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1、为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一？首都师范大学王尚志为什么把必修1作为其它必修课程的基础？最主要的原因是突出函数的作用和意义。20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。”函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一。为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。（1）在义务教育阶段，特别是在小学时期，数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入
2、数学的源泉。在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。以重量、时间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。在日常生活中，有两种量常量和变量。在义务教育阶段，首先，帮助学生理解常量，或者理解数量，理解数量的大小，理解数量的加、减、乘、除，等等。有些量是已知的，有一些是未知的，渗透未知量的概念，这是对量认识的一个飞跃，在小学阶段，经历了一个很长的过程。例如，在引入减法时，我们常常会使用这样的例子，5加多少等于9，即5+？=9。现在，在小学5、6年级，初步地形成方程的概
3、念，这是对量认识飞跃的一个标志，对方程的认识也是一个很长的过程，把对方程的认识纳入到函数体系，这是克莱因思想的组成部分，是非常重要的。在近代数学中，用算子理论认识微分方程，这两者本质上是一样的。从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。这件事在小学就开始做了。通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，例如，时间，路程、速度、加速度、温度、湿度等等。有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿度就没有依赖关系。有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化，又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些变
4、量之间都有着密切的依赖关系。这样的例子比比皆是。通过大量的实例，就建立起了反映变量之间相互依赖关系的概念函数关系。虽然这样的描述并不是十分严格，但是这是认识函数关系的重要视角。有人认为这是对函数的初步认识，这种说法不完全，变量与变量的依赖关系，从一个方面，揭示了函数的本质。函数是一个变量与另一个变量之间的一座桥，学习了映射，会对“桥”有更深入的理解。（2）在高中阶段，学习的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。我们在任何一个生活情景中，例如，邮局、加油站、机场等等，都会发现许多描述规律的函
5、数关系。在其他学科，如物理、化学、生物、地理、社会、经济等学科中，描述规律的函数关系比比皆是。参看以下实例。例如，人们早就发现了放射性物质的衰减（衰变）现象.在考古工作中，常用碳4）的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律：其中表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了（年）后尚存的质量，是一个无理数常数，约等于为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，碳的半衰期大约是年，由此可确定系数.人们又知道，放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的.年在巴比伦发现一根刻有王朝字样的木炭，当、余时测定，其碳分子的衰减速度为个每克每分钟，而新砍伐
6、烧成的样伙*木炭中碳的衰减速度为个每克每分钟.我们可以估算出ub王朝所在年代.事实上，因为碳的半衰期是年.所以建立方程1=e32解得二，由此可知碳的衰减规律服从指数型函数设发现王朝木炭的时间（年）为王朝时期后的年.因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以C（t）4.090C6.6804.09丁疋e-0.00012tn6.68两边取常用对数，得一=.得=年.即王朝大约存在于公元前年.(3) 在此基础上，进一步抽象概括出函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量和联系起来了。()知道了函数的定义之后，再去研究它的性质。我们
7、先让学生认识一些具体函数的模型，例如，分段函数，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，我们引入了刻画函数变化的单调性、周期性、奇偶性等基本的性质。单调性疋中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。例如，简单的幂函数，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数的图形的基本形状以及它的变化。周期性也疋中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数
8、模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。(5)在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们程的求解问题呢？在高中课程中我们介绍了二分法求解方程。这种二分法解方程体现了这样一种思想：用函数的整体性质讨论函数的局部性质。具体来说，在上，给定一个连续函数，若与
9、的符号不相同，那么函数图像会从（）点出发穿过轴到达（）点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的解。例如，判断方程-的根的存在性。我们可以考察函数=-，其图象为抛物线，如图。容易看出，v,由于函数的图象是连续曲线，因此点-与点之间的那部分曲线必然穿过轴，即在区间内必有一点，使=0同样，在区间-内也必有一点，使=。所以，方程-有两个实根。我们可以用学过的解方程的方法来验证这个结论。用函数的观点来讨论不等式的问题会有很大的“好处”。不等式是高中必修课程中一个重要的内容，例如，一元二次不等式，简单的线性规划问题，用函数的观点看待这些问题，有助于更好的理解这些知识本身。在高中课程中，函数与数
10、列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修3、4中的大部分专题内容都有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，更加深了对于函数思想的认识。（7）在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用，例如，群结构中的同态、同构；度量结构中的保距；拓扑结构中的连续、同胚；序结构中的保序、同构；等等。这些
11、都是极其重要的映射。综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。我们学习数学是“线性序”，但数学本身不是“线性的”。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来。为了在高中数学课程中贯穿这一主线，在教学时，应把握以下几点。（1）对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论。教师应该帮助学生在头脑中建立起几个重要的模型，并把这些留在
12、头脑中。学生应该在头脑中留下几个具体的实际模型，比如，分段函数，以及基本的函数模型，比如，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、性质以及函数研究方法的理解。再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之间的联系例如，指数函数的性质：apaP。不严格地说，它把定义域中的加法运算变成了函数值的乘积运算。所以当时，指数函数增长得很快的原因就在于此。（2）函数的教学一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图像法去刻画一个具体函数时，我们都要让学生在脑子里形成一个图形。只有把握住图形才能把握住一个函数的整体情况，这样的学习习惯有助于提高运用几何思想、把握图形的能力。所以，我们常常说学习函数要体现数形结合。（3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。可以在教学中渗透数学建模的思想。例如，心电图就是一种时间和心跳频率的函数关系。例如，股市行情图也是反映了一种函数关系。上讖oooooi()在学需要不断地体习与函数知识有关理解函数思想。实际上i们带来生整个高中数学课程中，都2004/5/1215：00
