《（江苏专用）高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 几何证明选讲 课时2 圆的进一步认识 理-人教版高三数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 几何证明选讲 课时2 圆的进一步认识 理-人教版高三数学试题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时2圆的进一步认识1圆周角与圆心角定理(1)圆心角定理：圆心角的度数等于其所对弧的度数(2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90.反之，90的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径)2圆的切线的性质及判定定理(1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心3切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等4弦切角定理弦切角的度数等于
2、其所夹弧的度数的一半5与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB，CD相交于圆内点P(1)PAPBPCPD；(2)ACPBDP(1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角割线定理PAB，PCD是O的割线(1)PAPBPCPD；(2)PACPDB(1)求线段PA，PB，PC，PD；(2)应用相似求AC，BD切割线定理PA切O于A，PBC是O的割线(1)PA2PBPC；(2)PABPCA(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC切线长定理PA，PB是O的切线(1)PAPB；(2)OPAOPB(1)证明线段相等，已知PA求PB；(2)求角6.圆
3、内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆内接四边形的对角互补(2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆1如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点求证：APBCACCP.证明因为PC为圆O的切线，所以PCAPBC，又CPABPC，故CAPBCP，所以，即APBCACCP.2(2015重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，求BE的长解首先由切割线定理得PA2PCPD，因此PD12，CDPDPC9，又CEED21，因此CE6，ED3，再由相交弦定理AEEBCEED，所以BE2.3如
4、图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，求EF的长解AA，AEFACB，AEFACB，2，EF3.4.如图，在ABC中，ACB90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，求DE的长解在RtACB中，ACB90，A60，ABC30.AB20，AC10，BC10.CD为切线，BCDA60.BDC90，BD15，CD5.由切割线定理得DC2DEDB，即(5)215DE，DE5.题型一圆周角、弦切角和圆的切线问题例1(2015课标全国)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明
5、：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小(1)证明连结AE，由已知得，AEBC，ACAB.在Rt AEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连结OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，即DE是O的切线(2)解设CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2，即x4x2120.可得x，所以ACB60.思维升华(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周
6、角或弦切角(1)如图所示，O的两条切线PA和PB相交于点P，与O相切于A，B两点，C是O上的一点，若P70，求ACB的大小(2)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，且满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长解(1)如图所示，连结OA，OB，则OAPA，OBPB.故AOB110，ACBAOB55.(2)如图，连结OA，由圆周角定理知AOC60，又OAPA，在RtPOA中，PAOAtanAOC1.题型二四点共圆问题例2如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A，P，O，M四
7、点共圆；(2)求OAMAPM的大小(1)证明如图，连结OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP，因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)解由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM，由(1)得OPAP，因为圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.思维升华(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆如图所示，四
8、边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以DCBE，由已知得CBEE，故DE.(2)如图，设BC的中点为N，连结MN，则由MBMC知MNBC，故点O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形题型三与圆有关的比例线段例3(2015陕西)如图，AB切O于点B，直线AO 交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.
9、(1)证明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直径(1)证明因为DE为O的直径，则BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED，又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)解由(1)知BD平分CBA，则3，又BC，从而AB3，所以AC4，所以AD3，由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直径为3.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆
10、周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用(1)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF，AFFBBE421，若CE与圆相切，求线段CE的长(2)(2014湖北)如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点若QC1，CD3，求PB的长解(1)由相交弦定理得AFFBDFCF，由于AF2FB，可解得FB1，所以BE.由切割线定理得CE2BEEA，即CE.(2)由切割线定理得QA2QCQD4，解得QA2.由切线长定理得PBPA2QA4.1判定切线通常有三种方法：(1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)与圆心距
11、离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线2四点共圆问题主要结合圆中有关边、角定理进行推理和说明，利用圆内接四边形的性质或判定对问题求解3解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握A组专项基础训练(时间：50分钟)1(2015江苏)如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.证明因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以
12、ABDE，又BAE为公共角，可知ABDAEB.2如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.证明因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.3(2015湖南)如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：MENNOM180.证明如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180，又四边形的内角和等于360，故MENNOM180.4.如图，AB是圆O
13、的直径，直线CE与圆O相切于点C，ADCE于点D，若圆O的面积为4，ABC30，求AD的长解由题意可知圆O的半径为2，在RtABC中，由ABC30可得ACAB2，由弦切角定理可知ACDABC30，故ADAC1.5.如图，已知CB是O的一条弦，A是O上异于B，C的任意一点，过点A作O的切线交直线CB于点P，D为O上一点，且ABDABP.求证：AB2BPBD.证明AP与O相切于点A，AB为O的弦，ADBPAB，又在DBA和ABP中，DBAABP，DBAABP，即AB2BPBD.6. 如图，过O外一点P作O的切线PA，切点为A，连结OP与O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D，若PA12 cm，PC6 cm，求CD的长解设O的半径为r，由切割线定理得AP2PC(PC2r)，即1226(62r)，解得r9.连结OA，则有OAAP.又CDAP，所以OACD.所以，即CD cm.B组专项能力提升(时间：30分钟)7如图，已知AB是O的直径，CD
