《2019届高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 1.6.3 导数的简单应用课件 文.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 1.6.3 导数的简单应用课件 文.ppt（86页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲导数的简单应用热点题型热点题型1 1导数的几何意义导数的几何意义【感悟经典感悟经典】【典例典例】1.(20181.(2018全国卷全国卷)设函数设函数f f(x)(x)=x=x3 3+(a-1)x+(a-1)x2 2 +ax,+ax,若若f f(x)(x)为奇函数为奇函数, ,则曲线则曲线y=fy=f(x)(x)在点在点(0,0)(0,0)处的切处的切线方程为线方程为( () ) A.y=-2xA.y=-2xB.y=-xB.y=-xC.y=2xC.y=2xD.y=xD.y=x2.(20172.(2017天津高考天津高考) )已知已知aR,aR,设函数设函数f(x)=ax-ln xf(x)
2、=ax-ln x的的图象在点图象在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线为处的切线为l, ,则则l在在y y轴上的截距为轴上的截距为_._.3.3.直线直线l:y=kx:y=kx与曲线与曲线C:y=xC:y=x3 3-3x-3x2 2+2x+2x切于点切于点P(xP(x0 0,y,y0 0) ) (x(x0 00),0),则则k=_.k=_.【联想解题联想解题】1.1.该题考查的是有关曲线该题考查的是有关曲线y=f(x)y=f(x)在某个点在某个点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线方程的问题处的切线方程的问题, ,在求解的过程中在求解的过程中, ,首先需要确定首先需要确定函数解析式
3、函数解析式, ,利用奇函数不存在偶次项利用奇函数不存在偶次项, ,偶函数不存在偶函数不存在奇次项奇次项, ,从而求得相应的参数值从而求得相应的参数值, ,之后利用求导公式求之后利用求导公式求得得f(0),f(0),结合直线方程的点斜式求得结果结合直线方程的点斜式求得结果. .2.2.看到曲线的切线看到曲线的切线, ,想到利用导数的几何意义想到利用导数的几何意义. .3.3.看到直线与曲线切于点看到直线与曲线切于点P(xP(x0 0,y,y0 0),),求求 k,k,想到想到k= .k= .【规范解答规范解答】1.1.选选D.D.因为因为f(x)f(x)为奇函数为奇函数, ,所以所以f(-x)=
4、-f(x),f(-x)=-f(x),即即a=1,a=1,所所以以f(x)=xf(x)=x3 3+x,+x,所以所以f(0)=1,f(0)=1,所以切线方程为所以切线方程为y=x.y=x.2.f(1)=a,2.f(1)=a,切点为切点为(1,a),f(x)=a- ,(1,a),f(x)=a- ,则切线的斜率则切线的斜率为为f(1)=a-1,f(1)=a-1,切线方程为切线方程为y-a=(a-1)(x-1),y-a=(a-1)(x-1),令令x=0x=0得出得出y=1,y=1,l在在y y轴的截距为轴的截距为1.1.答案答案: :1 13.3.由由l过原点知过原点知,k= (x,k= (x0 00
5、),0),又点又点P(xP(x0 0,y,y0 0) )在曲线在曲线C C上上, ,所以所以y y0 0= =x x0 03 3 -3-3x x0 02 2+2x+2x0 0, ,得得 = =x x0 02 2-3x-3x0 0+2.+2.因为因为y=3xy=3x2 2-6x+2,-6x+2,故故k=3k=3x x0 02 2-6x-6x0 0+2.+2.又又k= ,k= ,所以所以3 3x x0 02 2-6x-6x0 0+2=+2=x x0 02 2-3x-3x0 0+2,+2,其中其中x x0 00,0,解得解得x x0 0= .= .所以所以y y0 0=- ,=- ,所以所以k= =
6、- .k= =- .答案答案: :- - 【规律方法规律方法】求曲线求曲线y=f(x)y=f(x)的切线方程的三种类型及方法的切线方程的三种类型及方法(1)(1)已知切点已知切点P(xP(x0 0,y,y0 0),),求切线方程求切线方程求出切线的斜率求出切线的斜率f(xf(x0 0),),由点斜式写出方程由点斜式写出方程. .(2)(2)已知切线的斜率已知切线的斜率k,k,求切线方程求切线方程设切点设切点P(xP(x0 0,y,y0 0),),通过方程通过方程k=f(xk=f(x0 0) )解得解得x x0 0, ,再由点斜再由点斜式写出方程式写出方程. .(3)(3)已知切线上一点已知切线
7、上一点( (非切点非切点),),求切线方程求切线方程设切点设切点P(xP(x0 0,y,y0 0),),利用导数求得切线斜率利用导数求得切线斜率f(xf(x0 0),),再由再由斜率公式求得切线斜率斜率公式求得切线斜率, ,列方程列方程( (组组) )解得解得x x0 0, ,再由点斜再由点斜式或两点式写出方程式或两点式写出方程. .【对点训练对点训练】1.1.若曲线若曲线y=ln x+axy=ln x+ax2 2-2x(a-2x(a为常数为常数) )不存在斜率为负数不存在斜率为负数的切线的切线, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】f(x)= +2ax-2= (x
8、0),f(x)= +2ax-2= (x0),由题意由题意得得f(x)0f(x)0在在x0x0时恒成立时恒成立, ,所以所以2ax2ax2 2-2x+10-2x+10在在x0x0时恒成立时恒成立, ,即即2a 2a 所以所以a ,a ,所以所以a a的取值范围为的取值范围为 . .答案答案: : 2.2.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,若曲线若曲线y=axy=ax2 2+ + (a,b(a,b为为常数常数) )过点过点P(2,-5),P(2,-5),且该曲线在点且该曲线在点P P处的切线与直线处的切线与直线7x+2y+3=07x+2y+3=0平行平行, ,则则a+ba+b的
9、值是的值是_._.【解析解析】曲线曲线y=axy=ax2 2+ + 过点过点(2,-5),(2,-5),则则4a+ =-5,4a+ =-5,又又y=2ax- ,y=2ax- ,所以由题意所以由题意4a- =- ,4a- =- ,由由得得 故故a+b=-3.a+b=-3.答案答案: :-3-3【提分备选提分备选】1.1.曲线曲线y=-5ey=-5ex x+3+3在点在点(0,-2)(0,-2)处的切线方处的切线方程为程为_._.【解析解析】因为因为y=-5ey=-5ex x+3,+3,所以所以y=-5ey=-5ex x, ,故所求的切线的故所求的切线的斜率为斜率为k=-5ek=-5e0 0=-5
10、,=-5,故所求的切线的方程为故所求的切线的方程为y-(-2)=-5x,y-(-2)=-5x,即即y=-5x-2y=-5x-2或或5x+y+2=0.5x+y+2=0.答案答案: :y=-5x-2y=-5x-2或或5x+y+2=05x+y+2=02.2.函数函数y=xey=xex x在其极值点处的切线方程为在其极值点处的切线方程为_._.【解析解析】y=f(x)=xey=f(x)=xex xf(x)=(1+x)ef(x)=(1+x)ex x, ,令令f(x)=0f(x)=0x=-1,x=-1,此时此时f(-1)=- ,f(-1)=- ,函数函数y=xey=xex x在其极值点处的切线方程为在其极
11、值点处的切线方程为y=- .y=- .答案答案: :y=- y=- 热点题型热点题型2 2利用导数研究函数的单调性问题利用导数研究函数的单调性问题【感悟经典感悟经典】【典例典例】1.(20181.(2018德州一模德州一模) )已知函数已知函数f(x)(xR)f(x)(xR)满满足足f(1)=1,f(1)=1,且且f(x)f(x)的导数的导数f(x)f(x) , ,则不等式则不等式f(xf(x2 2) 的解集为的解集为_._.2.(20182.(2018合肥一模合肥一模) )已知函数已知函数f(x)=(a-1)ln x+axf(x)=(a-1)ln x+ax2 2+1,+1,讨论函数讨论函数f
12、(x)f(x)的单调性的单调性. .【联想解题联想解题】1.1.构造合理的导函数构造合理的导函数, ,利用单调性解不等式利用单调性解不等式. .2.2.求导分类讨论求导分类讨论, ,解不等式解不等式. .【规范解答规范解答】1.1.设设F(x)=f(x)- x,F(x)=f(x)- x,所以所以F F(x)=f(x)=f(x)(x)- ,- ,因为因为f f(x) ,(x) ,所以所以F F(x)=f(x)=f(x)- 0,(x)- 0,即函数即函数F(x)F(x)在在R R上单调递减上单调递减. .因为因为f(xf(x2 2) ,) ,所以所以f(xf(x2 2)- )- f(1)- ,f(
13、1)- ,所以所以F(xF(x2 2)F(1),)1,1,即即x(-,-1)(1,+).x(-,-1)(1,+).答案答案: :(-(-,-1)(1,+,-1)(1,+) )2.f(x)2.f(x)的定义域为的定义域为(0,+),f(x)= +2ax= (0,+),f(x)= +2ax= (1)(1)当当a1a1时时,f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增. .(2)(2)当当a0a0时时,f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减. .(3)(3)当当0a10a1时时, ,令令f(x)=0,f(x
14、)=0,解得解得x= ,x= ,则当则当xx 时时,f(x)0;,f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在 上单调递减上单调递减, ,在在 上单调递增上单调递增. .【规律方法规律方法】求可导函数单调区间的方法求可导函数单调区间的方法(1)(1)确定函数确定函数f(x)f(x)的定义域的定义域. .(2)(2)求求f(x).f(x).(3)(3)解方程解方程f(x)=0f(x)=0在定义域的所有实数根在定义域的所有实数根. .(4)(4)将函数将函数f(x)f(x)的间断点的间断点( (即即f(x)f(x)的无定义点的无定义点) )的横坐标的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来和各
15、实数根按从小到大的顺序排列起来, ,分成若干个小分成若干个小区间区间. .(5)(5)确定确定f(x)f(x)在各小区间内的符号在各小区间内的符号, ,由此确定每个区由此确定每个区间的单调性间的单调性. .【对点训练对点训练】1.1.若函数若函数f(x)=ln x-f(x)=ln x- axax2 2-2x-2x存在单调递减区间存在单调递减区间, ,则实则实数数a a的取值范围是的取值范围是 ( () )A.(-1,+)A.(-1,+)B.-1,+)B.-1,+)C.(-,1C.(-,1D.(-1,0)D.(-1,0)【解析解析】选选A.fA.f(x)= -ax-2= ,(x)= -ax-2=
16、 ,由题意知由题意知f f(x)0(x)0,x0,所以所以axax2 2+2x-10+2x-10有实数解有实数解. .当当a0a0时时, ,显然满足显然满足; ;当当a0a0,=4+4a0,所以所以-1a0.-1a-1.a-1.2.2.已知函数已知函数f(x)=-2xln x+xf(x)=-2xln x+x2 2-2ax+a-2ax+a2 2, ,其中其中a0.a0.(1)(1)设设g(x)g(x)为为f(x)f(x)的导函数的导函数, ,讨论讨论g(x)g(x)的单调性的单调性. .(2)(2)证明证明: :存在存在a(0,1),a(0,1),使得使得f(x)0f(x)0恒成立恒成立, ,且
17、且f(x)=0f(x)=0在区间在区间(1,+)(1,+)内有唯一解内有唯一解. .【解析解析】(1)(1)由已知由已知, ,函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(0,+),(0,+),g(x)=f (x)=2(x-1-ln x-a),g(x)=f (x)=2(x-1-ln x-a),所以所以g(x)=2- g(x)=2- 当当x(0,1)x(0,1)时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)单调递增单调递增. .(2)(2)由由f (x)=2(x-1-ln x-a)=0,f (x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得解得a=x-1-ln x,a=x-1-
18、ln x,令令(x)=-2xln x+x(x)=-2xln x+x2 2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2 2= = (1+ln x)(1+ln x)2 2-2xln x,-2xln x,则则(1)=10,(e)=2(2-e)0,(e)=2(2-e)0,于是存在于是存在x x0 0(1,e),(1,e),使得使得(x(x0 0)=0,)=0,令令a a0 0=x=x0 0-1-ln x-1-ln x0 0=u(x=u(x0 0),),其中其中u(x)=x-1-ln x(x1),u(x)=x-1-ln x(x1),由由u(x)=1-
19、 0u(x)=1- 0知知, ,函数函数u(x)u(x)在区间在区间(1,+)(1,+)上单调上单调递增递增, ,故故0=u(1)a0=u(1)a0 0=u(x=u(x0 0)u(e)=e-21,)u(e)=e-21,即即a a0 0(0,1).(0,1).当当a=aa=a0 0时时, ,有有f (xf (x0 0)=0,f(x)=0,f(x0 0)=(x)=(x0 0)=0)=0再由再由(1)(1)知知,f(x),f(x)在区间在区间(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增, ,当当x(1,xx(1,x0 0) )时时,f (x)0,f (x)f(xf(x)f(x0 0)=0,)=0,当当x
20、(xx(x0 0,+),+)时时,f (x)0,f (x)0,从而从而f(x)f(xf(x)f(x0 0)=0,)=0,又当又当x(0,1x(0,1时时,f(x)=(x-a,f(x)=(x-a0 0) )2 2-2xln x0,-2xln x0,故故x(0,+)x(0,+)时时,f(x)0.,f(x)0.综上所述综上所述, ,存在存在a(0,1),a(0,1),使得使得f(x)0f(x)0恒成立恒成立, ,且且f(x)=0f(x)=0在区间在区间(1,+)(1,+)内有唯一解内有唯一解. .【提分备选提分备选】1.1.设函数设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),f(x)=ln(1+
21、x)-ln(1-x),则则f(x)f(x)是是( () )A.A.奇函数奇函数, ,且在且在(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数B.B.奇函数奇函数, ,且在且在(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数C.C.偶函数偶函数, ,且在且在(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数D.D.偶函数偶函数, ,且在且在(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数【解析解析】选选A.f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)A.f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域为的定义域为(-1,1),(-1,1),函数函数f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),f(-x)=ln(1-x)-l
22、n(1+x)=-f(x),所以函数所以函数为奇函数为奇函数,f(x)= ,f(x)= 在在(0,1)(0,1)上单调上单调递增递增. .2.2.已知函数已知函数f(x)=xcos x-sin x+1(x0).f(x)=xcos x-sin x+1(x0).求求f(x)f(x)的单调的单调区间区间. .【解析解析】函数函数f(x)f(x)求导可得求导可得f(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x(x0),f(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x(x0),令令f(x)=0f(x)=0可得可得x=k(kNx=k(kN* *),),当当x(2k,(2k+1)(
23、kNx(2k,(2k+1)(kN* *) )时时,sin x0.,sin x0.此时此时f(x)0;f(x)0;当当x(2k+1),(2k+2)(kNx(2k+1),(2k+2)(kN* *) )时时, ,sin x0,sin x0,f(x)0,故函数故函数f(x)f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(2k,(2k+1)(kN(2k,(2k+1)(kN* *),),单调递增区间为单调递增区间为(2k+1),(2k+2)(kN(2k+1),(2k+2)(kN* *).).热点题型热点题型3 3利用导数解决函数极利用导数解决函数极( (最最) )值问题值问题【感悟经典感悟经典】【典例典例】(2
24、018(2018湖北一模湖北一模) )设设a0,a0,函数函数f(x)=f(x)= x x2 2- -(a+1)x+aln x.(a+1)x+aln x.(1)(1)当当a=2a=2时时, ,求曲线求曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(3,f(3)(3,f(3)处切线的斜率处切线的斜率. .(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的极值的极值. .【联想解题联想解题】1.1.看到求切线斜率看到求切线斜率, ,想到先求想到先求f(x),f(x),再再求求f(xf(x0 0).).2.2.看到求极值看到求极值, ,想到先求想到先求f(x),f(x),再判增减性再判增减性, ,先增后减先增后减有极
25、大值有极大值, ,先减后增先减后增, ,有极小值有极小值. .【规范解答规范解答】(1)(1)由已知由已知x0.x0.当当a=2a=2时时,f(x)=x-3+ ,f(x)=x-3+ ,所以曲线所以曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(3,f(3)(3,f(3)处切线的斜率为处切线的斜率为f(3)= .f(3)= .(2)f(x)=x-(a+1)+ (2)f(x)=x-(a+1)+ 由由f(x)=0f(x)=0得得x=1x=1或或x=a.x=a.若若0a1,0a0,f(x)0,函数函数f(x)f(x)单调递增单调递增; ;当当x(a,1)x(a,1)时时,f(x)0,f(x)0,f(x)0,函数
26、函数f(x)f(x)单调递增单调递增. .所以当所以当x=ax=a时时,f(x),f(x)取极大值取极大值f(a)=- af(a)=- a2 2-a+aln a,-a+aln a,当当x=1x=1时时,f(x),f(x)取极小值取极小值f(1)=-a- .f(1)=-a- .若若a1,a1,当当x(0,1)x(0,1)时时,f(x)0,f(x)0,函数函数f(x)f(x)单调递增单调递增; ;当当x(1,a)x(1,a)时时,f(x)0,f(x)0,f(x)0,函数函数f(x)f(x)单调递增单调递增. .所以当所以当x=1x=1时时,f(x),f(x)取极大值取极大值f(1)=-a- ;f(
27、1)=-a- ;当当x=ax=a时时,f(x),f(x)取极小值取极小值f(a)=- af(a)=- a2 2-a+aln a.-a+aln a.当当a=1a=1时时,x0,x0时时,f(x)0,f(x)0,函数函数f(x)f(x)单调递增单调递增,f(x),f(x)没有极值没有极值. .综上综上, ,当当0a10a1a1时时,f(x),f(x)的极大值为的极大值为-a- ,-a- ,极小值为极小值为- a- a2 2-a+alna;-a+alna;当当a=1a=1时时,f(x),f(x)没有极值没有极值. .【规律方法规律方法】1.1.求函数求函数y=f(x)y=f(x)在某个区间上的极值的
28、步骤在某个区间上的极值的步骤(1)(1)求导数求导数f(x).f(x).(2)(2)求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根的根x x0 0. .(3)(3)检查检查f(x)f(x)在方程在方程f(x)=0f(x)=0的根的根x x0 0左右的符号左右的符号: :“左正右负左正右负f(x)f(x)在在x x0 0取极大值取极大值”; ;“左负右正左负右正f(x)f(x)在在x x0 0取极小值取极小值”. .2.2.求函数求函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的最大值与最小值的步上的最大值与最小值的步骤骤(1)(1)求函数求函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(
29、a,b)内的极值内的极值( (极大值或极小极大值或极小值值).). (2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a),f(b)f(a),f(b)进行比较进行比较, ,其中最大其中最大的一个为最大值的一个为最大值, ,最小的一个为最小值最小的一个为最小值. .提醒提醒: :利用导数研究函数的极值和最值时利用导数研究函数的极值和最值时, ,一般应首先一般应首先考虑函数的定义域考虑函数的定义域. .【对点训练对点训练】(2018(2018广东五校联考广东五校联考) )已知函数已知函数f(x)=x(ln x-ax)f(x)=x(ln x-ax)有极有极值值, ,则实数则实数a a的
30、取值范围是的取值范围是( () )A.A. B.B. C.C. D. D. 【解析解析】选选A.f(x)=xln x-axA.f(x)=xln x-ax2 2(x0),f(x)=ln x+1(x0),f(x)=ln x+1-2ax.-2ax.令令g(x)=ln x+1-2ax,g(x)=ln x+1-2ax,则则g(x)= -2a= .g(x)= -2a= .因为函数因为函数f(x)=x(ln x-ax)f(x)=x(ln x-ax)有极值有极值, ,所以所以g(x)=0g(x)=0在在(0,+)(0,+)上有实根上有实根. .当当a0a0时时,g(x)0,g(x)0,函数函数g(x)g(x)
31、在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增, ,当当x x趋向于趋向于0 0时时,g(x),g(x)趋向于趋向于-,-,当当x x趋向于趋向于+时时,g(x),g(x)趋向于趋向于+,+,故存在故存在x x0 0(0,+),(0,+),使得使得f(x)f(x)在在(0,x(0,x0 0) )上单上单调递减调递减, ,在在(x(x0 0,+),+)上单调递增上单调递增, ,故故f(x)f(x)存在极小值存在极小值f(xf(x0 0),),符合题意符合题意. .当当a0a0时时, ,令令g(x)=0,g(x)=0,得得x= .x= .当当0x 0x0,g(x)0,函数函数g(x)g(x)单调递增
32、单调递增; ;当当x x 时时,g(x)0,g(x)0,g =ln 0,解得解得0a .0a0,bR)+bx+1(a0,bR)有极值有极值, ,且导函数且导函数f(x)f(x)的极值点是的极值点是f(x)f(x)的零点的零点.(.(极值点是指函数取极值时对应的自变量极值点是指函数取极值时对应的自变量的值的值) )(1)(1)求求b b关于关于a a 的函数关系式的函数关系式, ,并写出定义域并写出定义域. .(2)(2)证明证明:b:b2 23a.3a.(3)(3)若若f(x),f(x)f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于这两个函数的所有极值之和不小于- - , ,求求a a的取值
33、范围的取值范围. .【解析解析】(1)(1)由由f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+1,+bx+1,得得f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax+b=3 +b- .+2ax+b=3 +b- .当当x=- x=- 时时,f(x),f(x)有极小值有极小值b- .b- .因为因为f(x)f(x)的极值点是的极值点是f(x)f(x)的零点的零点. .所以所以 又又a0,a0,故故b= b= 因为因为f(x)f(x)有极值有极值, ,故故f(x)=0f(x)=0有实根有实根, ,从而从而 (27-a(27-a3 3)0,)0,即即a3.a3.a=3a=3时时,f(x)0(x-1)
34、,f(x)0(x-1),故故f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数, ,f(x)f(x)没有极值没有极值; ; a3a3时时,f(x)=0,f(x)=0有两个相异的实根有两个相异的实根列表如下列表如下x x(-,x(-,x1 1) )x x1 1(x(x1 1,x,x2 2) )x x2 2(x(x2 2,+),+)f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)增增极大值极大值减减极小值极小值增增故故f(x)f(x)的极值点是的极值点是x x1 1,x,x2 2. .从而从而a3,a3,因此因此 , ,定义域为定义域为(3,+).(3,+).(2)(2)由由(1)(1)
35、知知, , 设设g(t)= ,g(t)= ,则则g(t)= g(t)= 当当t t 时时,g(t)0,g(t)0,从而从而g(t)g(t)在在 上单调递增上单调递增, ,因为因为a3,a3,所以所以a 3 ,a 3 ,故故g(a )g(3 )= ,g(a )g(3 )= ,即即 因此因此b b2 23a.3a.(3)(3)由由(1)(1)知知,f(x),f(x)的极值点是的极值点是x x1 1,x,x2 2, ,且且x x1 1+x+x2 2=- a, =- a, 从而从而f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2)=)= +2=0,= +2=0,记记f(x),f(x)f(x),f(x)所有
36、极值之和为所有极值之和为h(a),h(a),因为因为f(x)f(x)的极值为的极值为 所以所以h(a)= ,a3.h(a)= ,a3.因为因为h(a)= 0,h(a)= 0,于是于是h(a)h(a)在在(3,+)(3,+)上单调上单调递减递减. .因为因为h(6)=- ,h(6)=- ,于是于是h(a)h(6),h(a)h(6),故故a6.a6.因此因此a a的取值范围为的取值范围为(3,6.(3,6.逻辑推理逻辑推理含有参数的导数的应用中的数学素养含有参数的导数的应用中的数学素养【相关链接相关链接】1.1.含参问题主要包括含参问题主要包括:(1):(1)含有参数的不等式的求解含有参数的不等式
37、的求解. .(2)(2)含有参数的方程的求解含有参数的方程的求解.(3).(3)函数解析式中含有参数函数解析式中含有参数的单调性和最值问题的单调性和最值问题.(4).(4)二元二次方程表示曲线类型二元二次方程表示曲线类型的判定等的判定等. .在求解时要结合参数的意义在求解时要结合参数的意义, ,对参数的不同对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论取值或不同取值范围进行分类讨论, ,在分类时要本着最在分类时要本着最简原则简原则, ,做到分类合理、不重不漏做到分类合理、不重不漏. .2.2.对参数的分类讨论对参数的分类讨论, ,最后仍然分类写出答案最后仍然分类写出答案; ;如果是如果是对所求的字
38、母进行分类求解对所求的字母进行分类求解, ,最后一般要整理得出并集最后一般要整理得出并集. .【典例典例】(2018(2018临沂一模临沂一模) )已知函数已知函数f(x)=f(x)= x x2 2+mx+ +mx+ ln x.ln x.(1)(1)若若m=-3,m=-3,讨论函数讨论函数f(x)f(x)的单调性的单调性, ,并写出单调区间并写出单调区间. .(2)(2)若若f(x)f(x)有两个极值点有两个极值点x x1 1,x,x2 2(x(x1 1x0,x0,且且f(x)=x-3+ = ,f(x)=x-3+ = ,令令f(x)0,f(x)0,得得0x 0x ,x ,令令f(x)0,f(x
39、)0,得得 x .x .因此函数因此函数f(x)f(x)在在 上单调递减上单调递减, ,在在 和和 上单调递增上单调递增. .(2)(2)由题意知由题意知,f(x)=x+m+ = ,f(x)=x+m+ = ,则易知则易知x x1 1,x,x2 2为为x x2 2+mx+1=0+mx+1=0的两个根的两个根, ,且且x x1 1+x+x2 2=-m,x=-m,x1 1x x2 2=1,=1,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)= +mx)= +mx1 1+lnx+lnx1 1- -mx- -mx2 2-ln x-ln x2 2= = ( )+m(x ( )+m(x1 1-x-x
40、2 2)+ln x)+ln x1 1-ln x-ln x2 2= ( )-(x= ( )-(x1 1+x+x2 2)(x)(x1 1-x-x2 2)+ln x)+ln x1 1-ln x-ln x2 2=ln ( )=ln ( )=ln =ln =ln =ln 记记 =t,=t,由由x x1 1xx2 2且且m- m- 知知0t1,0t1,且且f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=ln t- ,)=ln t- ,记记(t)=ln t- ,(t)=ln t- ,则则(t)= 0,(t)= 0,故故(t)(t)在在(0,1)(0,1)上单上单调递减调递减. .由由m- m- 知知(x(x
41、1 1+x+x2 2) )2 2 , ,从而从而 , ,即即 , ,故故t+ ,t+ ,结合结合0t1,0t1,解得解得0t ,0-1a-1时时,f(a)=2a+22,f(a)=2a+22,解得解得a0,a0,此时此时a0.a0.故实数故实数a a的取值范围是的取值范围是(-,-10,+). (-,-10,+). 2.(20182.(2018宜昌一模宜昌一模) )已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+lnx(aR).-2ax+lnx(aR).(1)(1)讨论函数讨论函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间. .(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)有两个极值点有两个极值点x
42、 x1 1,x,x2 2(x(x1 1x0),(1)f(x)=2x-2a+ = (x0),当当a0a0时时,f(x)0,f(x)0恒成立恒成立,f(x),f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增; ;当当 , ,即即0a 00,f(x),f(x)0,f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增; ;当当 , ,即即a a 时时, ,由由f(x)0f(x)0解得解得0x0x ;x ;综上可知综上可知, ,当当a a 时时,f(x),f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增; ;当当a a 时时,f(x),f(x)在在 上单调上单调递增递增, ,在在 上单调递减上单调递减. . (2)(2)由由(1)(1)知知,2x,2x2 2-2ax+1=0-2ax+1=0的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2(x(x1 1x ,a ,则则x x1 1+x+x2 2=a,x=a,x1 1x x2 2= ,= ,由由x x1 1xx2 2知知,0x,0x1 1 x 0g(x)0的解为的解为 x1,x1,故故g(x)g(x)在在 上单调递增上单调递增, ,在在(1,+)(1,+)上单调递减上单调递减, ,则则g(x)g(x)maxmax=g(1)=-1,=g(1)=-1,依题知依题知-12m,-12m,所以所以m- .m- .
