《高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.9 离散型随机变量的均值与方差课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.9 离散型随机变量的均值与方差课件 理（95页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节离散型随机变量的均值与方差【知识梳理【知识梳理】1.1.离散型随机变量离散型随机变量X X的分布列的分布列X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n2.2.离散型随机变量离散型随机变量X X的均值与方差的均值与方差均值均值( (数学期望数学期望) )方差方差计计算算公公式式E(X)=_E(X)=_D(X)=_D(X)=_x x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+ +x+xi ip pi i+ +x+xn np pn n均值均值( (数学期望数学期望) )方差方差作作用用反映了离散型随机变量反映了离散型随机变量取值
2、的取值的_刻画了随机变量刻画了随机变量X X与其均与其均值值E(X)E(X)的的_标标准准差差方差的方差的_为随机变量为随机变量X X的标准差的标准差 平均水平平均水平平均偏离程度平均偏离程度算术平方根算术平方根3.3.均值与方差的性质均值与方差的性质(1)E(aX+b)=_(a,b(1)E(aX+b)=_(a,b为常数为常数).).(2)D(aX+b)=_(a,b(2)D(aX+b)=_(a,b为常数为常数).).4.4.两点分布的均值与方差两点分布的均值与方差若随机变量若随机变量X X服从两点分布服从两点分布, ,则则E(X)=_,D(X)=_.E(X)=_,D(X)=_.aE(X)+ba
3、E(X)+ba a2 2D(X)D(X)p pp(1-p)p(1-p)5.5.二项分布的均值与方差二项分布的均值与方差若随机变量若随机变量X X服从参数为服从参数为n,pn,p的二项分布的二项分布, ,即即X XB(n,pB(n,p),),则则E(X)=_,D(X)=_.E(X)=_,D(X)=_.npnpnp(1-p)np(1-p)【特别提醒【特别提醒】1.1.随机变量随机变量X X与其均值的关系与其均值的关系均值均值E(X)E(X)由由X X的分布列唯一确定的分布列唯一确定, ,即即X X作为随机变量是可作为随机变量是可变的变的, ,而而E(X)E(X)是不变的是不变的, ,它描述它描述X
4、 X值的取值平均水平值的取值平均水平. .2.2.均值与方差的关系均值与方差的关系D(X)=E(XD(X)=E(X2 2)-E)-E2 2(X).(X).3.3.超几何分布的均值超几何分布的均值若若X X服从参数为服从参数为N,M,nN,M,n的超几何分布的超几何分布, ,则则E(X)=E(X)=【小题快练【小题快练】链接教材练一练链接教材练一练1.(1.(选修选修2-3P682-3P68练习练习T1T1改编改编) )已知已知X X的分布列为的分布列为X X-1-10 01 1P P设设Y=2X+3,Y=2X+3,则则E(Y)E(Y)的值为的值为( () )A. B.4 C.-1 A. B.4
5、 C.-1 D.1D.1【解析【解析】选选A.E(X)=A.E(X)=E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=2.(2.(选修选修2-3P642-3P64练习练习T4T4改编改编) )甲、乙两工人在一天生产甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,X,Y,其分布列分其分布列分别为别为: :X X0 01 12 23 3P P0.40.40.30.30.20.20.10.1Y Y0 01 12 2P P0.30.30.50.50.20.2若甲、乙两人的日产量相等若甲、乙两人的日产量相等, ,则甲、乙两
6、人中技术较好则甲、乙两人中技术较好的是的是_._.【解析【解析】甲、乙一天中出现废品数的均值分别为甲、乙一天中出现废品数的均值分别为E(X)=0E(X)=00.4+10.4+10.3+20.3+20.2+30.2+30.1=1,0.1=1,E(Y)=0E(Y)=00.3+10.3+10.5+20.5+20.2=0.9,0.2=0.9,所以所以E(X)E(Y),E(X)E(Y),故乙的技术较好故乙的技术较好. .答案答案: :乙乙感悟考题试一试感悟考题试一试3.(20163.(2016武汉模拟武汉模拟) )如图如图, ,将一个各面都涂了油漆的正将一个各面都涂了油漆的正方体方体, ,切割为切割为1
7、25125个同样大小的小正方体个同样大小的小正方体, ,经过搅拌后经过搅拌后, ,从中随机取一个小正方体从中随机取一个小正方体, ,记它的油漆面数为记它的油漆面数为X,X,则则X X的的均值均值E(X)=E(X)=( () )【解析【解析】选选B.P(X=3)= B.P(X=3)= ，P(X=2)=P(X=2)=P(X=1)= ,P(X=0)=P(X=1)= ,P(X=0)=E(X)=E(X)=4.(20164.(2016洛阳模拟洛阳模拟) )一个人将编号为一个人将编号为1,2,3,41,2,3,4的四个小的四个小球随机放入编号为球随机放入编号为1,2,3,41,2,3,4的四个盒子的四个盒子
8、, ,每个盒子放一每个盒子放一个小球个小球, ,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了, ,否否则叫做放错了则叫做放错了. .设放对个数记为设放对个数记为,则则的期望的值为的期望的值为( () )A. B. A. B. C.1 D.2C.1 D.2【解析【解析】选选C.C.将四个不同小球放入四个不同盒子，每将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有个盒子放一个小球，共有 种不同放法，放对的个数种不同放法，放对的个数可取的值有可取的值有0 0，1 1，2 2，4 4，其中，其中P(P(=0)=0)=5.(20155.(2015广东高考广东高考) )
9、已知随机变量已知随机变量X X服从二项分布服从二项分布B(n,pB(n,p) )，若，若E(X)=30,D(X)=20E(X)=30,D(X)=20，则，则p=_.p=_.【解析【解析】依题意可得依题意可得E(X)=npE(X)=np=30=30且且D(X)=np(1-p)=20D(X)=np(1-p)=20，解得，解得p= .p= .答案：答案：考向一考向一离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值( (数学期望数学期望) )与方差与方差【考情快递【考情快递】 命命题方向方向命命题视角角求均求均值与方与方差差问题主要考主要考查根据根据题目的条件求某离散型随机目的条件求某离散型随机变量的分布列、
10、均量的分布列、均值与方差与方差, ,属低中档属低中档题均均值与方差与方差的的应用用问题根据均根据均值或方差的大小或方差的大小, ,求某些参数的求某些参数的问题【考题例析【考题例析】命题方向命题方向1:1:求均值与方差问题求均值与方差问题【典例【典例1 1】(2015(2015山东高考山东高考) )若若n n是一个三位正整数是一个三位正整数, ,且且n n的个位数字大于十位数字的个位数字大于十位数字, ,十位数字大于百位数字十位数字大于百位数字, ,则则称称n n为为“三位递增数三位递增数”( (如如137,359,567137,359,567等等).).在某次数学趣味活动中在某次数学趣味活动中
11、, ,每位参加者需从所有的每位参加者需从所有的“三位三位递增数递增数”中随机抽取中随机抽取1 1个数个数, ,且只能抽取一次且只能抽取一次, ,得分规则得分规则如下如下: :若抽取的若抽取的“三位递增数三位递增数”的三个数字之积不能被的三个数字之积不能被5 5整除整除, ,参加者得参加者得0 0分分; ;若能被若能被5 5整除整除, ,但不能被但不能被1010整除整除, ,得得-1-1分分; ;若能被若能被1010整除整除, ,得得1 1分分. .(1)(1)写出所有个位数字是写出所有个位数字是5 5的的“三位递增数三位递增数”. .(2)(2)若甲参加活动若甲参加活动, ,求甲得分求甲得分X
12、 X的分布列和数学期望的分布列和数学期望E(X).E(X).【解题导引【解题导引】(1)(1)分十位数字是分十位数字是2,3,42,3,4讨论讨论.(2).(2)先求先求X X的的可能取值及对应概率可能取值及对应概率, ,再求分布列及数学期望再求分布列及数学期望. .【规范解答【规范解答】(1)(1)若十位数字是若十位数字是4,4,有有145,245,345;145,245,345;若十若十位数字是位数字是3,3,有有135,235;135,235;若十位数字是若十位数字是2,2,有有125.125.所以个所以个位数字是位数字是5 5的的“三位递增数三位递增数”有有145,245,345,13
13、5, 145,245,345,135, 235,125235,125共共6 6个个. .(2)(2)个位数字是个位数字是3 3时时, ,有有1 1个个; ;个位数字是个位数字是4 4时时, ,有有3 3个个; ;个位个位数字是数字是5 5时时, ,有有6 6个个; ;个位数字是个位数字是6 6时时, ,有有1010个个; ;个位数字是个位数字是7 7时时, ,有有1515个个; ;个位数字是个位数字是8 8时时, ,有有2121个个; ;个位数字是个位数字是9 9时时, ,有有2828个个, ,共共8484个个. .三个数字之积能被三个数字之积能被1010整除的有整除的有2222个个, ,三个
14、数字之积能被三个数字之积能被5 5整除整除, ,但不能被但不能被1010整除的有整除的有6 6个个, ,三个数字之积不能被三个数字之积不能被5 5整除的有整除的有5656个个. .X X的可能取值为的可能取值为-1,0,1,-1,0,1,P(X=-1)= ;P(X=0)= ;P(X=1)=P(X=-1)= ;P(X=0)= ;P(X=1)=所以所以X X的分布列为的分布列为所以所以X X的数学期望的数学期望E(X)=E(X)=X X-1-10 01 1P P【易错警示【易错警示】解答本题解答本题(2)(2)会出现以下错误会出现以下错误: :(1)(1)将将X X取值为取值为-1,0,1-1,0
15、,1时对应的时对应的“三位递增数三位递增数”的个数的个数确定错确定错, ,从而导致从而导致P(X=-1)P(X=-1)或或P(X=0),P(X=1)P(X=0),P(X=1)计算错误计算错误, ,而致误而致误. .(2)(2)将将E(X)E(X)的计算公式记错而致误的计算公式记错而致误. .(3)(3)在计算在计算E(X)E(X)的过程中计算错误而致误的过程中计算错误而致误. .命题方向命题方向2:2:均值与方差的应用问题均值与方差的应用问题【典例【典例2 2】(2016(2016郑州模拟郑州模拟) )设袋子中装有设袋子中装有a a个红球个红球,b,b个黄球个黄球,c,c个蓝球个蓝球, ,且规
16、定且规定: :取出一个红球得取出一个红球得1 1分分, ,取出一取出一个黄球得个黄球得2 2分分, ,取出一个蓝球得取出一个蓝球得3 3分分. .(1)(1)当当a=3,b=2,c=1a=3,b=2,c=1时时, ,从该袋子中任取从该袋子中任取( (有放回有放回, ,且每球且每球取到的机会均等取到的机会均等)2)2个球个球, ,记随机变量记随机变量为取出此为取出此2 2球所球所得分数之和得分数之和, ,求求的分布列的分布列. .(2)(2)从该袋子中任取从该袋子中任取( (每球取到的机会均等每球取到的机会均等)1)1个球个球, ,记随记随机变量机变量为取出此球所得分数为取出此球所得分数. .若
17、若E()= ,D(E()= ,D()= ,)= ,求求abcabc. .【解题导引【解题导引】(1)(1)在分析取到两球的颜色时在分析取到两球的颜色时, ,要注意是要注意是有放回地抽取有放回地抽取, ,即同一个球可能两次都能抽到即同一个球可能两次都能抽到.(2).(2)根据根据计算数学期望与方差的公式计算计算数学期望与方差的公式计算, ,寻找寻找a,b,ca,b,c之间的关之间的关系系. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由题意得由题意得,=2,3,4,5,6,=2,3,4,5,6,故故P(P(=2)=2)=P(P(=3)=3)=P(P(=4)=4)=P(P(=5)=5)=P(P(=6)=6
18、)=所以所以的分布列为的分布列为(2)(2)由题意知由题意知的分布列为的分布列为2 23 34 45 56 6P P1 12 23 3P P所以所以E(E()=)=D(D()=)=化简得化简得 解得解得所以所以abcabc=321.=321.【母题变式【母题变式】1.1.在本例题在本例题(1)(1)的条件下求的条件下求E(E() )，D(D().).【解析【解析】由由(1)(1)解得解得E(E()=)= D( D()=)=2.2.在本例题在本例题(2)(2)的条件下的条件下, ,若若X=3+5,X=3+5,求求E(X),D(X).E(X),D(X).【解析【解析】由已知得由已知得E(X)=3E
19、()+5=3E(X)=3E()+5=3 +5=10, +5=10,D(X)=3D(X)=32 2D()=9D()=9 =5. =5.【技法感悟【技法感悟】1.1.求离散型随机变量求离散型随机变量的均值与方差的步骤的均值与方差的步骤(1)(1)理解理解的意义的意义, ,写出写出可能的全部值可能的全部值. .(2)(2)求求取每个值的概率取每个值的概率. .(3)(3)写出写出的分布列的分布列. .(4)(4)由均值的定义求由均值的定义求E(E().).(5)(5)由方差的定义求由方差的定义求D(D().).2.2.由均值与方差情况求参数问题的求解思路由均值与方差情况求参数问题的求解思路先根据题设
20、条件将均值、方差用待求参数表示先根据题设条件将均值、方差用待求参数表示, ,再由已再由已知均值与方差构建关于参数的方程知均值与方差构建关于参数的方程( (组组),),然后求解然后求解. .【题组通关【题组通关】1.(20161.(2016武汉模拟武汉模拟) )已知随机变量已知随机变量的分布列是的分布列是其中其中(0, )(0, )，则，则E(E()=( )=( )-1-10 02 2P Pcoscos【解析【解析】选选D.D.由题意可知由题意可知所以所以 +cos =1+cos =1，sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，解得，解得sin = ,cos = sin = ,cos =
21、 ，E(E()=)=+2cos =2cos - sin =+2cos =2cos - sin =2.(20142.(2014浙江高考浙江高考) )随机变量随机变量的取值为的取值为0,1,2,0,1,2,若若P(=0)= ,E(P(=0)= ,E()=1,)=1,则则D(D()=_.)=_.【解析【解析】设设=1=1时的概率为时的概率为p,p,则则E(E()=0)=0 +1+1p+p+2 2(1-p- )(1-p- )=1,=1,解得解得p= ,p= ,故故D(D()=(0-1)=(0-1)2 2 +(1-+(1-1)1)2 2 +(2-1)+(2-1)2 2 = .= .答案答案: :3.(2
22、0163.(2016合肥模拟合肥模拟) )一个不透明的盒子中关有蝴蝶、一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共1111只只, ,现在盒子上开一小孔现在盒子上开一小孔, ,每每次只能飞出次只能飞出1 1只昆虫只昆虫( (假设任意假设任意1 1只昆虫等可能地飞出只昆虫等可能地飞出).).若有若有2 2只昆虫先后任意飞出只昆虫先后任意飞出( (不考虑顺序不考虑顺序),),则飞出的是则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是蝴蝶或蜻蜓的概率是(1)(1)求盒子中蜜蜂有几只求盒子中蜜蜂有几只. .(2)(2)若从盒子中先后任意飞出若从盒子中先后任意飞出3 3只昆虫只昆虫( (不考虑顺序不考
23、虑顺序),),记记飞出蜜蜂的只数为飞出蜜蜂的只数为X,X,求随机变量求随机变量X X的分布列与数学期望的分布列与数学期望E(X).E(X).【解析【解析】(1)(1)设设“2 2只昆虫先后任意飞出只昆虫先后任意飞出, ,飞出的是蝴蝶飞出的是蝴蝶或蜻蜓或蜻蜓”为事件为事件A,A,设盒子中蜜蜂为设盒子中蜜蜂为x x只只, ,则由题意则由题意, ,得得P(A)= P(A)= 所以所以(11-x)(10-x)=42,(11-x)(10-x)=42,解之得解之得x=4x=4或或x=17(x=17(舍去舍去),),故盒子中蜜蜂有故盒子中蜜蜂有4 4只只. .(2)(2)由由(1)(1)知，盒子中蜜蜂有知，
24、盒子中蜜蜂有4 4只，则只，则X X的取值可为的取值可为0 0，1 1，2 2，3 3，P(X=0)= P(X=0)= ，P(X=1)=P(X=1)=P(X=2)= P(X=2)= ，P(X=3)=P(X=3)=故故X X的分布列为的分布列为X X0 01 12 23 3P P数学期望数学期望E(X)=E(X)=考向二考向二与二项分布有关的均值与方差与二项分布有关的均值与方差【典例【典例3 3】(1)(2016(1)(2016成都模拟成都模拟) )已知已知X+X+=8,=8,若若X XB(10,0.6),B(10,0.6),则则E(E() )和和D(D() )分别是分别是( () )A.6A.
25、6和和2.4 B.22.4 B.2和和2.42.4C.2C.2和和5.6 5.6 D.6D.6和和5.65.6(2)(2016(2)(2016兰州模拟兰州模拟) )翡翠市场流行一种赌石翡翠市场流行一种赌石“游戏规游戏规则则”: :翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着, ,无法知无法知道其内的好坏道其内的好坏, ,须切割后方能知道翡翠的价值须切割后方能知道翡翠的价值, ,参加者参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石块并现场开石验先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石块并现场开石验证其具有的收藏价值证其具有的收藏价值. .某举办商在赌石游戏中设置了某举办商在赌石游戏中设置
26、了甲、乙两种赌石规则甲、乙两种赌石规则, ,规则甲的赌中率为规则甲的赌中率为 , ,赌中后可赌中后可获得获得2020万元万元; ;规则乙的赌中率为规则乙的赌中率为p p0 0(0p(0p0 01),E(30X)E(30X2 2),),则则 60p60p0 0, ,解得解得0p0p0 0 若若E(20XE(20X1 1)E(30X)E(30X2 2),),则则 60p60p0 0, ,解得解得 pp0 01;1;若若E(20XE(20X1 1)=E(30X)=E(30X2 2),),则则 =60p=60p0 0, ,解得解得p p0 0= .= .综上所述综上所述, ,当当0p0p0 0 时时,
27、 ,他们都选择规则甲进行赌石时他们都选择规则甲进行赌石时, ,累计得到的金额的数学期望最大累计得到的金额的数学期望最大; ;当当 pp0 011时时, ,他们都选择规则乙进行赌石时他们都选择规则乙进行赌石时, ,累计得到累计得到的金额的数学期望最大的金额的数学期望最大; ;当当p p0 0= = 时时, ,他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时, ,累累计得到的金额的数学期望相等计得到的金额的数学期望相等. .【规律方法【规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法与二项分布有关的期望、方差的求法(1)(1)求随机变量求随机变量的期望与方差时的期望与方差时, ,可首
28、先分析可首先分析是否是否服从二项分布服从二项分布, ,如果如果B(n,pB(n,p),),则用公式则用公式E()=np,D(E()=np,D()=np(1-p)=np(1-p)求解求解, ,可大大减少计算量可大大减少计算量. .(2)(2)有些随机变量虽不服从二项分布有些随机变量虽不服从二项分布, ,但与之具有线性但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布关系的另一随机变量服从二项分布, ,这时这时, ,可以综合应可以综合应用用E(a+b)=aE()+bE(a+b)=aE()+b以及以及E()=npE()=np求出求出E(a+bE(a+b),),同同样还可求出样还可求出D(a+bD(a+b)
29、.).【变式训练【变式训练】1.(20161.(2016广州模拟广州模拟) )若若X XB(n,pB(n,p),),且且E(X)=6,D(X)=3,E(X)=6,D(X)=3,则则P(X=1)P(X=1)的值为的值为( () )A.3A.32 2-2-2 B.2 B.2-4-4 C.3C.32 2-10-10 D.2D.2-8-8【解析【解析】选选C.C.因为因为E(X)=npE(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,=6,D(X)=np(1-p)=3,所以所以p= p= ,n=12,n=12,则则P(X=1)=P(X=1)=2.2.某学科测试中要求考生从某学科测试中要求考生从A,B,
30、CA,B,C三道题中任选一题作三道题中任选一题作答答, ,考试结束后考试结束后, ,统计数据显示共有统计数据显示共有600600名学生参加测试名学生参加测试, ,选择选择A,B,CA,B,C三题答卷数如下表三题答卷数如下表: :题A AB BC C答卷数答卷数180180300300120120(1)(1)某教师为了解参加测试的学生答卷情况某教师为了解参加测试的学生答卷情况, ,现用分层现用分层抽样的方法从抽样的方法从600600份答卷中抽出若干份答卷份答卷中抽出若干份答卷, ,其中从选其中从选择择A A题作答的答卷中抽出了题作答的答卷中抽出了3 3份份, ,则应分别从选择则应分别从选择B,C
31、B,C题题作答的答卷中各抽出多少作答的答卷中各抽出多少? ?(2)(2)若在若在(1)(1)问被抽出的答卷中问被抽出的答卷中,A,B,C,A,B,C三题答卷得优的三题答卷得优的份数都是份数都是2,2,从被抽出的从被抽出的A,B,CA,B,C三题答卷中再各抽出三题答卷中再各抽出1 1份份, ,求这求这3 3份答卷中恰有份答卷中恰有1 1份得优的概率份得优的概率. .(3)(3)测试后的统计数据显示测试后的统计数据显示,B,B题的答卷得优的有题的答卷得优的有100100份份, ,若以频率作为概率若以频率作为概率, ,在在(1)(1)问中被抽出的选择问中被抽出的选择B B题作答的题作答的答卷中答卷中
32、, ,记其中得优的份数为记其中得优的份数为X,X,求求X X的分布列及其数学的分布列及其数学期望期望E(X).E(X).【解析【解析】(1)(1)由题意可得由题意可得: :应分别从选择应分别从选择B,CB,C题作答的答卷中抽出题作答的答卷中抽出5 5份份,2,2份份. .题题A AB BC C答卷数答卷数180180300300120120抽出的答卷数抽出的答卷数3 35 52 2(2)(2)记事件记事件M:M:从被抽出的从被抽出的A,B,CA,B,C三种答卷中分别再任取三种答卷中分别再任取出出1 1份份, ,这这3 3份答卷中恰有份答卷中恰有1 1份得优份得优, ,可知只能可知只能C C题答
33、卷为题答卷为优优, ,依题意依题意P(M)=P(M)=(3)(3)由题意可知由题意可知,B,B题答卷得优的概率为题答卷得优的概率为 , ,显然被抽出的显然被抽出的B B题的答卷中得优的份数题的答卷中得优的份数X X的可能取值为的可能取值为0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,且且X XB(5B(5， ),),P(X=0)=P(X=0)=P(X=1)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=5)=随机变量随机变量X X的分布列为的分布列为X X0 01 12 23 34 45 5P P所以所以E(X)=E(
34、X)=【加固训练【加固训练】1.1.某篮球队与其他某篮球队与其他6 6支篮球队依次进行支篮球队依次进行6 6场比赛场比赛, ,每场均每场均决出胜负决出胜负, ,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的是独立的, ,并且胜场的概率是并且胜场的概率是 . .(1)(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率. . (2)(2)求这支篮球队在求这支篮球队在6 6场比赛中恰好胜了场比赛中恰好胜了3 3场的概率场的概率. .(3)(3)求这支篮球队在求这支篮球队在6 6场比赛中胜场数的数学期望和方场比赛中胜场数的数学期
35、望和方差差. .【解析【解析】(1)P=(1)P=所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为 (2)6(2)6场胜场胜3 3场的情况有场的情况有 种，种，所以所以P=P=所以这支篮球队在所以这支篮球队在6 6场比赛中恰胜场比赛中恰胜3 3场的概率为场的概率为(3)(3)由于由于服从二项分布，即服从二项分布，即B(6, )B(6, )，所以所以E(E()=6)=6 =2 =2，D(D()=)=所以在所以在6 6场比赛中这支篮球队胜场的数学期望为场比赛中这支篮球队胜场的数学期望为2 2，方，方差为差为2.2.质地均匀的正四面体玩具的质地均匀的正四面体玩具的4
36、4个面上分别刻着数字个面上分别刻着数字1,2,3,4,1,2,3,4,将将4 4个这样的玩具同时抛掷于桌面上个这样的玩具同时抛掷于桌面上. .(1)(1)求与桌面接触的求与桌面接触的4 4个面上的个面上的4 4个数的乘积不能被个数的乘积不能被4 4整整除的概率除的概率. .(2)(2)设设为与桌面接触的为与桌面接触的4 4个面上数字中偶数的个数个面上数字中偶数的个数, ,求求的分布列及期望的分布列及期望E(E().).【解析【解析】(1)(1)不能被不能被4 4整除的有两种情形整除的有两种情形: :44个数均为奇数个数均为奇数, ,概率为概率为P P1 1= =44个数中有个数中有3 3个奇数
37、个奇数, ,另一个为另一个为2,2,概率为概率为P P2 2= =这两种情况是互斥的这两种情况是互斥的, ,故所求的概率为故所求的概率为P=P=(2)(2)为与桌面接触的为与桌面接触的4 4个面上数字中偶数的个数，由个面上数字中偶数的个数，由题意知题意知的可能取值是的可能取值是0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，根据符合二项，根据符合二项分布，得到分布，得到P(P(=k)= (k=0=k)= (k=0，1 1，2 2，3 3，4)4)，的的分布列为分布列为0 01 12 23 34 4P P因为因为服从二项分布服从二项分布B(4B(4， ) )，所以所以E(E()=4)=4 =2. =2.
38、 考向三考向三利用均值与方差解决实际问题利用均值与方差解决实际问题【典例【典例4 4】(2014(2014福建高考福建高考) )为回馈顾客为回馈顾客, ,某商场拟通某商场拟通过摸球兑奖的方式对过摸球兑奖的方式对10001000位顾客进行奖励位顾客进行奖励, ,规定规定: :每位每位顾客从一个装有顾客从一个装有4 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸个标有面值的球的袋中一次性随机摸出出2 2个球个球, ,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. .(1)(1)若袋中所装的若袋中所装的4 4个球中有个球中有1 1个所标的面值为个所标的面值为5050元元, ,其其
39、余余3 3个均为个均为1010元元, ,求求顾客所获的奖励额为顾客所获的奖励额为6060元的概率元的概率; ;顾客所获的奖励额的分布列及数学期望顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. .(2)(2)商场对奖励总额的预算是商场对奖励总额的预算是6000060000元元, ,并规定袋中的并规定袋中的4 4个球只能由标有面值个球只能由标有面值1010元和元和5050元的两种球组成元的两种球组成, ,或标有或标有面值面值2020元和元和4040元的两种球组成元的两种球组成. .为了使顾客得到的奖励为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖
40、励额相对均衡相对均衡, ,请对袋中的请对袋中的4 4个球的面值给出一个合适的设个球的面值给出一个合适的设计计, ,并说明理由并说明理由. .【解题导引【解题导引】(1)(1)列分布表列分布表, ,再按公式求期望再按公式求期望.(2).(2)欲让欲让每位顾客所获得的奖励相对平衡每位顾客所获得的奖励相对平衡, ,则应求方差则应求方差, ,方差小方差小的为最佳方案的为最佳方案. .【规范解答【规范解答】(1)(1)设顾客所获的奖励额为设顾客所获的奖励额为X.X.依题意依题意, ,得得P(X=60)=P(X=60)=即顾客所获的奖励额为即顾客所获的奖励额为6060元的概率为元的概率为依题意依题意, ,
41、得得X X的所有可能取值为的所有可能取值为20,60.20,60.P(X=60)= ,P(X=20)=P(X=60)= ,P(X=20)=即即X X的分布列为的分布列为所以顾客所获得的奖励额的期望为所以顾客所获得的奖励额的期望为E(X)=20E(X)=200.5+600.5+600.5=40(0.5=40(元元).).X X20206060P P0.50.50.50.5(2)(2)根据商场的预算根据商场的预算, ,每个顾客的平均奖励额为每个顾客的平均奖励额为6060元元. .所所以以, ,先寻找期望为先寻找期望为6060元的可能方案元的可能方案. .对于面值由对于面值由1010元和元和5050
42、元组成的情况元组成的情况, ,如果选择如果选择(10,10, (10,10, 10,50)10,50)的方案的方案, ,因为因为6060元是面值之和的最大值元是面值之和的最大值, ,所以期所以期望不可能为望不可能为6060元元; ;如果选择如果选择(50,50,50,10)(50,50,50,10)的方案的方案, ,因为因为6060元是面值之和的最小值元是面值之和的最小值, ,所以期望也不可能为所以期望也不可能为6060元元, ,因此可能的方案是因此可能的方案是(10,10,50,50),(10,10,50,50),记为方案记为方案1.1.对于面值由对于面值由2020元和元和4040元组成的情
43、况元组成的情况, ,同理可排除同理可排除(20,20,20,40)(20,20,20,40)和和(40,40,40,20)(40,40,40,20)的方案的方案, ,所以可能的方所以可能的方案是案是(20,20,40,40),(20,20,40,40),记为方案记为方案2.2.以下是对两个方案的分析以下是对两个方案的分析: :对于方案对于方案1,1,即方案即方案(10,10,50,50),(10,10,50,50),设顾客所获的奖励设顾客所获的奖励额为额为X X1 1, ,则则X X1 1的分布列为的分布列为X X1 1的期望为的期望为E(XE(X1 1)=20)=20 +60 +60 +10
44、0 +100 =60. =60.X X1 1的方差为的方差为D(XD(X1 1)=(20-60)=(20-60)2 2 +(60-60) +(60-60)2 2 +(100- +(100-60)60)2 2 = =X X1 120206060100100P PX X2 2的期望为的期望为E(XE(X2 2)=40)=40 +60 +60 +80 +80 =60. =60.X X2 2的方差为的方差为D(XD(X2 2)=(40-60)=(40-60)2 2 +(60-60) +(60-60)2 2 +(80- +(80-60)60)2 2 = =X X2 2404060608080P P对于方
45、案对于方案2 2，即方案，即方案(20(20，2020，4040，40)40)，设顾客所获，设顾客所获的奖励额为的奖励额为X X2 2，则，则X X2 2的分布列为的分布列为由于两种方案的奖励额的期望都符合要求由于两种方案的奖励额的期望都符合要求, ,但方案但方案2 2奖奖励额的方差比方案励额的方差比方案1 1的小的小, ,所以应该选择方案所以应该选择方案2.2.【规律方法【规律方法】利用均值与方差解决实际问题的方法利用均值与方差解决实际问题的方法(1)(1)对实际问题进行具体分析对实际问题进行具体分析, ,将实际问题转化为数学将实际问题转化为数学问题问题, ,并将问题中的随机变量设出来并将问
46、题中的随机变量设出来. .(2)(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件, ,求求出其相应的概率出其相应的概率. .(3)(3)依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差值差值. .(4)(4)依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释合理的解释. .【变式训练【变式训练】(2016(2016长春模拟长春模拟) )在在20152015年全国高校自年全国高校自主招生考试中主招生考试中, ,某高校设计了一个面试考查方案某高校设计了一个面试考查方案:
47、:考生考生从从6 6道备选题中一次性随机抽取道备选题中一次性随机抽取3 3题题, ,按照题目要求独立按照题目要求独立回答全部问题回答全部问题. .规定规定: :至少正确回答其中至少正确回答其中2 2题的便可通过题的便可通过. .已知已知6 6道备选题中考生甲有道备选题中考生甲有4 4题能正确回答题能正确回答,2,2题不能回题不能回答答; ;考生乙每题正确回答的概率都为考生乙每题正确回答的概率都为 , ,且每题正确回且每题正确回答与否互不影响答与否互不影响. .(1)(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列, ,并并计算其数学期望计算其数学期望. .
48、(2)(2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力试用统计知识分析比较两考生的通过能力. .【解析【解析】(1)(1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为, , ,则则的可能取值为的可能取值为1,2,3,1,2,3,P(=1)= ,P(P(=1)= ,P(=2)=2)=P(P(=3)=3)=所以考生甲正确回答题数的分布列为所以考生甲正确回答题数的分布列为1 12 23 3P PE(E()=1)=1 +2 +2 +3 +3 =2. =2.又又B(3B(3， ),),其分布列为其分布列为所以所以E()=npE()=np=3=3 =2. =2.0 01 12 23 3P P(2)(2)因为因为D(D()=(2-1)=(2-1)2 2 +(2-2) +(2-2)2 2 +(2-3) +(2-3)2 2 = = ，D(D()=np(1-p)=)=np(1-p)=所以所以D()D(D()P(2).P(2)P(2).从回答对题数的数学期望考查从回答对题数的数学期望考查, ,两人水平相当两人水平相当; ;从回答从回答对题数的方差考查对题数的方差考查, ,甲较稳定甲较稳定; ;从至少完成从至少完成2 2题的概率考题的概率考查查, ,甲通过的可能性大甲通过的可能性大. .因此可以判断甲的通过能力较因此可以判断甲的通过能力较强强. .
