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1、f(0)二lim二lim凹二0,由f(0)二f(1)二0及题设条件知f(x)在0,1x0x0x0x中值定理证明题集锦x0x1、已知函数f(x)具有二阶导数，且lim山=0,f(1)=0，试证：在区间(0,1)内至少存在一点,，使得f(,)二0.x0xx0证：由lim型二0，可得limf(x)二0，由连续性得f(0)二0，由此又得上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点c(0,1)，使得f(c)二0，又因为f(0)二f(c)二0，并由题设条件知f(x)在0,c上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点,，使得f(,)二0.2、设f(x)在0,a上连续，在(
2、0,a)内可导，且f(a)二0,证明：存在一点,e(0,a)，使得f(,)+,f(,)二0.证：分析：要证结论即为：f(x)J令F(x)二xf(x)，则F(x)在0,a上连续，在(0,a)内可导，且F(0)二F(a)二0，因此F(x)二xf(x)在0,a上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点,(0,a)，使得F(,)二0，即f(,)+,f(,)二0.注1：此题可改为：设f(x)在0,a上连续，在(0,a)内可导，且f(a)二0，证明：存在一点,e(0,a)，使得nf(,)+,f(,)二0.分析：要证结论nf(,)+,f(,)二0等价于n,n1f(,)+,nf(,)二0(给nf(,)+,f(,)=
3、0两端同乘以,n1)，而n,n1f(,)+,nf(,)=0即为xnf(x)二0.故令F(x)二xnf(x)，则F(x)在0,a上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论.注2：此题与下面例题情况亦类似：设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)二0，Vx(0,1)，有f(x)丰0,证:分析：要证结论可变形为nf()/(1，)-/()广(1-)二0,它等价于nfn，i()f()f(1-)-fn()f(i-)二0(给nf程)f(1，)f()f(i-)二0两端同乘以fn，i(),而nf，i()f()f(i)-fn()f(i)二0即为fn(X)f(i-X)：=0，用罗尔中值定理.x=以上三题
4、是同类型题.3、已知函数f(x)在0,i上连续，在(0,i)内可导，且f(0)=f(i)=0，f(2)=i，证明：i(1) 存在一点(2，i)，使f()=.(2) 存在一点(0,)，使f：()=i.(3) 存在一点x(0,)，使f：(x)-1=九(f(x)-x).0000证：(1)分析：要证结论即为：f()，=0.1令F(x)=f(x)，x，则只需证明F(x)在(2，1)内有零点即可。2显然F(x)在2,1上连续，且F百)=f(2)-2=20，f(i)=f(i)，i=，i0，ii因此f(x)在片,1上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在(2，1)，使f()=0，即f()=.(2) 又因为F(
5、0)=f(0)一0=0，由知F()=0，因此F(x)在0,上满足罗尔中值定理条件，故存在一点耳(0,)，使F：()=0，即f：()1=0，即f：()=1.(3) 分析：结论f：(x)-1=X(f(x)-x)即就是F：(x)=XF(x)或F：(x)九F(x)=0,0000000F：(x)九F(x)=0oe-尢x0F：(x)九F(x)=0,即e-九xF(x)：=0.0000x=x故令G(x)=exF(x)，则由题设条件知，G(x)在0,上连续，在(0,)内可导，且G(0)=e0F(0)=0，G(g)=e-肚F(g)=0，则G(x)在0,上满足罗尔中值定理条件，命题得证.4、设f(x)在0,x上可导
6、，且f(0)=0，试证：至少存在一点(0,x)，使得f(x)=(1+)ln(1+x)f：().证：分析：要证结论即为：f(X)f(0)=(1)ln(1x)ln1f()，也就是f(x)-f(0)二，因此只需对函数f(t)和ln(1+1)在区间0,x上应用柯西中值定理ln(1x)ln11即可.5、设f(x)、g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，f(a)二f(b)二0，且g(x)0，证明：至少存在一点e(a,b)，使得f()g点)二f()g().证：分析：要证结论即为：f()g()f()g()二0，等价于f()g()f()g()g2()即就是理|二0，因此只需验证函数F(x)二理在区间a,b
7、上应用罗尔中值定理g(x)L=g(x)即可.6、设f(x)在x,x上可导，且0xx，试证：至少存在一点e(x,x)，使得121212xif(x2)一x2f(xi)一f程)f().x一x12f(叮，竺(f(x)y证：分析：要证结论即为：一21一厂=-f()f()=T兰，因此只需对函-(打xxxlx=21数和1在区间x,x上应用柯西中值定理即可.xx12此题亦可改为：设f(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，若0ab，试证：至少存在一点ge(a,b)，使得af(b)bf(a)二f()，f()(ab).7、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)二f(b)二0，试证:(1) 北e(
8、a,b)，使得f()()二0；(2) 旳e(a,b)，使得qf(n)f(H)二证：(1)令F(x)二xf(x)，利用罗尔中值定理即证结论.2x2(2)分析:f()+f()二0e2f()+f()二e2f(x),二0,因此令x=F(x)=etf(x)，利用罗尔中值定理即证结论.8、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证:g,丘(a,b)，使得en-gf()+f()=1证：分析：要证结论即为仝f()+f()egexf(x)，即就是/、，x=1.(ex),x=g令F(x)=exf(x)，令G(x)=ex，则F(x)和G(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理的条件，由
9、拉格朗日中值定理知：耳丘(a,b)，使得F，()=，即就是ef()+f，()=b-ab-aebeaebeagw(a,b)，使得F忆)=，即就是eg=.baba因此，有ef()+f，()=1，即就是en-gf()+f，()=1eg9、设f(x)、g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，试证:gw(a,b)，使得f，(g)=g(g).证：分析：要证结论即为f(x)-g(x):,=0.x=g令F(x)=f(x)-g(x)，(1) 若f(x)、g(x)在(a,b)内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c点处取得最大值，则F(a)=
10、F(c)=F(b)=0(acb)，则F(x)分别在a,c、c,b上满足罗尔中值定理条件，故3gw(a,c)，3gw(c,b)使得F(g)=0，F(g)=0.1212由题设又知，F，(x)在g,g上满足洛尔定理条件，故存在gw(g,g)，使得F，(g)=0，1212即就是f，(g)=g，(g).(2) 若f(x)、g(x)在(a,b)内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设f(x)在p点处、g(x)在q点处取得最大值，且p0F(q)f(q)-g(q),0，由零点定理知，3c(p,q)u(0,1),使得F(c)=0，由此得F(a)F(c)F(b)=0(a,c,b)，后面证明与(1)相同.10、设f(
11、x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(x)0，若极限limf(2xa)存在,xTa+x-a试证：(1)存在一点(a,b)，使得一L.Jbf(x)dxf忆)a在ab)内存在异于g的点n，使得/W2-a2)吕bf(叽证：(1)令F(x)=xf(t)dt，G(x)x2，则F(x)、G(x)在a,b上满足柯西中值定理a条件，故存在一点(a,b)，使得=成立，即就是Jbf(t)dt-Jaf(t)dtfaa冬二a成立，即就是2gbf(x)dx(b2-a2)f忆)成立.Jbf(x)dxfaa2)由(1)知，2bf(x)dx(b2-a2)f忆)，因此要证f(n)(b2a2)=生bf(x)dx.,agaa1即要证f(n)(b2-a2)(b2-a2)f(g)，即要证f(n)(g-a)=f(g)，由已知g-alimf?xa)可得，limf(2x一a)=0，从而得f(a)=0，因此要证f(n)(g-a)=f(g),xTa+xaxTa+即要证f(n)(g-a)f(g)-f(a)，显然只需验证f(x)在a,g上满足拉格朗日中值定理条件即可。
