分。 答：算术解题措施的基本思想：首先要围绕所求的数量， 搜集和整顿各种已知的数据，并依据问题的条件列出有关这些具 体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的成果。代数解题措施的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含 已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对 方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区分在于算术解题参加的量必须是已知的量，而代数 解题允许未知的量参加运算；算术措施的核心之处是列算式，而 代数措施的核心之处是列方程。2、比较决定性现象和随机性现象的特
2、点，简单叙说确定数 学的局限。 答：人们常常遇到两类截然不一样的现象，一类是决定性 现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条 件下，其成果能够唯一确定。因此决定性现象的条件和成果之 间存在着必然的联系，因此事先能够预知成果怎样。 随机现象的特点是：在一定的条件下，也许发生某种成果， 也也许不发生某种成果。对于此类现象，因为条件和成果之间不 存在必然性联系。 在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些 数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性 现象的运动和变化过程，从而确定成果。不过因为随机现象条件 和成果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量
3、 描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴 涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。二、论述题 1、论述社会科学数学化的重要原因。 答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必 然的趋势，其重要原因能够归结为有下面四个方面： 第一，社会管理需要精准化的定量依据，这是促使社会科学 数学化的最根本的原因。 第二，社会科学的各分支逐渐走向成熟，社会科学理论体系 的发展也需要精准化。 第三，伴随数学的深入发展，它出现了某些适合研究社会 历史现象的新的数学分支。 第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象通过 量化后能够进行数值处理。 2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。
4、答：第一次数学危机促使人们去认识和了解无理数，导致 了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析 基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理 逻辑和一批当代数学的产生。 由此可见，数学危机的处理，往往给数学带来新的内容，新 的进展，甚至引起革命性的变革，这也反应出矛盾斗争是事物发 展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 历史，斗争的成果就是数学领域的发展。三、分析题 1、 分析几何原本思想措施的特点，为何？ 答：（1）封闭的演绎体系 因为在几何原本中，除了推导时所需要的逻辑规则外， 每个定理的证明所采
5、取的论据均是公设、公理或前面已经证明过 的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上 对概念下定义的要求，标准上不再依赖其他东西。因此几何原 本是一个封闭的演绎体系。另外，几何原本的理论体系回避任何与社会生产现实生 活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是 封闭的。因此，几何原本是一个封闭的演绎体系。 （2）抽象化的内容 ：几何原本中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探 讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题 与社会生活之间的关系，也不考查这些数学模型所由之产生的现实原型。因此几何原本的内容是抽象的。（3）公理化的措施：几何原本的第一篇中开头5个
6、公设和5个公理，是全书其 它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐渐引入 和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采取的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇 除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与 表述措施就是公理化措施。 2、分析九章算术思想措施的特点，为何？ 答：（1）开放的归纳体系：从九章算术的内容能够看出，它是以应用问题解法集成 的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放 体系。 在九章算术中一般是先举出某些问题，从中归纳出某一 类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到处理该领域中 各种问题的措施；最后，把处理
7、各领域中问题的数学措施所有综 合起来，就得到整个九章算术。另外该书还按处理问题的不一样数学措施进行归纳，从这些 措施中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入九章算 术。 因此，九章算术是一个开放的归纳体系。（2）算法化的内容 ：九章算术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每 个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解 法。因此，内容的算法化是九章算术思想措施上的特点之 一。 （3）模型化的措施 ：九章算术各章都是先从对应的社会实践中选择具备典 型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转 化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过 程，即先给出数学模型，
8、然后再举出能够应用的原型。数学思想与措施形成性考核册作业2答案 数学思想与措施作业2一、简答题1、论述抽象的含义及其过程。答：抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科学概念，从而把握事物的本质和规律的思维过程。人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和辨别开始的。所谓比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不一样点；而所谓辨别，则是把比较得到的相同点和不一样点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不一样的类。然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词体现出来。这就形成了抽象
9、的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。2、论述概括的含义及其过程。答：概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整顿推广到同类的全体事物，从而形成此类事物的普遍概念的思维过程。概括一般可分为经验概括和理论概括两种。经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观测陈述为基础，上升为普遍的认识由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达成对客观世界的规律的认识。在数学中常常使用的是理论概括。一个概括过程包括比较、辨别、扩张和分析等几个重要
10、步骤。3、简述公理措施历史发展的各个阶段答：公理措施经历了详细的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。第一个详细的公理体系就是欧几里得的几何原本。非欧几何是抽象的公理体系的经典代表。希尔伯特的几何基础开创了形式化的公理体系的先河，当代数学的几乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的，当代科学也尽也许采取形式公理法作为研究和表述伎俩。4、简述化归措施并举例阐明。答：所谓“化归”，从字面上看，应可了解为转化和归结的意思。数学措施论中所论及的“化归措施”是指数学家们把待处理或未处理的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能处理或者比较轻易处理的问题中去，最后求获原问题之解答的一个伎俩和措
11、施。例如：要求解四次方程 能够令 ，将原方程化为有关 的二次方程 这个方程我们会求其解： 和 ，从而得到两个二次方程： 和 这也是我们会求解的方程，解它们便得到原方程的解： ， ， ， .这里所用的就是化归措施。二、论述题1、论述不完全归纳法的推理形式，并举一个应用不完全归纳法的例子。答：不完全归纳法的一般推理形式是：设S= ；因为具备属性p，具备属性p，具备属性p，因此推断S类事物中的每一个对象都也许具备属性p。2、论述类比推理的形式。怎样提升类比的可靠性？答：类比推理一般可用下列形式来表示：A具备性质B具备性质因此，B也也许具备性质。其中，分别相同或相同。欲提升类比的可靠性，应尽也许满足条
12、件：(1)A与B共同(或相同)的属性尽也许地多些；(2)这些共同(或相同)的属性应是类比对象A与B的重要属性；(3)这些共同(或相同)的属性应包括类比对象的各个不一样方面，并且尽也许是多方面的；(4)可迁移的属性d应当是和属于同一类型。符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然能够得到提升，但仍不能确保结论一定正确。3、试比较归纳猜测与类比猜测的异同。答：归纳猜测与类比猜测的共同点是：他们都是一个猜测，即一个推测性的判断，都是一个合情推理，其结论具备或然性，或者通过逻辑推理证明其为真，或者举出反例予以辩驳。归纳猜测与类比猜测的不一样点是：归纳猜测是利用归纳法得到的猜测，是一个由特殊到一般的推理形式
13、，其思维步骤为“特例归纳猜测”。类比猜测是利用类比法得到的猜测，是一个由特殊到特殊的推理形式，其思维步骤为“联想类比猜测”。数学思想与措施形成性考核册作业3答案 数学思想与措施作业3一、简答题1、简述计算和算法的含义。答：计算是指依照已知数量通过数学措施求得未知数的过程，是一个最基本的数学思想措施。伴随电子计算机的广泛应用，计算的重要意义愈加凸现，重要表目前如下几个方面：(1)推进了数学的应用；(2)加快了科学的数学化进程；(3)促进了数学自身的发展。算法是由一组有限的规则所组成的一个过程。所谓一个算法它实质上是处理一类问题的一个处方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地进行操作，就能引导到
14、问题的处理。在一个算法中，每一个步骤必须要求得精准和明白，不会产生歧义，并且一个算法在按有限的步骤处理问题后必须结束。数学中的许多问题都能够归结为寻找算法或判断有无算法的问题，因此，算法对数学中的许多问题的处理有着决定性作用。另外，算法在日常生活、社会生产和科学技术中也有着重要意义。算法在科学技术中的意义重要体目前如下几个方面：(1)用于表述科学结论的一个形式；(2)作为表述一个复杂过程的措施；(3)减轻脑力劳动的一个伎俩；(4)作为研究和处理新问题的伎俩；(5)作为一个基本的数学工具。2、简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。答：数学教学中引起“分类讨论”的原因有：数学中的许多概念的定义是分
15、类给出的，因此包括到这些概念时要分类讨论；数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，进行此类运算时要分类讨论；有些几何问题，依照题设不能只用一个图形体现，必须全面考虑各种不一样的位置关系，需要分类讨论；许多数学问题中含有字母参数，伴随参数取值不一样，会使问题出现不一样的成果。因此需要对字母参数的取值情况进行分类讨论。二、论述题1、什么是数学模型措施？并用框图表示MM措施解题的基本步骤。答：所谓数学模型措施是利用数学模型处理问题的一般数学措施，简称MM措施。MM措施解题的基本步骤框图表示如下：2、特殊化措施在数学教学中有哪些应用？答：特殊化措施在数学教学中的应用大体有如下几个方面：利用特殊值(图形)解选择题；利用特殊化探求问题结论；利用特例检查一般成果；利用特殊化探索解题思绪。数学思想与措施形成性考核册作业4答案 数学思想与措施作业4一、简答题1、简述国家数学课程标准的几个重要特点。答：把“现实数学”作为数学课程的一项内容；把“数学化”作为数学课程的一个目标；把“再创造”作为数学教育的一条标准。把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教，给学生提供“再创造”的机会；把“问题处理”作为数学教学的一个模式；把“数学思想措施”作为课程体系
