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1、第三章：线弹性断裂力学第三章：线弹性断裂力学断裂模式及对称性分析断裂模式及对称性分析三型裂纹裂尖场的渐近解三型裂纹裂尖场的渐近解复变函数（回顾）复变函数（回顾）三型裂纹裂尖场的解三型裂纹裂尖场的解应力强度因子应力强度因子KK-G关系关系计算计算K的常用方法的常用方法讨论讨论反平面剪切问题（一个相对简单的问题）反平面剪切问题（一个相对简单的问题）整理可得调和方程（或由整理可得调和方程（或由NavierNavier方程直接简化）方程直接简化）渐近解渐近解为什么有如此渐近的形式？为什么有如此渐近的形式？M.L. Williams. On the stress distribution at the
2、base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).分离变量法分离变量法George Rankine IrwinG.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).应力强度因子应力强度因子KI,II,III与与G之间的关系之间的关系G 与裂纹延伸时与裂纹延伸时能量的变化能量的变
3、化有关有关KI,II,III仅与仅与裂纹尖端区域的场强度裂纹尖端区域的场强度有关有关KI,II,III与与G之间的关系之间的关系?首先假设固定位移加载首先假设固定位移加载 针对针对III型裂纹型裂纹BA针对针对I、II、III型裂纹型裂纹如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？ 【作业题作业题3-5】复合型裂纹复合型裂纹可由能量平衡来理解可由能量平衡来理解逐渐放松保持力过程逐渐放松保持力过程这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。 裂纹扩展裂纹扩展q能量释放率和应力强度因子关系是假定能量
4、释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸裂纹呈直线延伸下得下得到的。到的。q在在II型和型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很多材料的实验观察表明，多材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I型断裂占优的路径。型断裂占优的路径。q此外，此外，I型断裂最为危险。型断裂最为危险。平面应变断裂韧性：平面应变断裂韧性：实验测量应力强度因子实验测量应力强度因子电测法电测法光弹法光弹法热弹性法（热弹性法（Thermoelastic Method）数字图像相关（数字图像相关（Digital image cor
5、relation）裂尖应变裂尖应变裂尖温度场裂尖温度场裂尖位移场裂尖位移场裂尖主应力裂尖主应力基于应力强度因子的断裂准则基于应力强度因子的断裂准则KIC 材料的断裂韧性材料的断裂韧性（Fracture toughness）实验测量实验测量KICASTMCompact tension (CT)Single edge notch bend (SENB)平面应变平面应变Crack mouth opening displacement (CMOD)此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法：荷
6、条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法：vWestergaard应力函数法（应力函数法（ Westergaard stress function）v权函数法（权函数法（Weight function）v线性叠加法线性叠加法 （Principle of superposition）应力强度因子求解应力强度因子求解应力强度因子的计算：应力强度因子的计算：Westergaard应力函数法（应力函数法（ Westergaard stress function）之前的解析函数构造时只关心裂尖处的之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场渐近场及边界条件，及边界条件，Westergaard应力函数方法将
7、满足所有边界，并能给出应力函数方法将满足所有边界，并能给出全场解。全场解。I、II型裂纹型裂纹应力函数应力函数应力场应力场位移场位移场Westergaard应力函数法（应力函数法（ Westergaard stress function）在在前前面面的的平平面面问问题题求求解解中中,需需要要确确定定两两个个解解析析函函数数j j(z)和和y y(z) ，其其实实在在对对称称和和反对称特例下，可利用反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。函数进一步简化为一个解析函数的求解。以以I型问题为例：型问题为例： 利用了对称性利用了对称性A为实常数为实常数解析延拓（定
8、义见下页）：解析延拓（定义见下页）： I型裂纹的型裂纹的Westergaard应力函数：应力函数：用用Westergaard应力函数表示应力、位移应力函数表示应力、位移应力场应力场位移场位移场当当 x2= 0时剪应力为零，这意味着时剪应力为零，这意味着裂纹面是主平面裂纹面是主平面。I型裂纹型裂纹例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板是是ZI(z)两个枝点，可猜测两个枝点，可猜测无穷远处的边界条件：无穷远处的边界条件：自由裂纹表面：自由裂纹表面：【作业题作业题3-6】双轴加载，但水双轴加载，但水平与竖直方向远平与竖直方向远场应力不同场应力不同一旦一旦Westerga
9、ard函数已知，便可知道全场解函数已知，便可知道全场解转换坐标到裂尖转换坐标到裂尖I型裂纹：型裂纹：应力场应力场位移场位移场裂纹面上裂纹面上还可用还可用Westergaard函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用（参见函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用（参见Koiter，1959的工作）。的工作）。如何猜测如何猜测Westergaard函数？函数？【题题3-7】对对于于周周期期性性分分布布的的共共行行、共共列列裂裂纹纹，如如何何提提边边界界条条件件？并并利利用用Westergaard函数证明裂尖应力强度因子。函数证明裂尖应力强度因子。共行裂纹的交互作用为共行裂纹的交互作用为加强各自的应力强
10、度因子加强各自的应力强度因子，而共列裂纹则起，而共列裂纹则起相互屏相互屏蔽作用蔽作用。II裂纹的裂纹的Westergaard应力函数应力函数裂纹面上裂纹面上应力场应力场位移场位移场II型中心裂纹承受远场均匀剪切型中心裂纹承受远场均匀剪切III型型裂纹的复变函数表示方法裂纹的复变函数表示方法应力场应力场位移场位移场III型中心裂纹承受远场均匀剪切型中心裂纹承受远场均匀剪切为了统一为了统一根据边界条件猜测根据边界条件猜测Westergaard函数函数边界条件边界条件裂纹面裂纹面无穷远无穷远III型裂纹面上承受集中力型裂纹面上承受集中力附：复变函数的性质附：复变函数的性质III型半无限场裂纹面上承受
11、集中力型半无限场裂纹面上承受集中力权函数法权函数法顾名思义，加权累加，所以要求线弹性顾名思义，加权累加，所以要求线弹性Bueckner, H.F., “A Novel Principle for the Computation of Stress Intensity Factors.” Zeitschrift f r Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 50, 1970, pp. 529545.Rice, J.R., “Some Remarks on Elastic Crack-Tip Stress Fields.” International J
12、ournal of Solids and Structures, Vol. 8, 1972, pp. 751758.James R. Rice为什么用机械总势能？（勒让德变换来改变变量）为什么用机械总势能？（勒让德变换来改变变量）把上述想法连续化，可得如下求解步骤：把上述想法连续化，可得如下求解步骤：（1 1）对一裂纹几何，若已知一种载荷下的解）对一裂纹几何，若已知一种载荷下的解权函数定义为权函数定义为（2 2）利用权函数可计算其它载荷下的应力强度因子）利用权函数可计算其它载荷下的应力强度因子不不需需要要知知道道权权函函数数的的全全场场值值，只只需需计计算算与与ta a、fa a载载荷荷功功共
13、共轭轭的的部部分分权权函数的分布值。函数的分布值。（3 3）该载荷下的位移场满足）该载荷下的位移场满足权函数是唯一的，与加载状态无关，仅表示裂纹构型的特征！权函数是唯一的，与加载状态无关，仅表示裂纹构型的特征！左端还是右端的应力强度因子？左端还是右端的应力强度因子？ 【题题3-8】如何计算左端的应力强度因子？（仍用此坐标系表达）如何计算左端的应力强度因子？（仍用此坐标系表达）无限长裂纹无限长裂纹半无限长裂纹半无限长裂纹Green函数函数权函数方法也可用于三维裂纹权函数方法也可用于三维裂纹线性叠加法线性叠加法对于对于线弹性材料线弹性材料，只要，只要断裂模式是一致的断裂模式是一致的，应力强度因子也
14、可以叠加。，应力强度因子也可以叠加。已知已知b、c的应力强度因子，如何求的应力强度因子，如何求a的强度因子？的强度因子？线性叠加法线性叠加法思考题？思考题？讨讨 论论渐近解渐近解与与全场解全场解的比较的比较渐近解渐近解全场解全场解K主导区域主导区域坐标在裂纹中心l为最小的特征尺度小小 结结 （二）（二）vK与与G之间的关系之间的关系v求求解解K的的方方法法Westergaard函函数数法法、权权函函数数法法、线线性叠加法性叠加法v讨论关于渐近解与全场解的比较讨论关于渐近解与全场解的比较作作 业业 题题【作业题作业题3-5】：仿照讲义中：仿照讲义中III型裂纹型裂纹KIII与与G之间的推导，独立
15、推导之间的推导，独立推导I、II型裂纹型裂纹KI 、KII与与G之间的关系。之间的关系。（1）给出）给出A图中裂尖使裂纹闭合的应力表示；图中裂尖使裂纹闭合的应力表示；（2）给出）给出B图中裂尖上下表面的位移差表示；图中裂尖上下表面的位移差表示；（3）代入如下公式计算）代入如下公式计算KI 、KII与与G之间的关系。之间的关系。AB作作 业业 题题【作业题作业题3-6】：如图所示，一中心裂纹在无限大板中承受双轴均匀拉伸，：如图所示，一中心裂纹在无限大板中承受双轴均匀拉伸，水平和竖直方向的远场应力分别为水平和竖直方向的远场应力分别为s s1和和s s2 。验证如下的。验证如下的Westergaar
16、d函数满函数满足所有边界条件（包括裂纹表面及无穷远处）。足所有边界条件（包括裂纹表面及无穷远处）。作作 业业 题题【题题3-7】对对于于周周期期性性分分布布的的共共行行、共共列列裂裂纹纹，如如何何提提边边界界条条件件？利利用用如如下下给给定定的的Westergaard函函数数证证明明裂裂尖尖应应力力强强度度因因子子的的表表示示式式。尝尝试试猜猜测测II型周期裂纹的型周期裂纹的Westergaard函数，并得出其裂尖应力强度因子。函数，并得出其裂尖应力强度因子。【题题3-8】如何计算左端的应力强度因子？（用图中坐标系表达）如何计算左端的应力强度因子？（用图中坐标系表达）作作 业业 题题【题题3-9】利用权函数方法求解如图所示的裂纹利用权函数方法求解如图所示的裂纹A和和B端的应力强端的应力强度因子。度因子。作作 业业 题题AB【题题3-10】如下图所示，一倾斜裂纹在无限大板中，推导裂尖的如下图所示，一倾斜裂纹在无限大板中，推导裂尖的应力强度因子应力强度因子KI和和KII。当。当s s1=s s2时，时， KI和和KII退化为什么？退化为什么？作作 业业 题题47 以上有不当之处，请大家给与批评指正，以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！谢谢大家！
