《概率论与数理统计：5各态历经性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：5各态历经性（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、各态历经性的引言 如果我们能对过程X(t)进行多次重复观察从而得到多条样本曲线用统计方法可以估计其均值及自相关函数 在实际中,常用如下的方法确定x及Rx()： 其中T充分大，X(t)是X(t)的一个样本函数。即：集平均（均值和自相关函数等）实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值代替。这样节约了大量的工作量，本节就讨论这种方法的理论依据。 由于所采用的极限(收敛)的标准不同得到的遍历性定理也不同，关于平稳过程的遍历性主要有两类：(1)对强平稳过程在几乎处处收敛的意义下的遍历性 定理；(2)对弱平稳过程在均方收敛的意义下的遍历性定理； 一、 平稳过程遍历性的定义： 首先引入平稳过程X(t)
2、，-t+沿整个时间轴上的两种时间平均： 设X(t)为均方连续的平稳过程，且对固定的，X(t)X(t+)也是均方连续的平稳过程 时间相关函数： 时间均值： 1定义(1). 设X(t)为平稳过程，若=EX(t)=x以概率1成立，称X(t)的均值具有均方遍历性均值具有均方遍历性。(2)若，=EX(t)X(t+)=Rx()以概率1成立，称X(t)的自相关函数具有均方遍历性相关函数具有均方遍历性。(3)若(1)(2)均成立，则称该过程具有均方遍历性过程具有均方遍历性，或称为遍历过程。问题：有没有这种遍历过程？例：计算随机相位正弦波X(t)=acos(t+ )=acostcos -sintsin 的时间平
3、均和. 解：已证此过程为平稳过程。 与第一节中集平均得到的结果相同。即：用时间平均和集平均算得的均值和自相关函数相同。 但并不是任意一个平稳过程都是具有遍历性的。例如：平稳过程X(t)=Y，Y是方差异于0的随机变量，就不是遍历的。 事实上， = = =Y. 即：时间均值随Y取不同的可能值而不同。 因Y的方差异于0，这样就不可能以概率1等于常数EX(t)=EY。那么，一个平稳过程满足何条件才是各态历经的呢？下面的定理给出了结论。 一、平稳过程遍历性的充要条件：平稳过程遍历性的充要条件：(均值遍历性定理)均方连续的平稳过程关于均值具有遍历性 证明：由遍历性定义，只须证： 与上式等价。 其中，令 ，
4、则 推论推论1 1. 均方连续的平稳过程关于均值具有遍历性 推论推论2 2. 均方连续的平稳过程X(t)，若满足 ，则它关于平均值具有均方遍历性X=0。 证：因为 2 2( (自相关函数遍历性定理) ) 均方连续的平稳过程X(t)，且对给定,X(t)X(t+)也是均方连续的平稳过程，则X(t)关于自相关函数具有遍历性 令=0，即得均值遍历性定理。 在实际问题中，通常只考虑定义在0t+上的平稳过程，此时上两定理所有时间平均应以0t+上的平均代替，相应的各态历经性如下： 1.X(t)关于均值具有遍历性 2.X(t)关于自相关函数具有遍历性 注：1.各态历经性定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保
5、证： 一个平稳过程X(t)，只要满足上述两条件，便可以从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定该过程的均值和自相关函数。即： 一、平稳过程的功率谱密度 1时间函数的能谱密度 设x(t)(-t+)是时间t的函数，且 ，由傅里叶变换理论： (1)设x(t)绝对可积，即 且满足狄里克莱条件，则x(t)的傅里叶变换存在,且在x(t)的连续点处 称为F()的傅里叶反变换。其中F()一般为复值函数，有 (2)在x(t)和F()之间有巴塞瓦尔等式 右边的被积函数|F()|2 相应地称为能谱密度，巴塞瓦尔等式即可看作总能量的谱表示式。 记S()=|F()|2,则上式为： 其中S()为偶函数。称S()为x(t)
6、的能谱密度， 称为x(t)的总能量的谱表示。 2时间函数的功率谱密度 上面假定 即x(t)的总能量有限，在实际问题中，大多数函数的总能量都是无限的，因而不能满足傅里叶变换条件，在工程技术中通常研究x(t)在(-t+)上的平均功率，即 及其谱表示。 设上极限存在，作一截尾函数 那么xT(t)满足傅里叶变换条件，于是有 由巴塞瓦尔等式有 两边同除以2T，得x(t)在(-TtT)上的平均功率为 令T，并假定积分与极限运算可以交换顺序，则 称上式左边平均功率，相应地，称右边的被积函数 为x(t)的功率谱密度。 3平稳过程的平均功率与功率谱密度 以上讨论的是普通时间函数的频谱分析，对于随机过程X(t),
7、 - t +可作类似的分析。 设X(t)是均方连续随机过程，作截尾随机过程因XT(t)均方可积，故存在傅氏变换 由巴塞伐等式有 因为X(t)是随机过程，于是有 上式就是随机过程X(t)的平均功率和功率谱密度关系的表示式。定义定义1 1：设X(t),-t0, mn，分母无实根。 例1:考虑随机电报信号，它是平稳过程且自相关函数为 ，A0,0, 求过程的功率谱密度。 解：应用公式 得： 例1:已知谱密度 求平稳过程X(t)的自相关函数和均方值解: . 利用上例及傅氏变换的线性性质 于是 均方值为 例2: 已知平稳过程的自相关函数为Rx()=e-a|Cos0 ,其中a0, 0为常数，求谱密度Sx()。 解:
