《（江苏版）高考数学一轮复习 专题6.3 等比数列及其求和（讲）-江苏版高三全册数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏版）高考数学一轮复习 专题6.3 等比数列及其求和（讲）-江苏版高三全册数学试题（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题6.3 等比数列及其求和【考纲解读】内 容要 求备注ABC数列数列的概念对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.等差数列等比数列【直击考点】题组一常识题1 已知等比数列an中，a312，a418，则该数列的通项公式为an_2 在等比数列an中，a44，则a2a6_.【解析】a2a6a16.3 已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等
2、于_【解析】由已知得，则数列an是公比为的等比数列a2，a14，则数列an的前10项和S103(1310)4在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数构成等比数列，则这两个数为_【解析】设该数列的公比为q，则由题意知，2439q3，得q327，q3.故插入的两个数分别为9327，27381.题组二常错题5已知等比数列an中，a34，a716，则a3与a7的等比中项为_【解析】设a3与a7的等比中项为G.因为等比数列an中，a34，a716，所以G241664，所以G8.6设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，则此数列的公比q_7若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9
3、a122e5，则ln a1ln a2ln a20_【解析】an为等比数列，且a10a11a9a122e5，a10a11a9a122a10a112e5，a10a11e5，ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10ln e5050.题组三常考题8若三个正数a，b，c成等比数列，其中a52，c52，则b_【解析】因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b2ac(52)(52)1.因为b0，所以b1.9 在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_【解析】由a12，an12an可知数列an为等比数列，公比为2，所以Sn1
4、26，得n6.10已知an是等比数列，其前n项和为Sn(nN*)，且，S663，则an的通项公式为an_.【知识清单】考点1等比数列的定义，通项公式，前项和的基本运算1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：.说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.3等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么
5、叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.说明：（1）（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.5. 等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次
6、组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列考点2等比数列的性质1.等比数列的性质：（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，；，；（3）在等比数列中，对任意，；（4）在等比数列中，若，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：.（5）若数列是等比数列，且公比不为1，是其前项的和，那么，成等比数列.如下图所示：.（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、仍为等比数列（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列2.
7、 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，成等比数列，且公比为.3.等比数列的单调性当或时，为递增数列，当或时，为递减数列考点3等差数列与等比数列的综合应用等差数列和等比数列等差数列等比数列定义常数常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,) 为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数, ) 为等差数列；(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法： () 为等比数列(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)为等比数列(4) 为等差数列(总有意义)为等比数列性质(1)若，且，则(
8、2) (3) ，仍成等差数列(1)若，且，则(2) (3)等比数列依次每项和()，即 ，仍成等比数列前n项和时，；当时，或.【考点深度剖析】 江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1等比数列的定义，通项公式，前项和的基本运算【题组全面展示】【1-1】对任意等比数列,下列说法一定正确的是 .成等比数列 成等比数列成等比数列 成等比数列【答案】
9、D【解析】因为数列为等比数列，设其公比为，则所以，一定成等比数列，故选D.【1-2】已知数列是正项等比数列，若则数列的通项公式为 .【答案】【1-3】已知等比数列的前项和为，且，则 .【答案】【解析】，由（1）（2）可得，代入（1）得，.【1-4】在等比数列中，已知，公比,则 等于 .【答案】【解析】因为，等比数列中，已知，公比，所以，公比即.【1-5】已知数列满足，则的前项和= .【答案】综合点评：这几个题都是等比数列的基本运算，与等比数列的判定，关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解
10、求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量在判断一个数列是否为等比数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立与的关系式或递推关系式，表示出，然后验证其是否为一个与无关的常数【方法规律技巧】1. 等比数列的判定方法(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；(2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；(3)通项公式法 (均是不为0的常数，)是等比数列2. 求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解即等比数
11、列的通项公式及前项和公式或，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论3. 特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.4. 等比数列的前项和公式若已知首项和末项，则，或等比数列an的首项是
12、，公比是，则其前项和公式为.5. 若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可【新题变式探究】【变式一】设是公比为的等比数列，令，若数列的连续四项在集合中，则等于 .【答案】或【变式二】设为等比数列的前项和，已知，则公比 .【答案】4【解析】由已知，两式作差得,所以,即.【综合点评】这两个题都是等比数列的基本运算，第一题，给出5个数，只有三个正数，两个负数，可根据等比数列的特性可知，不可能都为正数或负数，故两正两负，且两负数为奇数项或偶数项，故可求出公比，第二个题，由数列的前项和性质，两式作差即可，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节.考点
13、2等比数列的性质【题组全面展示】【2-1】公比为2的等比数列的各项都是正数，且则= .【答案】-4【解析】依题意可得，所以.【2-2】设等比数列的前n项和为，若，则为 .【答案】【2-3】等比数列的各项均为正数，且，则 .【答案】10【解析】由题意可知，又得，而【2-4】设数列是等比数列，满足，且，则 .【答案】【解析】由已知得，又，则，故，所以.【2-5】已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：（1）成等比数列；（2）；（3）正确的结论为 .【答案】（2）（3）综合点评：这五个题都是等比数列的性质的应用，解这一类题题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题【方法规律技巧】1. 等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题2.等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系3.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式4. 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数
