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1、采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物第二章第二章 晶体结构及其弹性性质晶体结构及其弹性性质2-1 晶体结构和基本概念2-2 晶体的弹性性质2-3 弹性常数与对称性采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2晶系和晶系和布喇菲布喇菲格子格子v通常描写晶胞的六个通常描写晶胞的六个物理量是三个基矢的物理量是三个基矢的长度和基矢之间的夹长度和基矢之间的夹角，如图所示角，如图所示va a，b b，c c， ， ， 通
2、通常又称为晶格常数，常又称为晶格常数，可以由可以由x x射线确定射线确定v根据根据a a，b b，c c， ， ， 的不同，晶格可的不同，晶格可分为七大晶系和十四分为七大晶系和十四种布喇菲格子种布喇菲格子采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3七大晶系七大晶系 seven sysTemsseven sysTems采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物414 Bravais LaTTices14 Brava
3、is LaTTicesvTriclinic: simplevMonoclinic: simple, side-cenTeredvOrThorhombic: simple, body-cenTered, face-cenTered, side-cenTeredvTeTragonal: simple, body-cenTeredvHexagonal: simplevTrigonal: simplevCubic: simple(sc), body-cenTered(bcc), face-cenTered(fcc)采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋
4、转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物5对称性和点群对称性和点群 symmeTry and poinT groupssymmeTry and poinT groupsv了解对称性和对称操作，认识晶体的三十二个点群vTo undersTand The symmeTry and 32 poinT groups in crysTals采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6对称性对称性SymmeTrySymmeTry在我们周围到处都可以碰到对称现象 :v人的双手是对称的，它可以借助于一个对称面的反
5、映而使之重合； v人和镜子里的像也是对称的，这种对称称为镜像对称;v四方晶体绕中心轴转90或90的整数倍后，晶体自身重合；六角晶体绕中心轴转60或60的整数倍后，晶体自身重合。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物7v晶体的对称性是由其内部格子结构所决定的。它不仅与晶体的结构有密切关系，而且也于晶体的力学、电学、光学以及压电铁电性质等有密切关系。v可以说，晶体的对称性是晶体分类的基础，也是研究晶体其它性质的基础。v这里先主要介绍的对称性，不包括平移对称性在内，所以是宏观对称性宏观对称性 采用PP管及
6、配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物8v晶体结构本身具有对称性，x-射线衍射v晶体的物理性质与对称性有关，介电常数，压电常数等v研究方便：立方晶体11= 22= 33，其它ij=0v计算方便采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物9对称操作和对称元素对称操作和对称元素v能使对称图形复原的动作称为对称操作，例如，前面提到的对称轴的旋转，对称面的反映，此外，对称中心点的反演（或倒反）等，都是对称操作对称操作。v进行对称操
7、作时，还必须依赖于一定的几何元素，如对称中心、对称面、对称轴等，这些几何元素又称为对称元素对称元素 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物10对称性和对称操作采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物11晶体中可能的对称操作采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物12对称中心对称中心 inversioninversi
8、on 为一假想的定点，相应的对称操作为对此定点的反演（或倒反）。图2-15表示通过对称中心c把M点反演到M点。如果把对称中心作为坐标原点，那么对称中心的作用将使点M(x,y,z)反演到点M(-x,-y,-z)。或者作通过对称中心的任意直线，在此直线上，距对称中心等距离的两端，一定可以找到相对应的点M和M。对称中心的国际符号是“ ”。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物13图图2 2-15-15采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面
9、的圆度，保持熔接部位干净无污物14对称面（镜面）对称面（镜面）mirror 为一假想平面，相应的对称操作为对此平面的反映。对称面将图形分为镜像反映的两个相等的部分。图2-16表示通过对称面m把M反映到M。对称面在图形上常用双线或粗线表示，国际符号为“m”。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物15图图2 2-16 -16 m m采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物16旋转轴（对称轴）旋转轴（对称轴）r
10、oTaTion 为一假想直线，相应的对称操作为对此轴线的旋转。一个晶体如绕此轴旋转360/n后，能够复原，则称此晶体具有n n次旋转轴次旋转轴或简称n n次轴次轴。由于晶体结构的周期性（即晶体的平移对称性）给晶体的转动对称性带来了严格的限制，即n只能等于1、2、3、4、6，或者说晶体只可能具有1、2、3、4、6次旋转轴，不可能具有5次或高于6次的旋转轴。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物17采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面
11、的圆度，保持熔接部位干净无污物18旋转轴符号旋转轴符号采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物19旋转倒反轴（像转轴）旋转倒反轴（像转轴） 这是一个复合对称元素。它是一个假象的直线和此直线上的一个定点，相应的对称操作为对此轴线转2/n角度后，接着再对此点进行倒反倒反。若晶体经过这个操作后能够复原，则称此晶体有n次旋转倒反轴。RoTaTion-inversionRoTaTion-inversion 与旋转轴的情况一样，晶体也只能有1、2、3、4、6次旋转倒反轴，而不能有5次或6次以上的旋转倒反轴。旋转倒
12、反轴的国际符号为 、。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物20采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物21采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物22采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物23采用PP管及配件：根据给
13、水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物24采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物252次旋转倒反轴操作等效于一个对称面操作次旋转倒反轴操作等效于一个对称面操作对称变换间的等效关系对称变换间的等效关系采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物263次旋转倒反轴次旋转倒反轴 等效于等效于3次旋转轴加上对称中心次旋转轴加上对称中心，即采用PP管
14、及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物276次旋转倒反的效果和次旋转倒反的效果和3次旋转轴加上垂直于该轴的次旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果相同，即对称面的总效果相同，即采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物28知道了晶体的八个基本的宏观对称元素后，下一个问题就是：在晶体中，究竟有哪些对称元素和对称操作可以同时存在？它们的组合方式有多少种？在数学上，把对称元素（或对称操作）的集合叫做“对称群对称群”。因为上述对
15、称元素中，不包括平移对称性，进行对称操作时总是有一点保持不动，所以只包括上述对称元素的集合叫做“点群点群”。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2932 poinT groups32 poinT groups人们经过长期研究的结果，发现这八种对称元素共有32种组合方式，即32种点群。这32种点群对应于晶体的32种宏观对称类型，就是说自然界千千万万种晶体，可以归纳为32种宏观对称类型。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保
16、持熔接部位干净无污物采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物31小结小结 summarysummaryv对称元素和对称操作对称元素和对称操作v晶体的三十二个点群晶体的三十二个点群v对称性和点群对于压电铁电体非常重要！对称性和点群对于压电铁电体非常重要！v只有晶体才会有压电铁电性，不存在非晶只有晶体才会有压电铁电性，不存在非晶压电铁电体。但是有非晶半导体和非晶磁压电铁电体。但是有非晶半导体和非晶磁性材料。性材料。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，
17、以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物32晶体中的点群晶体中的点群v由于无限大周期性的限制，晶体中的对称操作只能有：1，2，3，4，6，m, ；v由这些对称操作所构成的集合就是晶体中的点群；v晶体中一共有32个这样的点群；采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物33晶轴和直角坐标轴晶轴和直角坐标轴采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物34晶轴和直角坐标轴的选择晶轴和直角坐标轴的选择 晶面符号和晶棱符号的
18、确定取决于晶轴的选择，晶轴选择方式不同，晶面符号和晶棱符号也不一样。 其次，在讨论晶体的弹性性质、介电性质和压电性质时，采用直角坐标系是比较方便的。由于晶轴之间夹角不一定等于90，所以选定晶轴之后，有时还要另选直角坐标系。选择不同的直角坐标系，所得到的数学表达式也不一样。 为了避免混乱，必须对晶轴的选择和直角坐标系的选择作共同的规定。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物35三斜晶系三斜晶系晶轴。三斜晶系除了一次旋转轴或一次旋转倒反轴外，无其它对称元素。因此只能选择三个不在同一平面上的晶棱方向作为
19、晶轴。晶轴的安排是c轴为直立，b轴为左右并向右倾，a轴为前后方向并向前倾。晶格常数的大小为bac，晶轴间的夹角为，并有90，90。 坐标轴（x、y、z）。目前都选择z轴与晶轴c重合；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向+a方向；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向，如图1-23所示。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物36图图2 2-23 -23 三斜晶系中的晶轴与坐标系三斜晶系中的晶轴与坐标系 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面
20、的圆度，保持熔接部位干净无污物37单斜晶系单斜晶系 晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为b轴，并在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱方向作为c轴和a轴。晶格常数大小为：abc，ac，晶轴之间夹角为=90，90。单斜晶系的实例如图1-24所示。 坐标轴（x、y、z）。目前选择y轴与b轴重合；z轴与c轴重合，x轴垂直于bc平面，如图2-25所示。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物38图图2 2-24 -24 单斜晶系中的晶轴单斜晶系中的晶轴采用PP管及配件：根据给水设
21、计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物39图图图图2 2 2 2-25 -25 -25 -25 单斜晶系中的坐标系单斜晶系中的坐标系单斜晶系中的坐标系单斜晶系中的坐标系, , , ,其中其中其中其中y y y y轴是二次旋转轴轴是二次旋转轴轴是二次旋转轴轴是二次旋转轴采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物40正交晶系正交晶系 晶轴。正交晶系的特点是具有三个互相垂直的二次旋转轴，或有二个互相垂直的对称面。在222点群和mmm点群中，分
22、别选这三个二次旋转轴为a、b、c轴；在mm2点群中则选唯一的一个二次旋转轴为c轴，选两个对称面的法线方向为a轴和b轴，晶格常数大小为：cab，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。因为正交晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。正交晶系的实例如图1-26所示。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物41图图图图2 2 2 2-26 -26 -26 -26 酒石酸钾钠（酒石酸钾钠（酒石酸钾钠（酒石酸钾钠（KNTKNTKNTKNT）在非铁电相时属于在非铁电相时属于在非铁电相时
23、属于在非铁电相时属于222222222222点群，其中点群，其中点群，其中点群，其中a a a a、b b b b、c c c c轴都是二次旋转轴轴都是二次旋转轴轴都是二次旋转轴轴都是二次旋转轴 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物42四方晶系四方晶系 晶轴。四方晶系的特点是具有一个四次旋转轴或四次旋转倒反轴。通常都是选四次轴为c轴，选一个二次轴为a轴，如果无二次轴，则选最小晶胞中的两个等长轴之一为a轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。因为四方晶系的晶轴互相
24、垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。四方晶系的实例如图1-27所示。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物43图图2 2-27 -27 四方晶系的晶轴四方晶系的晶轴采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物44三角晶系和六角晶系三角晶系和六角晶系 晶轴。三角晶系和六角晶系的特点是具有一个三次旋转轴或六次旋转轴。通常都是选三次轴或六次轴为c轴，选二次轴或对称面的法线为a、b轴。晶格常数大小为：a=b
25、c，晶轴之间夹角为=90,=120。 坐标轴（x、y、z）。通常选z轴平行于c轴，x轴与a轴一致，y轴垂直于ac平面。三角晶系和六角晶系的实例如图2-28和图2-29所示。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物45图图图图2 2 2 2-28 -28 -28 -28 - - - -石英晶体属于石英晶体属于石英晶体属于石英晶体属于32323232点群，点群，点群，点群，c c c c轴为三次轴，轴为三次轴，轴为三次轴，轴为三次轴，a a a a、b b b b、d d d d轴为二次旋转轴轴为二次旋
26、转轴轴为二次旋转轴轴为二次旋转轴 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物46图图图图2 2 2 2-29 -29 -29 -29 碘酸锂晶体属于碘酸锂晶体属于碘酸锂晶体属于碘酸锂晶体属于6 6 6 6点群，点群，点群，点群，c c c c轴为轴为轴为轴为6 6 6 6次旋转轴次旋转轴次旋转轴次旋转轴采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物47立方晶系立方晶系 晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转轴（包括旋
27、转倒反轴），同时不是有三个相互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反轴），就是有三个相互垂直的二次旋转轴，分别选择这些四次或二次轴为a、b、c轴。晶格常数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。通常选择晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物48X-axisZ-axisY-axis采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物49summarysummarysu
28、mmarysummarypSpace groups，glide and screwpCrysTal axis and CarTesian axisCase sTudyCase sTudy画出七大晶系的晶轴和直角坐标轴的对应关系采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物50采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物51晶体的弹性性质晶体的弹性性质应力、应变张量，虎克定律应力、应变张量，虎克定律弹性常数与对称性弹性常
29、数与对称性弹性波在晶体中传播弹性波在晶体中传播采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物52压电铁电晶体是电介质，它具有介电性质；同时压电铁电晶体又是弹性介质，它又具有弹性性质，而压电效应就是反映了它的介电性质介电性质和弹性性质弹性性质之间的耦合作用。不同晶体结构的压电铁电晶体，各向异性程度不一样，或者说独立的弹性常数的数目与晶体的对称性有关。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物53形变形变 deform
30、aTiondeformaTion采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物54采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物55采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物56采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物57Rigid ro
31、TaTion Through a small angleFor deformaTions iT is always nonzero采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物58To Two-dimensional deformaTions:采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物59采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无
32、污物60To Three-dimensional deformaTions:采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物61采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物62应力、应变应力、应变 应变张量应变张量: sTrain Tensor: sTrain Tensor晶体中任一点的位置可以用所选定的坐标系的晶体中任一点的位置可以用所选定的坐标系的位置矢量来描述，它的三个分量为位置矢量来描述，它的三个分量为x x1
33、1、x x2 2、x x3 3。当晶体发生形变时，其中每一点的位置均会。当晶体发生形变时，其中每一点的位置均会发生改变。设形变前的某一点的位置矢量为发生改变。设形变前的某一点的位置矢量为r r，形变后为，形变后为r r（其分量为（其分量为x x1 1、x x2 2、x x3 3），），由于形变这一点的位移可以用位置矢量来表示：由于形变这一点的位移可以用位置矢量来表示： 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物63当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生变化，设最
34、近邻的两点形变前的都会发生变化，设最近邻的两点形变前的距离为距离为dldl（分量为（分量为dxdxi i），形变后的距离为），形变后的距离为dldl（分量为（分量为dxdxi i），因为），因为dxdxi i=dx=dxi i+du+dui i，而，而 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物64于是于是: : 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物65利用以下关系：利用以下关系：采用PP管及配件：根据给水
35、设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物66于是有于是有: : 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物67最后可得到形变前后距离的变化为最后可得到形变前后距离的变化为: : 其中张量Sik由下式给出:采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物68该式给出了在物体形变时，它的长度单元的改变。该式给出了在物体形变时，它的长度单元的改变。例如：例如
36、：（ ui/ xk），当），当i=k时，代表伸缩应变（纵向应时，代表伸缩应变（纵向应变），而当变），而当i k时，代表切应变（横向应变）。时，代表切应变（横向应变）。一般称一般称Sik为应变张量元。从上式直接可以看出为应变张量元。从上式直接可以看出Sik =Ski，即应变张量是对称的。，即应变张量是对称的。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物69在大多数情况下，应变是很小的，所以上式右方在大多数情况下，应变是很小的，所以上式右方的第三项可以略去，于是应变张量元为：的第三项可以略去，于是应变张量元
37、为： 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物70应变张量元的矩阵形式应变张量元的矩阵形式二级对称的张量，有六个独立元素。二级对称的张量，有六个独立元素。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物71如果用x、y、z代表位置矢量r的三个分量；u、v、w代表位移矢量u u的三个分量；那么这六个张量元可写成为： 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口
38、面的圆度，保持熔接部位干净无污物72应变张量元的几何意义应变张量元的几何意义 正应变正应变采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物73体积元的体积改变量：体积元的体积改变量： 由形变引起的体积相对增量称为体膨胀为：由形变引起的体积相对增量称为体膨胀为：采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物74切应变切应变 shearshear由于发生切应变，原来的由于发生切应变，原来的正方形变成了菱形，它的正方形变成了菱形
39、，它的边长不改变边长不改变 切应变切应变sxy=( v/ x+ u/ y)/2的几何意义的几何意义 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物75由于切变AA， BB， CC， DD，图中u、 v代 表 A点 位 移 的 分 量 ， 令 AD=AD=x，AB=AB=y，则：所以所以sxy=(v/x+u/y)/2=(1+2)/2 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物76由于应变张量是个对称的二阶张量，只有六个
40、独立由于应变张量是个对称的二阶张量，只有六个独立的元素，因此常被写成一个纵列矩阵，用的元素，因此常被写成一个纵列矩阵，用x x 代表张代表张量元，用一个新的足标量元，用一个新的足标 =1=1、2 2、6 6来代替原来来代替原来的足标，其对应关系如下：的足标，其对应关系如下： S1S2S3S4S5S6SxxSyySzz2Syz2Szx2Sxy采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物77应力张量应力张量 sTress TensorsTress Tensor在没有形变的固体中，分子的排列是处于热平衡状在没有
41、形变的固体中，分子的排列是处于热平衡状态，作用在固体中任意一部分的合力都等于零。如态，作用在固体中任意一部分的合力都等于零。如果固体有形变，那么它就不再处于原来的平衡态，果固体有形变，那么它就不再处于原来的平衡态，而会受到力的作用，该力会使物体具有恢复到平衡而会受到力的作用，该力会使物体具有恢复到平衡的趋向。的趋向。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物78这种在固体形变时，作用在固体中单位面积上的这种在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力称为应力。应力是一个二级张量，其各个分量力称为应力。应力是
42、一个二级张量，其各个分量为为 xxxx、 yyyy、 zzzz、 yzyz、 zyzy、 xyxy、 yxyx、 xzxz、 zxzx。为此我们也把应力称为应力张量。张量元的前一为此我们也把应力称为应力张量。张量元的前一个足标代表应力的方向，后一个足标代表应力所个足标代表应力的方向，后一个足标代表应力所作用面的法线方向。作用面的法线方向。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物79作用在立方体上的应力张量元作用在立方体上的应力张量元 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂
43、直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物80例如，作用在垂直于例如，作用在垂直于x x轴的单位面积上沿轴的单位面积上沿x x方向的方向的应力是应力是 xxxx，这类应力是垂直于表面的，代表张力，这类应力是垂直于表面的，代表张力或压力；作用在垂直于或压力；作用在垂直于x x轴的单位面积上沿轴的单位面积上沿y y方向方向的应力是的应力是 yxyx，这类应力是沿着表面的，即平行于，这类应力是沿着表面的，即平行于表面的切向，代表切应力。表面的切向，代表切应力。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保
44、持熔接部位干净无污物81内应力作用在物体上的总力矩等于零，因此，存在内应力作用在物体上的总力矩等于零，因此，存在如下关系：如下关系： 应力张量：应力张量：采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物82 单、双脚标之间的对应关系单、双脚标之间的对应关系采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物83应力张量也是对称的二级张量，它只有六个独立应力张量也是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元素。所以对于晶体，也常常把应
45、力张量的张量元素。所以对于晶体，也常常把应力张量写成一个纵列矩阵，以写成一个纵列矩阵，以T T （ =1=1、2 2、6 6）来）来表示，其对应关系为：表示，其对应关系为： T T1 1T T2 2T T3 3T T4 4T T5 5T T6 6 xxxx yyyy zzzz yzyz z zx x xyxy应力张量和应变张量的情况有一点不同，当应力张量和应变张量的情况有一点不同，当 =4=4、5 5、6 6时，时，T T = = ijij，而，而S S =2S=2Sijij（i i j j）。）。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保
46、证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物84作用在体积元上作用在体积元上 x x y y z z的力与应力张量元的力与应力张量元 ijij之之间的关系。如图所示，沿间的关系。如图所示，沿x x方向力的分量有三个方向力的分量有三个: : 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物85所以作用在体积元所以作用在体积元 x x y y z z上力的上力的x x分量为：分量为：采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物86
47、作用在单位体积上力的作用在单位体积上力的x x分量为：分量为：同理：同理： 以上公式在建立描述固体中弹性波传播的方程时将以上公式在建立描述固体中弹性波传播的方程时将会用到。会用到。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物87胡克定律胡克定律 HookHooks laws law对于足够小的形变，应变与应力成正比，因此应对于足够小的形变，应变与应力成正比，因此应变分量是应力分量的线性函数，这一规律称为胡变分量是应力分量的线性函数，这一规律称为胡克定律，写成矩阵形式为克定律，写成矩阵形式为: : 采用P
48、P管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物88采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物89弹性柔顺常数弹性柔顺常数 compliancecompliance弹性柔顺常数的物理意义弹性柔顺常数的物理意义 :s11=( S1/ T1) Tk，当其它应力分量，当其它应力分量Tk (k 1)为为常数（或常数（或Tk =0）时，由于沿）时，由于沿x方向的伸缩应力方向的伸缩应力T1的改变引起的改变引起x方向伸缩应变方向伸缩应变S
49、1的改变，与伸缩的改变，与伸缩应力应力T1的改变成正比。的改变成正比。 可见可见s11只与只与x方向的伸缩应力方向的伸缩应力T1和伸缩应变和伸缩应变S1有关。有关。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物90s12=(S1/T2)Tk，当其它应力分量Tk (k2)为常数（或Tk =0）时，由于沿y方向的伸缩应力T2的改变引起x方向伸缩应变S1的改变，与伸缩应力T2的改变成正比。或s12=(S2/T1)Tk，当其它应力分量Tk (k1)为常数（或Tk =0）时，由于沿x方向的伸缩应力T1的改变引起y方
50、向伸缩应变S2的改变，与伸缩应力T1的改变成正比。可见s12 为与y方向的伸缩应力T2和x方向的伸缩应变S1有关的弹性柔顺常数；或者为与x方向的伸缩应力T1和y方向的伸缩应变S2有关的弹性柔顺常数。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物91 s14=(S1/T4)Tk，当其它应力分量Tk (k4)为常数（或Tk =0）时，由于x面上的切应力T4的改变引起x方向伸缩应变S1的改变与切应力T4的改变之比（x面即yz平面）。 或s14=(S4/T1)Tk，当其它应力分量Tk (k1)为常数（或Tk =0
51、）时，由于x面上的伸缩力T1的改变引起x面上伸切应变S4的改变与伸缩应力T1的改变之比。 可见s14 为与x面上的切应力T4和x方向的伸缩应变S1有关的弹性柔顺常数；或者为与x方向的伸缩应力T1和x面上的切应变S4有关的弹性柔顺常数。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物92s44=(S4/T4)Tk，当其它应力分量Tk (k4)为常数（或Tk =0）时，由于x面上的切应力T4的改变引起x面上切应变S4的改变与切应力T4的改变之比。可见s44 只与x面上的切应力T4和切应变S4有关的弹性柔顺常数。
52、其它弹性常数所代表的意义与s11、s12、s14和s44类似。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物93矩阵形式的胡克定律还可写为矩阵形式的胡克定律还可写为 由于应力、应变都是二级张量，所以弹性柔顺常数由于应力、应变都是二级张量，所以弹性柔顺常数s sijij共有共有3636个，其中独立的弹性柔顺常数共个，其中独立的弹性柔顺常数共2121个（如个（如果应力、应变都是果应力、应变都是9 9个独立分量，则弹性柔顺常数将个独立分量，则弹性柔顺常数将为为8181个）。弹性柔顺常数是一个四级张量。个）。弹性
53、柔顺常数是一个四级张量。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物94弹性刚度常数弹性刚度常数 sTiffnesssTiffness胡克定律也可表示为胡克定律也可表示为其中其中cij为弹性刚度常数，共有为弹性刚度常数，共有36个，独立的弹性个，独立的弹性刚度常数共刚度常数共21个，弹性刚度常数也是一个四级张个，弹性刚度常数也是一个四级张量。量。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物95矩阵形式矩阵形式: :
54、采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物96弹性常数与对称性弹性常数与对称性采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物97和和介介电电常常数数一一样样，材材料料的的弹弹性性常常数数也也与与对对称称性性有有关。关。描写描写各向同性弹性介质各向同性弹性介质的独立弹性常数只有两个；的独立弹性常数只有两个；描描写写完完全全各各向向异异性性介介质质弹弹性性介介质质的的独独立立弹弹性性常常数数共有共有2121个；个；而而介
55、介于于各各向向同同性性与与完完全全各各向向异异性性之之间间的的介介质质，它它们的独立弹性常数个数则介于们的独立弹性常数个数则介于2 2 2121之间。之间。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物98例例如如，属属于于三三斜斜晶晶系系1 1点点群群的的压压电电晶晶体体是是完完全全各各向向异异性性的，独立的弹性常数共有的，独立的弹性常数共有2121个。个。属属于于立立方方晶晶系系的的2323点点群群和和3m3m点点群群的的压压电电晶晶体体，是是对对称称性性最最高高的的晶晶体体，它它接接近近于于完完全全各
56、各向向同同性性。独独立立的的弹弹性性常常数数只有三个。只有三个。属属于于四四方方晶晶系系4mm4mm点点群群的的BaTiOBaTiO3 3晶晶体体，独独立立弹弹性性常常数数共共有有六个。六个。属属于于六六角角晶晶系系3232点点群群的的 - -石石英英晶晶体体和和点点群群的的LiNbOLiNbO3 3，独独立弹性常数都是六个。立弹性常数都是六个。属属于于正正交交晶晶系系mm2mm2点点群群的的铌铌酸酸钡钡钠钠（BaBa2 2NaNbNaNb5 5O O1515）晶晶体体和和222222点点群群的的酒酒石石酸酸钾钾钠钠（NaKCNaKC4 4H H4 4O O6 6 4H4H2 2O O）晶晶体
57、体，独独立立弹弹性常数有性常数有9 9个。个。不同对称性晶类的独立弹性常数不同对称性晶类的独立弹性常数采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物99根据根据NeumannNeumann原则，晶体的对称性不仅表原则，晶体的对称性不仅表现在结构上，也表现在它的物理特性上，现在结构上，也表现在它的物理特性上，因此晶体的弹性常数必然和晶体的对称因此晶体的弹性常数必然和晶体的对称性密切相关。性密切相关。通常是晶体的对称性愈高，其独立的弹通常是晶体的对称性愈高，其独立的弹性常数分量数目愈少。性常数分量数目愈少。采用
58、PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物100为了确定晶体具有的独立弹性常数，通常有两种方法：一种是脚标代换法；另一种是坐标变换法。由于坐标变换法具有普适性因此我们首先讨论弹性常数张量的坐标变换。此外对于各向异性晶体，其弹性常数的数值都是对于正常晶体坐标系弹性常数的数值都是对于正常晶体坐标系给出的给出的，而实际使用的晶片往往是旋转切割的，其坐标选取与正常的晶体坐标系不同，为此必须将弹性常数张量从晶体坐标系变换到实际采用的坐标系中下面首先讨论应力和应变张量的坐标变坐标变换换。采用PP管及配件：根据给水设计图
59、配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物101应力张量应力张量X X和应变张量和应变张量x x坐标变换坐标变换设新旧坐标系分别为设新旧坐标系分别为O-O-x x1 1,x,x2 2,x,x3 3和和O-O-x x1 1,x,x2 2,x,x3 3, ,如右图示。如右图示。新旧坐标系的坐标轴的方新旧坐标系的坐标轴的方向余弦为：向余弦为：采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物102上述新旧坐标系的方向余弦的上述新旧坐标系的方向余弦的9 9个数
60、构成一个正个数构成一个正交矩阵交矩阵采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物103因为应力因为应力T和应变和应变S是二阶张量，所以它们的坐标变是二阶张量，所以它们的坐标变换遵从二阶张量的变换规则。首先考虑应力张量的换遵从二阶张量的变换规则。首先考虑应力张量的坐标变换，设坐标变换，设T和和T分别为坐标变换前后的应力张分别为坐标变换前后的应力张量，则根据二阶张量的变换法则有量，则根据二阶张量的变换法则有 T=A T A1 或或 T=ATA-1采用爱因斯坦脚标重复自动求和规则，变换前后应采用爱因斯坦脚标重复
61、自动求和规则，变换前后应力的分量可写成：力的分量可写成：Tij=aimajnTmn。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物104将上式展开，首先考虑到将上式展开，首先考虑到i=j=1i=j=1时应力分量时应力分量T T1111，有有: :将上式完全展开，得将上式完全展开，得采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物105整理，得整理，得: :应力矩阵元采用缩写下标，上式可写为应力矩阵元采用缩写下标，上式可写为
62、: :采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物106同理可以得出变换后应力张量的其余五个分量同理可以得出变换后应力张量的其余五个分量采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物107上面六组联立代数方程组的矩阵形式上面六组联立代数方程组的矩阵形式式中：式中：应力张量的坐标变换关系应力张量的坐标变换关系采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保
63、持熔接部位干净无污物108矩阵矩阵MM叫做应力张量的变换矩阵叫做应力张量的变换矩阵采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物109按照完全相同的方法可以得出按照完全相同的方法可以得出式中：式中：应变张量应变张量S S的坐标变换关系的坐标变换关系采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物110矩阵矩阵NN称为应变张量的变换矩阵称为应变张量的变换矩阵注意矩阵注意矩阵M M、N N的不同！的不同！采用PP管及配件：根据
64、给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物111使用完全类似的方法使用完全类似的方法, ,还可以求出应力张量的逆变还可以求出应力张量的逆变换矩阵换矩阵MM-1-1和应变张量的逆变换矩阵和应变张量的逆变换矩阵NN-1-1, ,即即T=MT=M-1-1TT, S=N, S=N-1-1SS 并得出如下关系式并得出如下关系式: :MM-1-1=N=NT T, N, N-1-1=M=MT T式中式中, M, MT T为为MM转置矩阵转置矩阵,N,NT T为为NN的转置矩阵的转置矩阵. .采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配
65、件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物112弹性常数张量的坐标变换弹性常数张量的坐标变换设胡克定律在原是坐标中表示为设胡克定律在原是坐标中表示为T=cS, S=sT T=cS, S=sT 在坐标变换后新坐标系中表示为在坐标变换后新坐标系中表示为TT=c=cSS, S, S=s=sTT (1) (1) 根据新旧坐标变换关系式有根据新旧坐标变换关系式有TT=MT, S=N=MT, S=N-1-1SS 故有故有TT=McS=McN=McS=McN-1-1SS 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以
66、保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物113将上式和将上式和(1)(1)比较得出弹性刚度常数在新旧坐标系比较得出弹性刚度常数在新旧坐标系中的变换关系为中的变换关系为cc=McM=McMT T (2)(2)同理同理, ,可得到弹性柔顺常数在新旧坐标系中的变换可得到弹性柔顺常数在新旧坐标系中的变换关系关系ss=NsN=NsNT T (3) (3)由式由式(2)(2)和和(3)(3)可知可知, ,只要知道了应力和应变张量的只要知道了应力和应变张量的坐标变换矩阵坐标变换矩阵MM和和N,N,就可以求出弹性常数张量就可以求出弹性常数张量的坐标变换。的坐标变换。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管
67、及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物114为了确定晶体独立弹性常数为了确定晶体独立弹性常数, ,必须根据晶体的对称必须根据晶体的对称性性, ,并应用并应用NeumannNeumann原则来完成原则来完成, ,现在以三角系现在以三角系3m3m点点群晶体为例子来进行讨论。群晶体为例子来进行讨论。对于三角晶系对于三角晶系3m3m点群的晶系点群的晶系,x=0,x=0的面是对称面的面是对称面,z,z轴为三阶转轴轴为三阶转轴, ,根据根据NeumannNeumann原则原则, ,晶体的弹性常数晶体的弹性常数张量经上述对称性操作张量经上述对称性操作, ,
68、其值不应改变。其值不应改变。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物115对于对于x x1 1=0=0的对称面的对称面, ,新旧坐标选取如下图新旧坐标选取如下图, ,新旧坐新旧坐标系之间的方向余弦矩阵为标系之间的方向余弦矩阵为: :采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物116将上式代入应变张量矩阵的坐标变换将上式代入应变张量矩阵的坐标变换矩阵矩阵NN为：为：采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件
69、，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物117将坐标变换矩阵代入弹性柔顺常数在新旧坐标将坐标变换矩阵代入弹性柔顺常数在新旧坐标系中的变换式：系中的变换式：ss=NsN=NsNT T得，得，采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物118由于由于x=0x=0面为对称面面为对称面, ,新旧坐标系的弹性柔顺新旧坐标系的弹性柔顺常数矩阵应该相等常数矩阵应该相等, ,即即s sijij=s=sijij, ,为此只有下式为此只有下式成立时才能满足成立时才能满足s s151
70、5=s=s1616=s=s2525=s=s2626=s=s3535=s=s3636=s=s4545=s=s4646=0=0所以弹性柔顺常数矩阵变成如下所以弹性柔顺常数矩阵变成如下: :采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物119采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物120由于由于z(xz(x3 3) )轴为三阶转轴轴为三阶转轴, ,新旧坐标系选新旧坐标系选取如图示取如图示, ,对此新旧坐标系的变换矩阵为对
71、此新旧坐标系的变换矩阵为: :新坐标：0-x1x2x3旧坐标：0-x1x2x3aij : i为旧坐标，j为新坐标采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物121将上式代入坐标变换矩阵将上式代入坐标变换矩阵采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物122NN的转置矩阵是的转置矩阵是采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1
72、23将将NN和和NNT T代入代入ss=Ns=NsNNT T, ,再令再令ss=s=s,得到得到s s1111=s=s22,22, s, s1313=s=s2323, s, s1414=-s=-s24,24,s s3434=0, =0, s s4444=s=s5555,s,s5656=2s=2s1414, s, s6666=2(s=2(s1111-s-s1212).).采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物124又因为又因为: :采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角
73、切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物125由此可见由此可见, ,独立的弹性柔顺常数只有独立的弹性柔顺常数只有s s1111, , s s1212, s, s1313, s, s1414, s, s3333, s, s4444共六个共六个所以所以采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物126足标代换法 以以222222点点群群为为例例。222222点点群群表表示示有有三三个个二二次次旋旋转转轴轴，分分别别沿沿x,y,zx,y,z方方向向。先先考考察察沿沿z z轴轴的的二二次次
74、旋旋转转轴轴。因因为为z z轴轴是是二二阶阶轴轴，当当晶晶体体绕绕z z轴轴转转180180 后后，晶晶体坐标变换为，体坐标变换为，或或采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物127由由于于弹弹性性柔柔顺顺常常数数是是一一个个四四阶阶对对称称张张量量，完完善善的的写写法法应应有有四四个个足足标标。例例如如，s s11111111、s s11221122、s s11231123、s s12121212等等等等，通通常常为为了了方方便便，常常用用二二个个足足标标（缩缩写写下标）代替四个足标。下标）代替四个
75、足标。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物128四足标与双足标之间的关系为四足标与双足标之间的关系为112233231312123456例如：例如：s s11111111s s1111，s s11221122s s1212，s s11231123s s1414，s s12121212s s6666等。当晶体绕等。当晶体绕z z轴转轴转180180 后，四足标中的变换为，后，四足标中的变换为，11111111，22222222，33333333，2323-23-23，1313-13-13，12121
76、212；双足标中的变换为；双足标中的变换为1 11 1，2 22 2，3 33 3，4 4- -4 4，5 5-5-5，6 66 6。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物12911，22，33，4-4，5-5，66采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物130绕绕z z轴转轴转180180 后：后：绕绕x x、y y轴转轴转180180 后：后：采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在
77、管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物131因为因为z z轴是二阶轴，当晶体绕轴是二阶轴，当晶体绕z z轴转轴转180180 后，弹后，弹性柔顺常数应保持不变，这就要求性柔顺常数应保持不变，这就要求s sijij=s=sijij, i,j=1,2,3,4,5,6, i,j=1,2,3,4,5,6可见，只有当可见，只有当s s1414=s=s1515=s=s1616=s=s3434=s=s3535=s=s4646=s=s5656=0=0时两者时两者才完全一致。再利用才完全一致。再利用222222点群晶体的轴是二阶轴，点群晶体的轴是二阶轴，重复上述方法，可以得到
78、重复上述方法，可以得到s s1616=s=s2626=s=s3636=s=s4545=0=0。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物132最后得到属于正交晶系最后得到属于正交晶系222222点群晶体的弹性柔点群晶体的弹性柔顺常数如下。其中独立弹性柔顺常数共顺常数如下。其中独立弹性柔顺常数共9 9个。个。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物各向同性材料133采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配
79、件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物134对于各向同性的多晶体，胡克定律的形式为对于各向同性的多晶体，胡克定律的形式为 式中式中s44=2（s11-s12），有两个独立的弹性常数；），有两个独立的弹性常数； 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物135写成分量形式为写成分量形式为 ：从胡克定律看出，各向从胡克定律看出，各向同性物体的的应力同性物体的的应力T1、T2、T3只对伸缩形变有贡只对伸缩形变有贡献，而与切应变无关；献，而与切应变无关；切应力切应
80、力T4、T5、T6只对切只对切应变有贡献，而与伸缩应变有贡献，而与伸缩形变无关。并且切应力形变无关。并且切应力T4只对切应变只对切应变S4有贡献，有贡献，与切应变与切应变S5、S6无关；无关；T5、T6情况与此相同。情况与此相同。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物136实验上常采用杨氏模量实验上常采用杨氏模量E，泊松比，泊松比 及切变模量及切变模量G来来代替弹性柔顺常数代替弹性柔顺常数s11、s12、s44。它们之间的关系为：。它们之间的关系为： Yangs modulusPoission r
81、aTioShear modulus采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物137用杨氏模量用杨氏模量E E，泊松比泊松比 及切变及切变模量表示的各向模量表示的各向同性介质的虎克同性介质的虎克定律：定律：采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物138采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物139采用PP管及配件：根据给
82、水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物140采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物141采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物142压电陶瓷的弹性常数压电陶瓷的弹性常数 先看弹性柔顺常数先看弹性柔顺常数s s1111、s s2222、s s3333。因因为为s s1111反反映映压压电电陶陶瓷瓷沿沿x x方方向向伸伸缩缩形形变变的的弹
83、弹性性柔柔顺顺常数，它只与常数，它只与x x方向的弹性性质有关。方向的弹性性质有关。同同理理，s s2222、s s3333是是分分别别是是反反映映压压电电陶陶瓷瓷沿沿y y方方向向和和z z 方方向向伸伸缩缩形形变变的的弹弹性性柔柔顺顺常常数数，它它们们分分别别只只与与y y方方向向和和z z方向的弹性性质有关。方向的弹性性质有关。而而经经过过极极化化处处理理后后的的压压电电陶陶瓷瓷（设设轴轴z z轴轴为为极极化化轴轴），沿沿z z方方向向的的性性质质就就与与沿沿x x、y y轴轴方方向向的的性性质质就就不不一一样样了了。所所以以s s1111 s s3333、s s2222 s s3333
84、，但但是是对对于于x x轴轴与与y y轴轴之之间间则则没没有有任任何何差差别别，即即xyxy平平面面是是各各向向同同性性面面。这这就就要要求求弹弹性柔顺常数性柔顺常数s s1111=s=s2222，于是得到，于是得到s s1111=s=s2222 s s3333的结论。的结论。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物143s s1212、s s1313、s s2323等弹性柔顺常数。等弹性柔顺常数。因因为为任任何何弹弹性性介介质质，当当纵纵向向伸伸长长时时，横横向向都都要要产产生生收收缩缩。而而s s
85、1212、s s1313、s s2323就就是是反反映映这这一一性性质质的的弹弹性柔顺常数，所以性柔顺常数，所以s s1212、s s1313、s s2323都不可能等于零。都不可能等于零。由由于于压压电电陶陶瓷瓷的的xyxy平平面面是是各各向向同同性性面面，当当其其x x轴轴与与y y轴轴之之间间互互换换时时，弹弹性性常常数数应应保保持持不不变变，这这就就要求要求s s1313=s=s2323。但但是是压压电电陶陶瓷瓷的的x x轴轴与与z z轴轴之之间间不不能能互互换换，这这就就要要求求s s1212 s s2323，于于是是得得到到s s1212 s s2323=s=s1313。此此外外还
86、还有有s s1414=s=s2424，s s1515=s=s2525，s s1616=s=s2626。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物144s s4444、s s5555、s s6666等弹性柔顺常数等弹性柔顺常数又因为又因为xyxy平面的各向同性，当平面的各向同性，当x x轴与轴与y y轴之间互换轴之间互换时，弹性柔顺常数应保持不变，即，时，弹性柔顺常数应保持不变，即， 因为：因为：采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度
87、，保持熔接部位干净无污物145而而 x x轴轴 、 y y轴轴 与与 z z轴轴 之之 间间 不不 能能 互互 换换 ， 固固 有有s s4444=s=s5555 s s6666。s s1414、s s1515、s s1616、s s2424、s s2525、s s2626、s s3434、s s3535、s s3636、s s4545、s s4646、s s5656等等弹弹性性柔柔顺顺常常数数，可可用用足足标标代代换换法法证明它们皆等于零。证明它们皆等于零。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1
88、46最最后后得得到到压压电电陶陶瓷瓷的的弹弹性性柔柔顺顺常常数数用用矩阵表示为：矩阵表示为：其其中中独独立立弹弹性性柔柔顺顺常常数数为为s s1111、s s1212、s s1313、s s3333、s s4444五个。五个。采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物147用用上上述述相相同同的的方方法法，可可得得到到压压电电陶陶瓷瓷的的弹弹性性刚度常数用矩阵表示为刚度常数用矩阵表示为：其中独立弹性柔顺常数为其中独立弹性柔顺常数为c c1111、c c1212、c c1313、c c3333、c c4444五个。五个。 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物各晶系的弹性常数个数148锆钛酸铅压电陶瓷PZT-5H
